Geometria Analítica I

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1 Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula 21 1 Geometria Analítica I 29/04/2011 Respostas dos Exercícios do Módulo I - Aula 21 Aula a. Trata-se da hipérbole de centro na origem, semi-eixo real vertical de comprimento a = 4 e semi-eixo imaginário horizontal de comprimento b = 3. Assim, o gráfico é b. Trata-se da hipérbole de centro na origem, semi-eixo real vertical de comprimento a = 4 e semi-eixo imaginário horizontal de comprimento

2 Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula 21 2 b = 5. Assim, o gráfico é c. Trata-se da hipérbole de centro na origem, semi-eixo real vertical de comprimento a = 2 e semi-eixo imaginário horizontal de comprimento b = 6. Assim, o gráfico é d. Trata-se da hipérbole de centro em (1, 2), semi-eixo real vertical de comprimento a = 3 e semi-eixo imaginário horizontal de comprimento b = 2. Assim, o gráfico é

3 Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula 21 3 Como 9(x + 2) 2 + 4(y 3) 2 (x + 2)2 (y 3)2 = 36 + = 1, trata-se da hipérbole de centro em ( 2, 3), semi-eixo real vertical de comprimento a = 3 e semi-eixo imaginário horizontal de comprimento b = 2. Assim, o gráfico é Como 4(x + 2) (y 1) 2 (x + 2)2 (y 1)1 = 4 + = 1, 1 2 (1/2) 2 trata-se da hipérbole de centro em ( 2, 1), semi-eixo real vertical de comprimento a = 1/2 e semi-eixo imaginário horizontal de comprimento b = 1. Assim, o gráfico é 2. Uma vez conhecidos a e b, podemos encontrar c utilizando a relação c 2 = a 2 + b 2, que, reescrita, nos dá c = a 2 + b 2. Como todas as hipérboles do exercício anterior têm eixo real vertical, os focos serão dados por F 1 = (x 0, y 0 c) e F 2 = (x 0, y 0 + c), onde C = (x 0, y 0 ) é o centro. Da mesma forma, os vértices serão V 1 = (x 0, y 0 a), V 2 = (x 0, y 0 +a). A excentricidade

4 Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula 21 4 será dada por c/a. a. c = = 5. Assim, Focos: F 1 = (0, c) = (0, 5), F 2 = (0, c) = (0, 5), Vértices: V 1 = (0, a) = (0, 4), V 2 = (0, a) = (0, 4). Excentricidade e = c/a = 5/4. b. c = = 41. Assim, Focos: F 1 = (0, 41), F 2 = (0, 41), Vértices: V 1 = (0, 4), V 2 = (0, 4). Excentricidade e = c/a = 41/4. c. c = = 40 = Assim, Focos: F 1 = (0, 2 10), F 2 = (0, 2 10), Vértices: V 1 = (0, 2), V 2 = (0, 2). Excentricidade e = c/a = 2 10/2. d. c = = 13. Assim, Focos: F 1 = (1, 2 13), F 2 = (1, ), Vértices: V 1 = (1, 2 3) = (1, 5), V 2 = (1, 2 + 3) = (1, 1). Excentricidade e = c/a = 13/3. e. c = = 13. Assim, Focos: F 1 = ( 2, 3 13), F 2 = ( 2, ), Vértices: V 1 = ( 2, 0), V 2 = ( 2, 6) Excentricidade e = c/a = 5/3. f. c = (1/2) = 5/2. Assim, Focos: F 1 = ( 2, 1 5/2), F 2 = ( 2, 1 + 5/2), Vértices: V 1 = ( 2, 1/2), V 2 = ( 2, 3/2) Excentricidade e = c/a = ( 5/2)/1/2) = a. O centro será o ponto médio dos focos ou dos vértices, o que dá na mesma. Assim, o centro é ( 2, 0). A distância entre os focos é 2c = d(( 2, 5), ( 2, 5)) = 10, logo c = 5. A distância entre os vértices é 2a = d(( 2, 3), ( 2, 3)) = 6, logo a = 3. Assim, 5 2 = b 2, logo b = 4. Como o eixo real é vertical, a equação da hipérbole será então y 2 (x + 2)2 =

