CÔNICAS NÃO DEGENERADAS Cônicas 3 CÔNICAS Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da intersecção de um cone circular com um pla

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1 CÔNICAS CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS Cônicas

2 CÔNICAS NÃO DEGENERADAS Cônicas 3 CÔNICAS Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da intersecção de um cone circular com um plano. Cônicas 4

3 Cônicas 5 Cônicas 6

4 Cônicas 7 Vamos definí-las como conjunto de pontos que satisfazem certas propriedades e determinar as equações na forma mais simples. Cônicas 8

5 ELIPSE Cônicas 9 DEFINIÇÃO Dados dois pontos F 1 e F chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano tais que d(p,f 1 )+d(p,f )=a. Cônicas 10

6 ELIPSE Elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que d(p, F1) + d(p, F) = a Cônicas 11 ELIPSE Cônicas 1

7 Elementos da Elipse Focos: são os pontos F 1 e F, Distância Focal: é a distância c entre os focos, Centro: é o ponto médio C do segmento F 1 F, Vértices: são os pontos A 1, A, B 1 e B, Eixo maior: é o segmento A 1 A de comprimento a ( o segmento A 1 A contém os focos e os seus extremos pertencem a elipse), Eixo menor: é o segmento B 1 B de comprimento b (B 1 B ḻ A 1 A no seu ponto médio). Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c<a, temos 0<e< <e<1. Cônicas 13 Equação Reduzida da Elipse Eixo maior sobre o eixo dos x: x a + y b = 1 Eixo maior sobre o eixo dos y x b y + a Relação fundamental: = 1 a = b + c Cônicas 14

8 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x: Proposição 1. (a) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F = (c, 0) é x a y + b = 1 Cônicas 15 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x: a c Cônicas 16

9 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos y: Proposição 1. (b) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = (0, - c) e F = (0, c) é x b + y a = 1 Cônicas 17 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo maior sobre o eixo dos y: c a Cônicas 18

10 OBSERVAÇÕES Como a = b + c temos que a > b a > b. Então, sempre o maior dos denominadores da equação reduzida representa o número a onde a é a medida do semi-eixoeixo maior. E mais, se na equação da elipse o número a é denominador de x, a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo x. Cônicas 19 EXEMPLOS 1. Determinar: a medida dos semi-eixos, eixos, um esboço do gráfico, os focos e a excentricidade: (a) 9 x + 5y = 5 (b) x y + = Cônicas 0

11 EXEMPLOS. Deduza uma equação da elipse de focos F1 = (-3, 0) e F = (0, 4) e eixo maior Determine a equação da elipse que tem centro C(0,0), um foco F(3/4,0) e um vértice A(1,0). Cônicas 1 APLICAÇÕES A figura mostra os planetas girando em torno do Sol. Foi o astrônomo e matemático Johannes Kepler ( ) que formulou 3 leis que regem o movimento planetário. Uma delas diz que um planeta gira em torno do Sol em uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos.

12 APLICAÇÕES No caso da Terra os semi-eixos são a = km e b = km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra: (quase uma circunferência) Cônicas 3 APLICAÇÕES Arcos em forma de semi-elipseelipse são muito empregados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos) Cônicas 4

13 Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias. Engenharia APLICAÇÕES Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos). Cônicas 5 HIPÉRBOLE Cônicas 6

14 DEFINIÇÃO Dados dois pontos F 1 e F chamamos hipérbole o conjunto dos pontos P do plano tais que d(p,f 1 ) - d(p,f ) =a (0<a<c, c= d(f 1,F ) ). Cônicas 7 Elementos da Hipérbole Focos: são os pontos F 1 e F, Distância Focal: é a distância c entre os focos, Centro: é o ponto médio C do segmento F 1 F, Vértices: são os pontos A 1 e A, Eixo Real ou transverso: é o segmento A 1 A de comprimento a, Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B 1 B de comprimento b, Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1. c = a + b Cônicas 8

15 Equação Reduzida da Hipérbole Eixo real sobre o eixo dos x: x y = 1 a b Eixo real sobre o eixo dos y: y a x b = 1 Cônicas 9 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x: Proposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole cujos focos são F1 = (- c, 0) e F = (c, 0) é x a y b = 1 Cônicas 30

16 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x: Cônicas 31 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y: Proposição 1. (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e F = (0, c) é y a x b = 1 Cônicas 3

17 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y: Cônicas 33 As retas b y = ± a x Assíntotas são chamadas assíntotas da hipérbole. São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. Cônicas 34

18 EXEMPLO 1. Determinar na hipérbole a) A medida dos semi-eixos b) Um esboço gráfico c) Os vértices d) Os focos e) A excentricidade f) As equações das assínotas 9 x 7y 63 = 0 Cônicas 35 EXEMPLO. Determinar na hipérbole a) A medida dos semi-eixos b) Um esboço gráfico c) Os vértices d) Os focos e) A excentricidade f) As equações das assínotas y 100 x 64 = 1 Cônicas 36

19 EXEMPLO 3. Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(0,-5) e F(0,5) e eixo real de medida 6. R: y 9 x 16 = 1 4. Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(-,1) e F(1,3) e eixo real. R: 0x + 48xy 76x + 4y 79 = 0 Cônicas 37 APLICAÇÕES Recentemente, experimentos físicos mostraram que partículas carregadas atiradas em núcleos de átomos se espalham ao longo de trajetórias hiperbólicas. Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma órbita elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol). Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo estacionário de eletricidade são utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco). Cônicas 38

