CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

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1 CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA

2 Funções polinomiais Logaritmo Aula 03

3 Funções Polinomiais Introdução: Polinômio Para a sucessão de termos comcom, um polinômio de grau n possui a seguinte forma : Ex :

4 Funções Polinomiais Função polinomial de 1 grau: Toda função definida como a b R com e. f : R R, tal que f ( x) = ax + b O conjunto de pares ordenados formados numa função de primeiro grau organiza-se em forma de uma reta quando representados no plano f (x) = cartesiano. Ex:

5 Não é possível exibir esta imagem no momento. Funções Polinomiais Função polinomial de 1 grau: Se a > 0 então a função é estritamente crescente; Se a < 0 então a função é estritamente decrescente; Se a = 0 então a função é definida como função constante.

6 Não é possível exibir esta imagem no momento. Funções Polinomiais Função polinomial do 2 grau: Defini-se como função polinomial de segundo grau, a função f ( x) = ax² + bx + c R,tal que, com a, b e c. f : R R Graficamente a função polinomial de segundo grau é representada por uma parábola, na qual o valor de c indica o ponto em que a parábola intercepta o eixo das ordenadas. As raízes ou zeros da função indicam os pontos em que a parábola intercepta o das abscissas.

7 Não é possível exibir esta imagem no momento. Funções Polinomiais Função polinomial do 2 grau: Se a> 0, a função decresce de + até o y do vértice e depois cresce até + ao passo que x varia de - até +. Se a<0, a função cresce de - até o y do vértice e depois decresce até - ao passo que x varia de - até +.

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9 Não é possível exibir esta imagem no momento. Funções Polinomiais Função polinomial do 2 grau: Vértice da Parábola: O vértice da parábola é o ponto de coordenadas: V ( b / 2a, / 4a) Se a > 0, então o vértice é o ponto máximo da mesma, se a < 0, então o vértice da parábola é o ponto de mínimo da mesma. Forma fatorada de um polinômio de grau n: p( x) = a( x x')( x x'')( x x''')...

10 Não é possível exibir esta imagem no momento. Funções Polinomiais Forma fatorada de um polinômio: Sendo X, X, X raízes da função. Ou seja, elementos em x que geram imagem nula. p( x') = 0, p( x'') = 0...

11 Não é possível exibir esta imagem no momento. Funções Polinomiais Operações envolvendo polinômios: p ( x) = ax² + bx + c h ( x) = dx² + ex + f Adição: p(x) + h(x) = (a+d)x² + (b+e)x + (c+f) Subtração: p(x) - h(x) = (a-d)x² + (b-e)x + (c-f) Multiplicação: p(x). h(x) = (ax² + bx + c)(dx² + ex + f)

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13 Logaritmo Definição: b = Antilogaritmo ou logaritmando a = base c = logaritmo Condição de existência: > 0, b 1 a > 0

14 Logaritmo Consequências:

15 Logaritmo Propriedades:

16 Logaritmo Propriedades: Mudança de Base: Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente.

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19 Exercícios -Polinômios 1)Sabendo-se que 3 é raiz de P(x)= x³ +4x²- ax +1, calcular o valor de a.

20 Exercícios -Polinômios 1)Sabendo-se que 3 é raiz de P(x)= x³ +4x²- ax +1, calcular o valor de a. Resolução: Se 3 é raiz de P(x), então P(-3)=0. P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 0 3a = -10 => a=-10/3 Resposta: a=-10/3

21 Exercícios -Polinômios 2) Calcular m para que o polinômio P(x)=(m²-1)x³ +(m+1)x² -x +4 seja: a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau

22 Exercícios -Polinômios Resposta: a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser diferentes de zero. Então: m²-1 0 => m² 1 => m 1, m -1 Portanto, o polinômio é do 3º grau se m 1 e m -1. b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x³ deve ser igual a zero e o coeficiente de x² diferente de zero. Então: m²-1=0 => m²=1 => m=1 ou m= -1 m+1 0 => m -1 Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1. c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser iguais a zero. Então: m²-1=0 => m²=1 => m=1 ou m=-1 m+1=0 => m=-1 Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.

23 Exercícios -Polinômios 3)Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x³ é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).

24 Exercícios -Polinômios 3) Resolução: Temos o polinômio: P(x)=x³+ax²+bx+c. Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes). Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema: P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1 P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8 P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3

25 Exercícios -Polinômios 3) Resolvendo esse sistema encontramos as soluções: a=9, b=-34, c=24 Portanto o polinômio em questão é P(x)= x³+9x²-34x+24. O problema pede P(-1): P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)= P(-1)= 66 Resposta: P(-1)= 66

26 Exercícios -Polinômios 4) O polinômio p(x) = x³ - x² - 14x + 24 é divisivel por : a)x+7 b)x c)x+2 d)x+4 e)x-4

27 Exercícios -Polinômios 4) Como todo polinômio pode ser escrito da forma p(x) = a(x-x )(x-x )(x-x )... Sendo x,x,x..raízes do polinômio e que p(x ) = 0 Q(x).D(x) + R(x) = P(x) Basta verificar qual D(x) que gera R(x) = 0 Ou verificar qual o numero a do polinômio D(x) = (x a), que faz com que P(a) = 0

28 Exercícios -Polinômios 4) Testando os valores vê-se que o polinômio p(x) = x³ - x² - 14x + 24 é divisível por D(x) = x+ 4. Visto que produz R(x) = 0 OU seja, P(-4) = 0 Resposta ) letra D

29 Exercícios -Polinômios 5) Efetue a divisão entre os polinômios:

30 Exercícios -Polinômios 5)

31 Exercícios logaritmo 1) Determine o valor de log

32 Exercícios logaritmo 1) log = log1/432 Logo : ¼^x = 2^5 => 2^-2x = 2^5 X = -5/2

33 Exercícios logaritmo 2) Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais? Dica : M = C(1+i)^t

34 Exercícios logaritmo 2)

35 Exercícios logaritmo 3)

36 Exercícios logaritmo 3) Log x + log ( x-5 ) = log 36 Log ((x)(x-5)) = log 36 Log (x²-5x) = log36 x² - 5x = 36 x= 9 ou x= -4 Porêm x não pode assumir o valor -4 pois o logaritimando deve ser sempre maior que 0. Resposta : D