Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Cónicas e Quádricas

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1 universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 6 Cónicas e Quádricas

2 Equação geral de uma cónica [6 01] As cónicas são curvas obtidas pela interseção de um plano com um cone. Dados α, β, γ R não simultaneamente nulos e δ, η, µ R, α x 2 + β y γ x y + δ x + η y + µ = 0 [ x ] y }{{} X T α γ } {{ } A γ x β y }{{} X [ + δ ] η }{{} B x + µ = 0 y }{{} X X T A X + B X + µ = 0, com A matriz simétrica 2 2 não nula e B matriz 1 2, é a equação geral que as coordenadas X R 2 dos pontos de uma cónica satisfazem.

3 Equação reduzida de uma elipse [ x ] y 1 0 a b 2 x 1 = 0 y y (0, b) x2 a 2 + y2 b 2 = 1, 0 < a b [6 02] ( a, 0) (a, 0) x (0, b) Caso particular: a = b (=raio) circunferência

4 Equação reduzida de uma hipérbole [ x ] y 1 a b 2 x 1 = 0 y x2 a y2 = 1, a, b > 0 2 b2 [6 03] y (0, b) ( a, 0) (a, 0) x (0, b)

5 Equação reduzida de uma parábola [ x ] y a 0 x y [ ] 0 1 x y = 0 y = ax 2 [6 04] a > 0 a < 0 y y a 1 x 1 x a

6 Diagonalização ortogonal de A [6 05] Pode simplificar-se a equação geral de uma cónica X T A X + B X + µ = 0 efetuando a diagonalização ortogonal da matriz simétrica A. Seja P uma matriz ortogonal tal que P T A P = D = λ 1 0, 0 λ 2 onde os valores próprios λ 1 e λ 2 de A estão ordenados do seguinte modo: λ 1 λ 2, se ambos são não nulos; λ 2 = 0, se um dos valores próprio é nulo.

7 Redução da equação de uma cónica [6 06] Considerando X = P ˆX e ˆB = B P na equação das cónicas, obtém-se ˆX T P T A P ˆX + B P ˆX + µ = ˆX T D ˆX + ˆB ˆX + µ = 0 [ ] ˆx que, para ˆX = e ˆB = [ˆδ ˆη], é equivalente a ŷ [ ˆx ] ŷ λ λ 2 ˆx + [ˆδ ŷ ] ˆx ˆη + µ = 0 ŷ λ 1 ˆx 2 + λ 2 ŷ 2 + ˆδˆx + ˆηŷ + µ = 0, onde o termo cruzado (termo em xy ) foi eliminado. A técnica para eliminar os termos ˆB ˆX ou µ, quando possível, será mostrada nos exemplos. Nota: Se P > 0, esta mudança de variável corresponde a uma rotação.

8 Exemplo 1 [6 07] x 2 + y 2 + 4xy 2x + 2y 6 = 0 com X = X T A X + B X 6 = 0 x, A = 1 2, B = y 2 1 [ ] 2 2. No Exemplo 5 do Capítulo 5 (slide 5-17) efetuou-se a diagonalização ortogonal da matriz simétrica A, tendo-se obtido P T A P = 3 0 com P = 0 1 uma matriz ortogonal

9 Exemplo 1 continuação [6 08] Considerando X = P ˆX, obtém-se Tomando ˆX = [ ] ˆx ŷ ˆX T P T A P ˆX + BP ˆX = 6. e atendendo a que BP = [ 0 2 ] 2, obtém-se 3ˆx 2 ŷ ŷ = 6 3ˆx 2 (ŷ 2 2 2ŷ + 2) = 6 2 3ˆx 2 (ŷ 2) 2 = 4 }{{} x = ˆx ỹ x2 4 3 ỹ2 4 = 1. Esta última é a equação reduzida de uma hipérbole. Nota: A mudança de variável ỹ = ŷ 2 corresponde a uma translação.

10 Exemplo 2 [6 09] 2x 2 + y x + 4y + 18 = 0 2 ( x 2 + 6x + 9 ) 18 + ( y 2 + 4y + 4 ) = 0 2 ( x + 3 ) }{{} 2 + ( y + 2 ) }{{} 2 = 4 x ỹ x ỹ2 4 = 1. Esta última é a equação reduzida de uma elipse.

11 Exemplo 3 [6 10] 2x x + 3y + 15 = 0 2 ( x 2 + 6x + 9 ) y + 15 = 0 2 ( x + 3 ) }{{} 2 + 3( y 1 ) = 0 }{{} x ỹ ỹ = 2 3 x2. Esta é a equação reduzida de uma parábola.

12 Exemplos de equações que não correspondem a curvas [6 11] Exemplo 4: 2x 2 + y x + 4y + 24 = 0 2 ( x 2 + 6x + 9 ) 18 + ( y 2 + 4y + 4 ) = 0 2 (x + 3) 2 + (y + 2) 2 = 2. Esta é a equação de um conjunto vazio. Exemplo 5: 2x 2 + y x + 4y + 22 = 0 2 (x + 3) 2 + (y + 2) 2 = 0. x = 3 e y = 2. Esta é a equação de um ponto.

13 Cónicas degeneradas [6 12] Situações degeneradas que podem ocorrer: 1. x2 a 2 + y2 b 2 = 1 conjunto vazio; 2. x 2 a 2 = 1 conjunto vazio; x 2 a 2 x 2 a 2 + y2 b 2 = 0 um ponto (origem do referencial); x 2 a 2 = 0 duas retas coincidentes (eixo Oy, x = 0); x 2 a 2 = 1 duas retas estritamente paralelas (x = ±a); y2 b 2 = 0 duas retas concorrentes (y = ± b a x).

