Questão 2: Considere a hipérbole descrita pela equação 9x 2 16y 2 = 144. vértices, focos e esboce seu gráco.

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1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 8 - Cônicas e Quádricas Desenvolvidas juntamente com os professores Adriano Verdério e Nara Bobko a partir das referências que constam no plano de ensino. Questão 1: Considere a elipse dada pela equação 16x 2 +25y 2 = 400. Encontre seus elementos (foco(s), vértice(s), medida eixo(s), etc.) e faça um esboço desta cônica. Questão 2: Considere a hipérbole descrita pela equação 9x 2 16y 2 = 144. vértices, focos e esboce seu gráco. Encontre seus Questão : Considere a parábola que possui vértice V = (0, 0) e foco F = (0, 2). Determine a equação reduzida desta parábola e faça um esboço da parábola indicando seus elementos (foco, vértice, diretriz e eixo). Questão 4: Determine a equação da elipse que satisfaz as condições dadas. Esboce o gráco. a) eixo maior mede 10 e focos (±4, 0). b) centro C = (0, 0), focos no eixo x, excentricidade e = 2 ( P = 2, 5 ). e passa pelo ponto c) vértices A = (0, ±6) e passa pelo ponto P = (, 2). d) vértices A 1 = (1, 4) e A 2 = (1, 8), excentricidade e = 2. Questão 5: Determine os elementos da elipses dadas. Esboce o gráco. x 2 a) y2 6 = 1. b) x y 2 = 25. c) 9x 2 + 5y 2 45 = 0. d) 4x 2 + 9y 2 = 25. e) 4x y 2 = 1. f) 25x y x + 64y 11 = 0. g) 16x 2 + 9y 2 96x + 72y = 0. h) 4x 2 + 9y 2 8x 6y + 4 = 0. Questão 6: Determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboce o gráco e seus elementos, incluindo as assíntotas. a) 9x 2 16y 2 = 144. b) x 2 y 2 = 2. 1

2 c) y 2 4x 2 = 1. d) 2y 2 4x 2 = 1. e) 9x 2 4y 2 18x 16y 4 = 0. f) 9x 2 y 2 + 6x + 6y + 6 = 0. g) 16x 2 9y 2 64x 18y = 0. Questão 7: Uma parábola de vértice V = (h, k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma (x h) 2 = 2p(y k). Encontre os valores de a, b e c de modo a escrever a forma explícita da equação da parábola cujo eixo é paralelo ao eixo y: y = ax 2 + bx + c. Mostre também que a abscissa do vértice é h = b 2a Questão 8: Em cada caso determine a equação reduzida da parábola. a) vértice V = (0, 0) e diretriz d : y = 2. b) foco F = (2, 0) e diretriz d : x + 2 = 0. c) vértice V = (0, 0), simetria em relação ao eixo y e passando pelo ponto P = (2, ). d) vértice V = ( 4, ) e foco F = ( 4, 1). e) eixo de simetria paralelo ao eixo y e passa pelos pontos A = (0, 0), B = (1, 1) e C = (, 1). Questão 9: Em cada caso determine o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboce o gráco. a) x 2 = 12y. b) y 2 = 100x. c) x 2 + 4x + 8y + 12 = 0. d) x 2 2x 20y 9 = 0. e) 8x = 10 6y + y 2. f) y = 4x 2 16x Questão 10: Determine que tipo de cônica está sendo descrita pela equação em cada um dos casos abaixo. a) x2 9 + y = 0 b) x 2 y 2 = 0 c) x 2 + y = 0 d) x2 9 y2 4 1 = 0 2

