Podemos verificar as duas condições [1) e 2)] na figura abaixo.

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1 ROTEIRO: 1. Função exponencial 2. Logaritmo e propriedades 3. db, dbm. Função Exponencial: Na função exponencial, a variável x encontra-se no expoente, por exemplo, y=2 x, y=3 x+ 4, ou y=0,5 x. Podemos definir a função exponencial da seguinte forma: Definição: f : R R, y=a x ;a>0,a 1. No caso da representação da função exponencial no plano cartesiano, tem-se duas situações: 1) se a > 0: Nesse caso, a função será crescente; 2) se 0 < a < 1: Nesse caso, a função será decrescente. Podemos verificar as duas condições [1) e 2)] na figura abaixo. OBS1: Podemos observar que y(0)=a 0 =1, ou seja, a curva corta o eixo y no ponto x = 0; y = 1. OBS2: O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal, ou seja, a função não tem raízes. OBS3: Os valores de y são sempre positivos, para potências de base positiva. E SE a < 0??? A função exponencial é usada comumente quando há uma taxa de variação grande (a função varia rapidamente), por exemplo no decaimento radioativo de substâncias químicas, no desenvolvimento de bactérias e micro-organismos. Exemplo 1: Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após sua compra, é dado pela seguinte função: v(t )=v 0.2 0,2.t, em que v 0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ ,00, determine o valor que ela foi comprada. 1

2 v(10)=v 0.2 0,2. 10 =12000 v =12000 v =12000 v =12000 v 0 = Logo, a máquina foi comprada pelo valor de R$ ,00. Exercício: (1) Numa população de bactérias, há P(t)= t no instante t medido em horas (ou fração de hora). Sabendo-se que inicialmente existem 10 9 bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial? 10 minutos. Logaritmo: Definição: Dados dois números reais positivos, a e b, com a 1, existe um único número real x, de modo que a x =b. Este número x é chamado de logaritmo de b na base a, e indica-se log a (b). Podemos, então, escrever: a x =b x=log a (b),(1 a>0,b>0) Note que o logaritmo de b na base a nada mais é que o expoente ao qual se deve elevar o número a para obter b. a base do logaritmo; b logaritmando (ou antilogaritmo); x logaritmo. Consequências da definição: 1. log a (1)=0 ; 2. log a (a)=1 ; 3. log a (a m )=m ; 4. log a (b)=log a (c) b=c ; 5. a loga(b) =b. Propriedades dos logaritmos: 1. Logaritmo de produto: log a (x. y)=log a (x)+log a ( y) ; 2. Logaritmo de quociente: log a ( x y )=log a(x) log a ( y) ; 3. Logaritmo de potência: log a (x m )=m.log a (x). 2

3 Mudança de base: log a (x)= log b(x) log b (a). Gráfico da função logarítmica: Para a > 1, temos uma função crescente; Para 0 < a < 1, temos uma função decrescente. OBS1: A função logarítmica tem raíz igual a 1, ou seja, o gráfico cruza o eixo x no ponto x = 1; y = 0; 3

4 OBS2: A função logarítmica é a função inversa da exponencial. db, dbm: O decibel é uma unidade muito usada em telecomunicações, eletrônica, áudio. No caso do áudio, por exemplo, ela é usada pois a escala dessa unidade se aproxima a maneira com o que nosso ouvido compreende os sinais sonoros. É uma unidade logarítmica que indica uma proporção de uma quantidade física (geralmente intensidade ou energia), em relação a um nível de referência. Por exemplo, em relação à potência, podemos definir a potência em db da seguinte forma: P(dB)=10. log 10 ( P P 0 ) (1), em que P 0 é a potência de referência. Se tivermos uma potência em mw, por exemplo, podemos calcular a potência (em dbm), da seguinte forma: P(dBm)=10. log 10 [ P (mw ) 1 mw ] (2), ou simplesmente: P(dBm)=10. log 10[ P(mW )]. Na equação (2), a potência está em dbm, pois utiliza-se como referência a potência de 1 mw. No caso da equação (1), essa também pode ser usada para se calcular, por exemplo a perda em um enlace de comunicações, sabendo-se a potência de transmissão e a de recepção, podemos usar essa expressão para calcular a perda devido a atenuação, por exemplo, conforme veremos no exemplo a seguir. Exemplo: (1) Tem-se a transmissão de um sinal em uma fibra ótica. De acordo com o fabricante, essa fibra apresenta um fator de atenuação de 2,7 db/km no comprimento de onda de 825 μm. Aplicando-se uma potência de transmissão de 120 μw, qual seria a potência de saída após 12 Km? N (db)=32,4 db N (db)=10.log 10 ( P e P s ) P s =0,0069μ W. (2) Calcule, e dbm, as seguintes potências: a) P 1 =0dBm b) P 2 =3dBm c) P 3 =6dBm d) P 4 = 3 dbm e) P 5 = 6dBm Podemos perceber, através do exemplo (2) que, a cada 3 db (de ganho), o sinal dobra de potência, em mw. Por outro lado, a cada 3 db (de perda) o sinal cai pela metade de sua potência, em mw. 4

5 (3) Segundo a especificação do fabricante de um dispositivo fotossensível, o seu desempenho estará de acordo com o especificado se o sinal que nele incidir estiver com potência igual ou superior à -96 dbm. Qual é a potência (em mw) mínima aceitável pelo componente? P r =0,251 pw. Operações com db e dbm: A unidade db é uma unidade que relaciona duas grandezas, por exemplo, potências, indicando um ganho ou uma perda. Podemos somar (ou subtrair) db com db, ou db com dbm; Não podemos somar (ou subtrair) dbm com dbm. (4) Calcule as seguintes operações: (dica: passe para mw e faça os cálculos) a) 0 dbm + 3 db b) 0 dbm 3 db c) 0 dbm + 0 dbm 5