SEÇÕES CÔNICAS. Figura 1

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA UFBA DISCIPLINA: MATEMÁTICA BÁSICA II - SEM PROF. GRAÇA LUZIA DOMINGUEZ SANTOS SEÇÕES CÔNICAS Sejam duas retas e e r concorrentes em O, tal que o ângulo α entre e e r é diferente de Conservemos a reta e fixa e façamos r girar em torno de e, mantendo constante o ângulo entre as duas retas. Nestas condições, a reta r gera uma superfície cônica circular ou cone de revolução (ver figura 1) formada por duas folhas separadas pelo vértice O. e r O Figura 1 Obs: Reta r é chamada de geratriz da superfície cônica. Reta e é chamada de eixo de rotação da superfície. Chama-se seção cônica ou simplesmente cônica a curva obtida através de interseção de um cone de revolução com um plano. Estas curvas planas são representadas analiticamente por equações do 0 grau em duas variáveis. Seções cônicas/classificação de cônicas Prof. Graça Luzia Dominguez Santos 1

2 cônica será: Quando a superfície cônica é seccionada por um plano que não passa pelo vértice, a seção a) uma circunferência, se for perpendicular ao eixo de revolução e. Figura b) uma elipse, se o ângulo entre o plano e o eixo de rotação for maior que α. Figura 3 Seções cônicas/classificação de cônicas Prof. Graça Luzia Dominguez Santos

3 c) uma parábola, se for paralelo à geratriz. Figura 4 d) uma hipérbole, se o plano é paralelo ao eixo de rotação, ou possui uma inclinação β, com β < α Figura 5 Seções cônicas/classificação de cônicas Prof. Graça Luzia Dominguez Santos 3

4 Quando a superfície cônica é seccionada por um plano que passa pelo vértice, obtemos as cônicas degeneradas: a) um ponto, se só tem um ponto em comum com a superfície. O Figura 6 b) uma reta, se tangência a superfície cônica. O Figura 7 Seções cônicas/classificação de cônicas Prof. Graça Luzia Dominguez Santos 4

5 c) duas retas concorrentes, se contém o eixo de rotação, ou possui uma inclinação β, com β < α. Figura 8 Seções cônicas/classificação de cônicas Prof. Graça Luzia Dominguez Santos 5

6 CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS Considere a equação: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 (1 ), onde A, B e C não são simultaneamente nulos. Se a equação ( 1 ) tem um lugar geométrico, este deve ser uma seção cônica ou um par de retas paralelas. Exemplos: 1) x + y + 4 = 0 não existe lugar geométrico ) x + xy + y + x + y = 0 x + xy + y + x + y = 0 (x + y) (x + y +1) = 0 x + y = 0 ou x + y + 1 = 0 Par de retas paralelas 3) x + y = 0 ponto 4) x + xy + y = 0 x + xy + y = 0 (x + y) = 0 x + y = 0 reta 5) x y = 0 x y = 0 (x y)(x + y) = 0 y = x ou y = - x par de retas concorrentes 6) x + 3y = 6 elipse 7) x y = 1 hipérbole 8) y x = 0 parábola 9) x + y 4 = 0 circunferência Pode-se provar que estes noves casos esgotam as possibilidades. O processo para esboçar uma cônica pode ser bastante trabalhoso. Mas, se o objetivo for apenas de reconhecer a cônica, existem atalhos que encurtam o caminho. Seções cônicas/classificação de cônicas Prof. Graça Luzia Dominguez Santos 6

