Aula 13 de Bases Matemáticas

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1 Aula 3 de Bases Matemáticas Rodrigo Hausen Versão: 8 de julho de 206 Catálogo de Funções Reais No estudo de unções é extremamente útil conhecer as propriedades e gráicos de algumas unções reais. Função constante : R R x (x) = c, onde c é uma constante real Gráico de = {(x, y) R 2 ; y = c} = {(x, c); x R} se c > 0 se c = 0 se c < 0 2 Função identidade Gráico de = {(x, x); x R} : R R x (x) = x (x)=x

2 3 Função módulo : R R x (x) = x { x, se x 0 Note que x = x, se x < 0 deinida por partes. Gráico:, ou seja a unção módulo é uma unção (x)= x 3. Composição da unção módulo com outras unções Seja a unção módulo e g uma unção real com gráico como abaixo: g Considere a unção real g tal que g(x) = (g(x)) = g(x), cujo gráico é: 2

3 g g Considere agora a unção g, onde g (x) = g((x)) = g( x ), cujo gráico é: g g 4 Função linear : R R x (x) = ax, onde a é uma constante real se a > 0 se a = 0 se a < 0 3

4 4. Propriedade importante Uma unção real é linear se, e somente se, as três condições abaixo são satiseitas: (0) = 0 (cx) = c(x) para qualquer número real c (x + x 2 ) = (x ) + (x 2 ) Demonstração. ( ) Trivial. ( ) Considere satisazendo as três condições, g(x) = ax, com a 0, e h(x) = (x) g(x). Demonstre que h : R R é constante. Note que a unção identidade é um caso particular de unção linear. Pergunta: se é ao mesmo tempo constante e linear, o que podemos concluir sobre? 5 Função aim : R R x (x) = ax + b, a, b constantes reais No caso em que a = 0, temos uma unção constante. No caso em que b = 0, temos uma unção linear. Analisaremos o gráico de uma unção aim em que ambos a e b são dierentes de zero. se a > 0, b > 0 se a > 0, b < 0 b b/a b b/a se a < 0, b > 0 se a < 0, b < 0 b b/a b/a b 4

5 Observações: a unção corta o eixo Y no ponto (0, b), pois (0) = a0 + b = b. se a 0, a unção corta o eixo X no ponto ( b/a, 0), pois (x) = 0 ax + b = 0 x = b/a toda unção linear é uma unção aim, mas nem toda unção aim é linear (p. ex. (x) = x + é aim, mas não linear) as unções constantes são ains 6 Função polinomial : R R x (x) = a n x n + a n x n a x + a 0, a 0, a,... a n constantes reais Ou seja, a expressão para (x) é um polinômio. Dizemos que o grau de uma unção linear é n se n é o maior expoente para o qual a n 0. Exemplos: (x) = 2x + 3. Grau de = g(x) = x 2 + 3x. Grau de g = 2 h(x) = 0x 6 + 6x 4 + x Grau de h = 4 Observe que: uma unção polinomial de grau 0 tem expressão (x) = a 0, ou seja, é uma unção constante uma unção polinomial de grau tem expressão (x) = a x + a 0, ou seja, é uma unção aim uma unção polinomial de grau 2 tem expressão (x) = a 2 x 2 + a x + a 0, onde a 2 0. Funções polinomiais de grau 2 também são chamadas de unções quadráticas. 6. Funções quadráticas : R R x (x) = ax 2 + bx + c, a, b, c constantes reais Iniciaremos o estudo destas unções pelo caso especial a =, b = 0, c = 0, ou seja, pela unção cuja expressão é (x) = x 2. Gráico de (x) = x 2 : parábola com vértice em (0, 0) e que passa pelos pontos (, ) e (, ). 5

6 (x)=x Transormações do gráico de (x) = x 2 Homotetia vertical: g(x) = a(x) = ax 2 se a > 0 se a < 0 a g(x)=ax 2 a g(x)=ax 2 O gráico é uma parábola com vértice em (0, 0) e que passa pelos pontos (, a) e (, a). Translação vertical: g(x) = (x) + c = x 2 + c se c > 0 se c < 0 g(x)=x 2 +c g(x)=x 2 +c +c +c O gráico é uma parábola com vértice em (0, c) e que passa pelos pontos (, + c) e (, + c). Note que, se c 0, existe x tal que g(x) = 0, ou seja, a parábola cruza o eixo X. Isto ocorre quando x 2 + c = 0, ou seja, quando x = ± c. Note que c só está deinido para c 0. Translação horizontal: g(x) = (x b) = (x b) 2 = x 2 2bx + b 2 6

7 se b > 0 se b < 0 g(x)=(x b) 2 g(x)=(x b) 2 b b b+ b b b+ Parábola com vértice em (b, 0) e que passa por (b +, ) e (b, ). Caso geral: g(x) = ax 2 + bx + c Note que este caso pode ser obtido compondo-se homotetia vertical com translação vertical e translação horizontal. Para casa: ) aplique transormações no gráico de (x) = x 2 até obter o gráico de g(x) = ax 2 + bx + c. 2) por meio do raciocínio eito em (), identiique o vértice da parábola e os pontos onde o gráico de g cruza o eixo X. 6.2 Função polinomial de grau par (caso especíico) Caso especíico (x) = x n, com n par. Gráicos para n = 2, 4, 6,... x 2 x 4 x 6 x 8 Note que os gráicos são todos simétricos com relação ao eixo Y, ou seja, se n é par, então (x) = x n é unção par. 6.3 Função polinomial de grau ímpar (caso especíico) Caso especíico (x) = x n, com n ímpar. Gráicos para n =, 3, 5,... 7

8 x x 3 x 5 x 7 Note que os gráicos são todos simétricos com relação à origem, ou seja, se n é ímpar, então (x) = x n é unção ímpar. Para casa: ) Demonstre que a soma de duas unções pares é uma unção par e que a soma de duas unções ímpares é uma unção ímpar. 2) Demonstre que x n + x n x n k é par se n, n 2,..., n k são pares, e é ímpar se n, n 2,..., n k são ímpares. 3) Acesse wolramalpha.com e veja o gráico de x 2 + x 4, x 2 + x 4 + x 6,... e de x + x 3, x + x 3 + x 5,... 7 Função racional : D R R x (x) = p(x) q(x), onde p(x) e q(x) são unções polinomiais Note que o domínio de uma unção racional não inclui os valores reais x onde q(x) se anula, ou seja: Dom = R \ {x R; q(x) = 0} }{{} raízes de q 7. Caso especíico: (x) = /x Domínio: R Gráico: hipérbole equilátera passando pelos pontos (, ) e (, ). Observe a simetria em torno da origem (unção ímpar) 8

9 7.2 Caso especíico: (x) = /x 2 Domínio: R Gráico: simétrico em torno do eixo Y (unção par) (x) = x 2 8 Para casa Ler pp. 4 5, azer os exercícios 7. a 7.7, 7.8 de (a) até (), de (h) até (k), (n) e (v), 7.9 de (a) até (c) e 7.0 de (a) até (d). Fazer as listas 6 e 7. 9