20 APLICAÇÕES O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA de navegação aérea usam a hipérbole. Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para observações de grande precisão). Cônicas 39 APLICAÇÕES Cônicas 40

21 PARÁBOLA Cônicas 41 Parábola Dados um ponto F e uma reta d, com F d, seja p = d(f,d). Chamamos parábola o conjunto dos pontos P do plano que são equidistantes de F e d, i. é., d(p,f)= d(p,d). Cônicas 4

22 Parábola Cônicas 43 Elementos da Parábola Foco: é o ponto F, Diretriz: é a reta d, Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz, Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com seu eixo, d(v,f)=d(v,a) Cônicas 44

23 Equação Reduzida da Parábola O eixo da parábola é o eixo dos y: x = py Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para cima e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para baixo. Cônicas 45 Equação Reduzida da Parábola O eixo da parábola é o eixo dos x: y = px Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para a direita e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para a esquerda. Cônicas 46

24 EXEMPLO 1. Achar as coordenadas do foco e a equação da diretriz das parábolas a) b) y = 8x x = 8y Cônicas 47 EXEMPLO. Determine a equação da parábola sabendo que: a) Vértice V(0,0) e foco F(-1,0) b) Vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-,5) e concavidade voltada para cima. Cônicas 48

25 APLICAÇÕES (a) A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola. Cônicas 49 APLICAÇÕES (b) Se um espelho parabólico é apontado para o Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus significa fogo). Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas (as ondas paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e confluem para o retransmissor). Cônicas 50

26 APLICAÇÕES (c) Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força da gravidade, a trajetória é uma parábola. Cônicas 51 TRANSLAÇÃO DE EIXOS Cônicas 5

27 Translação de Eixos Consideremos no plano cartesiano xoy um ponto o (h,k), arbitrário. Vamos introduzir m novo sistema x o y tal que os eixos o x o y tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos ox e oy. Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, através de uma translação de eixos. Cônicas 53 Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são: Ou Translação de Eixos x e y em relação ao sistema xoy, x e y em relação ao sistema x o y. Pela figura anterior, obtemos: x=x +h e y=y +k x =x-h e y =y-k que são as fórmulas de translação e que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro. Cônicas 54

28 Translação de Eixos Cônicas 55 Translação de Eixos Cônicas 56

29 Translação de Eixos Cônicas 57 Translação de Eixos Cônicas 58

30 Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema 1º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y. A equação da parábola de vértice V(h,k) é: ( x h) = p( y k) º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x. ( y k) = p( x h) Cônicas 59 Equação da Parábola na Forma Explícita Sabemos que a equação da parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma padrão: ( x h) = p( y k) Uma equação nessa forma pode ser escrita como: y = ax + bx + c que é chamada forma explícita da equação da parábola cujo eixo é paralelo ao eixo dos y. Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua equação na forma explícita é x = ay + by + c correspondente à forma padrão ( y k) = p( x h). Cônicas 60

31 Exemplo 1. Determine a equação da parábola de foco em F(1,) e diretriz d:x=5 Observação: Para completar o quadrado da expressão: y + qy somamos o quadrado da metade do coeficiente de y, isto é, q.. Determinar o vértice, um esboço gráfico, o foco e a equação da diretriz da parábola y + 6y 8x + 1 = 0 Cônicas 61 Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema 1º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo x. A equação da elipse de centro C(h,k) é: (x - h) a + (y - k) b = 1 º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y. (x - h) b (y - k) + a = 1 Cônicas 6

32 Exemplo 1. Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse de equação 4x + 9y 8x 36y + 4 = 0 Cônicas 63 Equação da Hipérbole de Centro Fora da Origem do Sistema 1º Caso: O eixo real é paralelo ao eixo dos x. A equação da hipérbole de centro C(h,k) é: (x - h) a (y - k) b = 1 º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y. (y - k) a (x - h) b = 1 Cônicas 64

33 Exemplo 1. Determinar o centro, um esboço do gráfico,os vértices e os focos da hipérbole de equação: 9x 4y 18x 16y 43 = 0 Cônicas 65 Exemplo. Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e esboçar o gráfico da equação. A) B) C) x + 4 y 4 x 4 y + 36 = x y y 8x 4y + 11 = 0 8x + 6y + 17 = 0 0 Cônicas 66

34 Equação Geral do Segundo Grau Cônicas 67 Equação Geral do Segundo Grau Cônicas 68

35 Equação Geral do Segundo Grau + Cônicas 69 Equação Geral do Segundo Grau Cônicas 70

36 Equação Geral do Segundo Grau Cônicas 71 Equação Geral do Segundo Grau Portanto o gráfico de uma equação do segundo grau pode ser: 1.Uma elipse.uma hipérbole 3.Uma parábola 4.Um par de retas 5.Uma única reta 6.Um ponto ou 7.Conjunto vazio De 1 a 6 chamamos cônicas e de 4 a 6 cônicas degeneradas. Cônicas 7

37 Proposição Proposição: O gráfico de uma equação do º grau, isto é, o gráfico de uma equação da forma ax + by +cxy + dx + ey + f = 0, a, b ou c não nulo é uma cônica. Cônicas 73 Sessões Cônicas Cônicas 74

38 Sessões Cônicas Cônicas 75 Sessões Cônicas Cônicas 76

39 Sessões Cônicas Cônicas 77 FIM Cônicas 78