MATEMÁTICA. Função e Equação Logaritmo. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1

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1 MATEMÁTICA Função e Equação Logaritmo Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1

2 Logaritmos Definição A ideia que concebeu o logarítmo é muito simples, ou seja, podemos associar o termo Logaritmo, como sendo uma denominação para expoente. Dessa forma definimos formalmente logaritmos, da seguinte maneira: Destacamos os seguintes elementos: a = Base do logaritmo; b = logaritmando ou antilogaritmo x = logaritmo 2. Consequências diretas da definição A partir da definição de logaritmo podemos, compreender alguns resultados, que comumente denominamo de consequências da definição. Sendo b > 0,a > 0 e a 1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas consequências da definição de logaritmo: Monster Concursos 2

3 3. Propriedades dos Logaritmos 3.1 Logaritmo do produto. Se 0 < a 1, b > 0 e c > 0, então log a (b.c) = log a b + log a c Logaritmo do quociente. Se 0 < a 1, b > 0 e c > 0, então log a b/c = log a b log a c Logaritmo da potência. Se 0 < a 1, b > 0, então log a(b n ) = n. log ab Exemplo de aplicação: Se Log 9 = x, então Log 6 é: Solução: Sabendo que 9 = 3 2, então podemos reescrever Log 9 = Log 3 2 = 2.Log 3 = x, portanto, Log 3 = x/2. Por outra lado percebe que 6 = 2.3, então, temos: Log 6 = Log (2.3) pela propriedade 3.1, podemos escrever: Log (2.3) = Log 2 + Log 3 Log(2.3) = Log 2 + x/2. Resposta: Log 6 = Log 2 + x/2 4. Mudança de Base Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a Monster Concursos 3

4 conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b usamos: OBS: Esse recurso é bastante útil para resoluções de várias questões referente a temática em questão. Esta é uma propriedade muito importante, pois através dela podemos realizar a mudança da base de um logaritmo. Como exemplo vamos mudar o logaritmo de log para a base 16: Segundo a propriedade da mudança de base temos: Vamos realizar a conferência deste resultado, verificando se a igualdade é verdadeira. Para isto nós sabemos que: Portanto, substituindo tais logaritmos confirmamos a igualdade: Monster Concursos 4

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6 Exercício: Expressões Logaritmicas Calcule as seguintes expressões logaritmicas; escreva como um só logaritmo de base 10. Monster Concursos 6

7 Exercício: Equações Logaritmicas Simples Monster Concursos 7

8 1.3 Resolva a seguinte equação logaritmica: Antes de iniciar a resolução deve-se encontrar o seu domínio, neste caso, a solução só é válida para valores maiores que 6; onde a intersecção de valores é veridica. Monster Concursos 8

9 Função logarítmica Toda função definida pela lei de formação f(x) = log ax, com a 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. Exemplos de funções logarítmicas: f(x) = log 2x f(x) = log 3x f(x) = log 1/2x f(x) = log 10x f(x) = log 1/3x f(x) = log 4x f(x) = log 2(x 1) f(x) = log 0,5x Determinando o domínio da função logarítmica Dada a função f(x) = log (x 2) (4 x), temos as seguintes restrições: 1) 4 x > 0 x > 4 x < 4 2) x 2 > 0 x > 2 3) x 2 1 x 1+2 x 3 Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4. Dessa forma, D = {x? R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4} Gráfico de uma função logarítmica Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:? a > 1? 0 < a < 1 Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma: Monster Concursos 9

10 Função crescente Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma: Função decrescente Características do gráfico da função logarítmica y = log ax O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0. Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1. Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R. Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a seguir: Monster Concursos 10

11 Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base. Monster Concursos 11