5 Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula 21 5 b. O centro é o ponto médio dos extremos de cada eixo, logo, o centro é dado por (6, 1) (ponto médio de (3, 1) e (9, 1), ou de (6, 1) e (6, 3)). O comprimento dos eixos são 2b = d((3, 1), (9, 1)) = 6 e 2a = d((6, 1), (6, 3)) = 4, logo, b = 3, a = 2. Assim a equação será (x 6)2 (y 1)2 + = c. Como os comprimentos dos eixos real e imaginário são, respectivamente, 2a = 10 e 2b = 6, temos a = 5, b = 3. Assim, como o centro é (2, 3) e o eixo real é vertical, (x 2)2 (y + 3)2 + = d. O centro é o ponto médio dos vértices ( 1, 4) e ( 1, 4), logo o centro é ( 1, 0). A distância entre os vértices é 2a = d(( 1, 4), ( 1, 4)) = 8, logo, a = 4. Além disso, o comprimento do eixo imaginário é 2b = 8, logo b = 4. Como o centro é ( 1, 4) e o eixo real vertical, temos (x + 1)2 + y = 1. 2 e. O centro é ( 1, 1), e um dos focos é ( 1, 7/2), logo, c = d(( 1, 1), ( 1, 7/2)) = 5/2. Como o centro e o foco dado estão em uma mesma reta vertical, o eixo real será vertical, logo temos como assíntotas as retas (x + 1) = ± b a (y 1) x = ± b a y b a 1. Uma destas assíntotas é paralela à reta y = 3 x, que é equivalente a 4 x = 4 y. Assim, 3 b a = 4 3 b = 4 3 a. (Um erro comum aqui é concluir que b = 4 e a = 3, o que não é necessariamente verdade!) Como c 2 = a 2 + b 2, temos ( ) 2 ( ) = a a 25a2 9 = 25 4 a = 3 2,

6 Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula 21 6 logo b = 2. Com isso, a equação da hipérbole é (x + 1)2 (y 1)2 + = (3/2) 2 4. a. Como 4x 2 y 2 + 8x + 6y + 11 = 0 4(x 2 + 2x) (y 2 6y) + 11 = 0 4(x 2 +2x+1) (y 2 6y+9) = 0 4(x+1) 2 (y 3) 2 = 16 (x + 1)2 (y 3)2 + = temos a hipérbole de eixo real vertical, centro ( 1, 3), a = 4, b = 2, c = 2 5. Assim, os focos são F 1 = ( 1, 3 2 5), F 2 = ( 1, ). Os vértices serão ( 1, 1), ( 1, 7). As assíntotas serão (x + 1) = ± 1 (y 3), 2 e os eixos de simetria serão as retas horizontal e vertical contendo o centro, dadas por x = 1 e y = 3. b. Como 9x y 2 90x + 32y 353 = 0 c : (y + 1)2 (x + 5)2 = 1, temos a hipérbole de eixo real vertical, centro ( 5, 1), focos F 1 = ( 5, 6), F 2 = ( 5, 4), vértices ( 5, 2), ( 5, 4), assíntotas (x + 5) = ± 4 (y + 1) 3 e eixos de simetria x = 5 e y = 1. c. Como 4x 2 + 9y 2 32x 36y 64 = 0 d : (y 2)2 (x + 4)2 = temos a hipérbole de eixo real vertical, centro ( 4, 2), focos F 1 =

7 Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula 21 7 ( 4, 2 13), F 2 = ( 4, ), vértices ( 4, 0), ( 4, 4), assíntotas (x + 4) = ± 3 (y 2) 2 e eixos de simetria x = 4 e y = 2. d. Como x 2 4y 2 + 6x + 24y 31 = 0 d : (x + 3)2 (y 3)2 = 1, temos a hipérbole de eixo real horizontal, centro ( 3, 3), focos F 1 = ( 3 sqrt5, 3), F 2 = ( 3 + 5, 3), vértices ( 5, 3), ( 1, 3), assíntotas (y 3) = ± 1 (x + 3) 2 e eixos de simetria x = 3 e y = x 2 4y 2 = 4 :

8 Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula x 2 y 2 = 9 : x 2 y 2 = 1 : Note que neste último caso, as retas a e b da construção coincidem.