14 Identificação de cónicas com 2 valores próprios não nulos [6 13] Identificação da cónica representada pela equação λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + µ = 0. Caso 1. λ 1 e λ 2 têm o mesmo sinal, ou seja, A > 0 µ e λ 1 têm sinais contrários elipse µ e λ 1 têm o mesmo sinal conjunto vazio µ = 0 um ponto: (0, 0) Caso 2. λ 1 e λ 2 têm sinais contrários, ou seja, A < 0 µ 0 hipérbole µ = 0 duas retas concorrentes: y = ± x λ 1 λ 2

15 Identificação de cónicas com 1 valor próprio não nulo [6 14] Identificação da cónica representada pela equação (onde A = 0) λ 1 x 2 + η y + µ = 0. Caso 1. η 0 parábola Caso 2. η = 0 µ e λ 1 têm o mesmo sinal conjunto vazio µ e λ 1 têm sinais contrários duas retas estritamente paralelas: x = ± µ λ 1 µ = 0 duas retas coincidentes: x = 0 (eixo Oy)

16 Equação geral de uma quádrica [6 15] A equação geral (na forma matricial) de uma quádrica é X T A X + B X + µ = 0, (1) com A matriz simétrica 3 3 não nula, B matriz 1 3, X R 3 e µ R. A partir desta equação geral podem ser obtidas as equações reduzidas das quádricas por um processo análogo ao levado a cabo para as cónicas: 1. rotação dos eixos (diagonalização ortogonal de A) e 2. translação dos eixos. Exercício: Determine as interseções com os planos coordenados (x = 0, y = 0 e z = 0) de todas as quádricas apresentadas nos próximos 5 slides.

17 Equação reduzida do elipsóide [6 16] Equação reduzida de um elipsóide: x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1. Nota: No caso particular a = b = c, tem-se uma esfera.

18 Equações reduzidas dos hiperbolóides [6 17] Equação reduzida de um Equação reduzida de um hiperbolóide de uma folha: hiperbolóide de duas folhas: x 2 a + y2 2 b z2 2 c = 1. x 2 2 a y2 2 b z2 2 c = 1. 2

19 Quádricas degeneradas: o cone [6 18] Equação reduzida de um cone: x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0.

20 Equações reduzidas dos parabolóides [6 19] Equação reduzida de um parabolóide eĺıptico: z = x2 a 2 + y2 b 2. Equação reduzida de um parabolóide hiperbólico: z = x2 a 2 y2 b 2.

21 Quádricas degeneradas: os cilindros [6 20] Equação reduzida de Equação reduzida de Equação reduzida de um cilindro eĺıptico: um cilindro hiperbólico: um cilindro parabólico: x 2 a + y2 2 b = 1. x 2 2 a y2 2 b = 1. y = 2 ax2.

22 Exemplo 6 [6 21] com X = 8x 2 8y z xy 4xz 4yz 24 = 0 x y z X T A X = 24, e A = Como os valores próprios de A são 12, 6 e 24, existe P ortogonal tal que P T A P = D =

23 Exemplo 6 continuação [6 22] Considerando X = P ˆX na equação geral, com ˆX = x y, obtém-se z X T AX = 24 ˆX T D ˆX = 24 12ˆx 2 + 6ŷ 2 24ẑ 2 = 24 ˆx2 2 + ŷ2 4 ẑ2 = 1 que é a equação reduzida de um hiperbolóide de uma folha. Nota: As interseções com os eixos coordenados são: ˆx = 0 ŷ2 4 ẑ2 = 1 hipérbole no plano ŷoẑ ŷ = 0 ˆx2 2 ẑ2 = 1 hipérbole no plano ˆxOẑ ẑ = 0 ˆx2 2 + ŷ2 = 1 elipse no plano ˆxOŷ 4

24 Identificação de quádricas com 3 valores próprios não nulos [6 23] Identificação da quádrica representada pela equação λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + λ 3 z 2 + µ = 0. Caso 1. λ 1, λ 2 e λ 3 têm o mesmo sinal µ e λ 1 têm sinais contrários elipsóide µ e λ 1 têm o mesmo sinal conjunto vazio µ = 0 ponto (0, 0, 0) Caso 2. λ 1 e λ 2 têm o mesmo sinal que é contrário ao de λ 3 µ e λ 1 têm sinais contrários hiperbolóide de uma folha µ e λ 1 têm o mesmo sinal hiperbolóide de duas folhas µ = 0 cone

25 Identificação de quádricas com 2 valores próprios não nulos [6 24] Identificação da quádrica representada pela equação λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + η z + µ = 0. Caso 1. λ 1 e λ 2 têm o mesmo sinal η 0 parabolóide eĺıptico µ e λ 1 têm sinais contrários cilindro eĺıptico η = 0 µ e λ 1 têm o mesmo sinal conjunto vazio Caso 2. λ 1 e λ 2 têm sinal contrário η 0 parabolóide hiperbólico µ = 0 eixo Oz η = 0 µ 0 cilindro hiperbólico µ = 0 dois planos concorrentes y = ± que se intersetam no eixo Oz λ 1 λ 2 x

26 Identificação de quádricas com 1 valor próprio não nulo [6 25] Identificação da quádrica representada pela equação λ 1 x 2 + η y + µ = 0. Caso 1. η 0 cilindro parabólico Caso 2. η = 0 µ e λ 1 têm sinais contrários dois planos estritamente paralelos: x = ± µ λ 1 µ e λ 1 têm o mesmo sinal conjunto vazio µ = 0 dois planos coincidentes: x = 0 (plano yoz) Nota: Na equação λ 1 x 2 + ηy + νz + µ = 0, o termo em z elimina-se com uma oportuna escolha da base do espaço próprio associado a zero.