3 e) x 2 2xy + y 2 = 0 f) x 2 2y = 0 g) x 2 + y 2 = 0 h) x 2 1 = 0 Questão 11: Identique a cônica e encontre sua posição quando a sua equação é: a) 4x 2 + 4xy + y 2 x = 0 b) xy + x + y = 0 c) x 2 + xy + y 2 = 0 Questão 12: Identique a cônica, encontre sua equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráco. a) 9x 2 4xy + 6y 2 0 = 0 b) 2x 2 4xy y 2 = 24 c) 9x 2 + y 2 + 6xy 10 10x y + 90 = 0 Questão 1: Obtenha a equação resultante de uma translação de eixos, classicar, encontrar os elementos e representar gracamente as equações. a) x 2 + 4y 2 4x 24y + 6 = 0. b) x 2 y 2 8x 4y + 11 = 0. c) y 2 8x + 6y + 17 = 0. d) x 2 + 2y 2 12x + 8y + 19 = 0. e) x 2 + 2x + 8y 15 = 0. f) 9x 2 4y 2 54x + 45 = 0. g) 9y 2 25x 2 90y 50x = 25. Questão 14: Determine a equação reduzida num novo sistema de coordenadas e classique cada uma das cônica a seguir. Esboce o gráco, quando possível. a) 17x 2 +12xy +8y 2 10x+20y +5 = 0. b) 4x 2 +6xy 4y 2 +20x 20y 19 = 0. c) 16x 2 24xy+9y 2 15x 20y+50 = 0. d) x 2 + 2xy + y 2 4 = 0. e) 2x 2 + 4xy + 2y 2 16 = 0. f) 7x 2 8xy + y = 0. g) x 2 y 2 2x 2y = 0. h) x 2 + 2xy + y 2 8 = 0. i) x 2 + 2xy + y 2 = 0. j) x 2 + 2xy + y = 0. k) x 2 + 4xy + y 2 = 0. l) x 2 + 2xy + y = 0. m) x 2 +2x y +y 2 14x 10y+19 = 0.

4 n) x 2 + 2xy + y 2 6x 6y + 8. Questão 15: Identique as quádricas representadas pelas equações. a) x 2 + y 2 + z 2 = 25. b) 2x 2 + 4y 2 + z 2 16 = 0. c) x 2 4y 2 + 2z 2 = 8. d) z 2 4x 2 4y 2 = 4. e) x 2 + z 2 4y = 0. f) 4x 2 y 2 = z. g) y 2 = 4z. h) x 2 4y 2 = 16. i) 16x 2 + 9y 2 z 2 = 144. j) 16x 2 9y 2 z 2 = 144. k) 2y 2 + z 2 x 2 = 0. l) 4x 2 + 9y 2 = 6z. Questão 16: Determine a equação reduzida num novo sistema de coordenadas e classique cada uma das quádricas a seguir. a) 2x 2 y 2 2z 2 + 8x + 4 = 0. b) 5x 2 + 5y 2 + 5z 2 10x + 20z = 0. c) 9x 2 4y 2 16y 6z 16 = 0. d) x 2 + y 2 2y = 0. e) x 2 + 4y 2 z 2 2x + 16y + 17 = 0. f) x 2 2xy + 2xz + 5y 2 2yz + z 2 4x + 6y 2z = 0. g) 4xz + y 2 4x + 2y = 0. h) 2x 2 4xy 2xz + 2y 2 + 2yz + 5z 2 10x 6y 2z 7 = 0. 4