7 Exporemos esses procedimentos de maneira bastante informal, não demonstraremos os resultados apresentados. Dada a equação (1) Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 Afirmação 1: Os coeficientes dos termos de 0 grau da equação (1) são invariantes por uma translação de eixos. Ou seja, ao substituirmos x = u + h e y = v + k obtemos a equação: onde A = A, B = B e C = C. Au + Buv + Cv + Du + Ev + F = 0 () Afirmação : Através de uma rotação de eixos de um ângulo θ, onde B tgθ =, quando A C, obtemos uma equação da forma: A C θ = se A = C ou 4 A x + C y + D x + E y + F = 0 (3) Observe que o termo independente é o mesmo da equação (), pois o termo independente é invariante por rotação. Definição: Definimos o indicador da equação (1) como sendo a constante I = B 4AC. Afirmação 3: O indicador é invariante por rotação, isto é, I = B - 4AC = - 4A'C. (Obs: o coeficiente do termo misto da equação (3) é nulo) Afirmação 4: Se I = 0 dizemos que a equação (1) é do tipo parabólico. Neste caso, o lugar geométrico que a equação (1) representa pode ser: vazio, reta, reunião de duas retas paralelas ou parábola. (obs: I = - 4A'C = 0 A' = 0 ou C = 0) Se I > 0 dizemos que a equação (1) é do tipo hiperbólico. Neste caso, o lugar geométrico que a equação (1) representa pode ser: par de retas concorrentes ou hipérbole. (obs: I = - 4A'C > 0 A' e C têm sinais contrários) Seções cônicas/classificação de cônicas Prof. Graça Luzia Dominguez Santos 7

8 Se I < 0 dizemos que a equação (1) é do tipo elíptico. Neste caso, o lugar geométrico que a equação (1) representa pode ser: vazio, ponto, circunferência ou elipse. (obs: I = - 4A'C < 0 A' e C têm os mesmos sinais) Com bases nesses resultados podemos utilizar o seguinte roteiro para classificar cônicas, usando o mínimo de cálculo possível. Roteiro: Dada a equação (1) Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 Determinar o indicador I = B 4AC. 1) Se I = 0 Fazendo uma translação de eixos para eliminar os termos de 1 0 grau (x = u + h e y = v + k), obteremos um sistema nas variáveis h e k que pode ser: Impossível: a cônica é uma parábola Justificativa: Pois, se efetuarmos uma rotação de eixos obteremos uma das seguintes equações: A x + D x + E y + F = 0 ou C y + Dx + E y + F = 0, que completando os quadrados resulta na equação padrão de uma parábola. Indeterminado: Escolhemos uma solução (h 0,k 0 ), que ao substituirmos na equação (I) resulta em um das seguintes equações: Au + Buv + F = 0 ou Buv + Cv + F = 0 - Se F = 0 então o lugar geométrico é uma reta. Justificativa: Pois, se efetuarmos uma rotação de eixos obteremos uma das seguintes equações: A x = 0 ou C y = 0. - Se F 0, temos que fazer uma rotação de eixos para verificar se o lugar geométrico não existe(isto é, é o conjunto vazio) ou é um par de retas paralelas. ) Se I > 0 Fazendo uma translação de eixos para eliminar os termos de 1 0 grau. Obteremos uma equação da forma: Au + Buv + Cv + F = 0 - Se F = 0 então o lugar geométrico é um par de retas concorrentes. Seções cônicas/classificação de cônicas Prof. Graça Luzia Dominguez Santos 8

9 Justificativa: Neste caso, se efetuarmos uma rotação de eixos a equação resultante será: A x + C y = 0 A x = C y ou A x = C y, se A > 0 e C < 0. Analogamente para A < 0 e C > 0. -Se F 0 então o lugar geométrico é uma hipérbole. Justificativa: Neste caso, se efetuarmos uma rotação de eixos obteremos a seguinte equação: A x + C y = - F, que é a equação padrão de uma hipérbole (lembre-se que A' e C têm sinais contrários). 3) Se I < 0 Fazendo uma translação de eixos para eliminar os termos de 1 0 grau. Obteremos uma equação da forma: Au + Buv + Cv + F = 0 -Se F = 0 então o lugar geométrico é um ponto. Justificativa: Pois, se efetuarmos uma rotação de eixos a equação resultante será: A x + C y = 0 x = 0 e y = 0 (lembre-se que A' e C têm sinais iguais). -Se F 0, temos que fazer uma rotação de eixos para verificar se o lugar geométrico não existe(isto é, é o conjunto vazio), e uma elipse ou circunferência(*). (*) Foi visto no 0 grau que o lugar geométrico da equação (1) é uma circunferência se e se somente se, A = C, B = 0 e D + E 4AF > 0. Bibliografia: - BOULOS, Paulo CAMARGO,Ivan de. Geometria Analítica. Um tratamento Vetorial. Makron Books - STEINBRUCH, Alfredo WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. a edição. Makron Books Seções cônicas/classificação de cônicas Prof. Graça Luzia Dominguez Santos 9