5 Respostas 1. Vértices: (±5, 0) e (0, ±4), Focos: (±, 0), a = 5, b = Vértice: (±4, 0), Focos: F = (±5, 0).. x 2 = 8y 4. a) x y2 9 = 1. c) x y2 6 = 1. b) x2 9 + y2 5 = 1. d) (x 1) (y 2)2 6 = a) C = (0, 0), A = (±10, 0), B = (0, ±6), F = (±8, 0), e = 4 5. b) C = (0, 0), A = (0, ±), B = (± 5, 0), F = (0, ±2), e = 2. c) C = (0, 0), A = (±5, 0), B(0, ±1), F = (±2 6, 0), e = d) C = (0, 0), A = (± 52 ) (, 0, B = 0, ± 5 ) ( ), F = ± 5 5 6, 0, e = e) C = (0, 0), A = (± 12 ), 0, B = ( 0, ± 1 ) ( ) 21, F = ± 25 10, 0, e = f) C = ( 1, 2), A 1 ( 1, 7), A 2 = ( 1, ), B 1 = ( 5, 2), B 2 = (, 2), F 1 = ( 1, 5), F 2 = ( 1, 1), e = 5. g) C = (, 4), A 1 = (, 8), A 2 = (, 0), B 1 = (0, 4), B 2 = (6, 4), F = (, 4 ± 7 7), e = 4. h) C = (1, 2), A 1 = ( 2, 2), A 2 = (4, 2), B 1 = (1, 0), B 2 = (1, 4), F = (1 ± 5, 2), 5 e =. 6. a) C = (0, 0), A = (±4, 0), F = (±5, 0), e =

6 b) C = (0, 0), A = (± 2, 0), F = (±2, 0), e = 2. ( ) 5 5 c) C = (0, 0), A = (0, ±1), F = 0, ±, e = 2 2. ( ) ( ) 2 d) C = (0, 0), A = 0, ±, F = 0, ±, e = e) C = (1, 2), A 1 = ( 1, 2), A 2 = (, 2), F = (1 ± 1 1, 2), e = 2. f) C = ( 2, ), A 1 = ( 2, ), A 2 = ( 2, 9), F = ( 2, ± ), e =. g) C = (2, 1), A 1 = (2, 5), A 2 = (2, ), F 1 = (2, 6), F 2 = (2, 4), e = a) x 2 = 8y. b) y 2 = 8x. c) x 2 = 4 y. d) (x + 4) 2 = 8(y ). ( e) (x 2) 2 = y 4 ). 9. a) V = (0, 0), F = (0, ), y =, x = 0. b) V = (0, 0), F = ( 25, 0), x = 25, y = 0. c) V = ( 2, 1), F = ( 2, ), y = 1, x = 2. d) V = (1, 2), F = (1, ), y = 7, x = 1. ( ) ( ) 1 17 e) V = 8,, F = 8,, 8x + 15 = 0, y =. f) V = (2, 1), F = ( 2, ), y = 17 16, x = 2. 6

7 10a. Elipse 10b. Retas concorrentes 10c. Conjunto vazio 10d. Hipérbole 10e. Uma reta 10f. Parábola 10g. Um ponto 10h. Duas retas paralelas 11. a) Parábola b) Hipérbole c) Elipse 12. a) Elipse: x 2 /6 + y 2 / = 1 b) Hipérbole: x 2 /12 + y 2 /8 + 1 = 0 c) Parábola: y 2 + 4x 2y + 9 = 0 1. a) Elipse. b) Hipérbole. c) Parábola. d) Elipse. e) Parábola. f) Hipérbole. g) Hipérbole. 14. a) Elipse. b) Hipérbole. c) Parábola. d) Elipse. e) Duas retas paralelas. f) Hipérbole. g) Duas retas concorrentes. h) Duas retas paralelas. i) Uma reta. j) Conjunto vazio. 7

8 k) Duas retas concorrentes. l) Conjunto vazio. m) Um ponto. n) Duas retas paralelas. 15. a) Superfície esférica. b) Elipsóide. c) Hiperbolóide de uma folha. d) Hiperbolóide de duas folhas. e) Parabolóide circular. f) Parabolóide hiperbólico. g) Superfície cilíndrica parabólica. h) Superfície cilíndrica hiperbólica. i) Hiperbolóide de uma folha. j) Hiperbolóide de duas folhas. k) Superfície cônica elíptica. l) Parabolóide elíptico. 16. a) Hiperbolóide de duas folha. b) Superfície esférica. c) Parabolóide hiperbólico. d) Superfície cilíndrica circular. e) Superfície cônica. f) Elipsóide. g) Hiperbolóide de uma folha. h) Parabolóide elíptico. 8