Exponenciais e Logaritmos - Notas de Aulas 3(2016) Prof Carlos Alberto S Soares

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1 Exponenciais e Logaritmos - Notas de Aulas 3(206) Prof Carlos Alberto S Soares Função Logarítmica Iniciamos estas propondo um exercício que evidenciará a relação entre uma função e sua inversa quanto ao aspectos de crescimento ou convexidade Novamente, I, J sempre estarão representando intervalos contidos em R Exercício Seja f : I J uma função bijetora Mostre que: (a) f estritamente crescente f estritamente crescente (b) f estritamente decrescente f estritamente decrescente (c) f estritamente crescente e estritamente convexa f estritamente crescente e estritamente côncava (d) f estritamente decrescente e estritamente convexa f estritamente decrescente e estritamente convexa Definição 2 Dado que a função exp a é uma função bijetora, definimos a função logaritmica de base a, sendo a > 0 e a, por log a : R + R, log a (x) = exp a (x) ou ainda, log a (x) = y a y = x Bem entendido, log a (x) é o único número real ao qual se deve elevar a para obter x, isto é, a log a (x) = x Logo, mostrar que log a x é um número real y é equivalente a mostrar que a elevado a este número y é igual a x Usaremos indistintamente as notaçoes log a (x) ou log a x Exemplo 3 Em sala!

2 Usando o exercício acima e os fatos já conhecidos da função exponencial, temos: ) log a (x) é estritamente crescente se a > e estritamente decrescente se a < 2) log a (x) é estritamente côncava se a > e estritamente convexa se a < 3) Se a >, então, log a (x) > 0 x > 4) Se a <, então, log a (x) > 0 0 < x < Exemplo 4 Determine o domínio da função f(x) = log 2 x 2 Solução 5 Em sala! Exemplo 6 Fazer um esboço do gráfico da função f(x) = log /2 x Solução 7 Em sala! Exercício 8 ) Fazer um esboço do gráfico das funções: (a)f(x) = log 3 x (b)f(x) = log /3 x (c)f(x) = log 0 x (d)f(x) = log /0 x 2)Fazer um esboço do gráfico das funções: (a)f(x) = log 2 x (b)f(x) = log 2 x (c)f(x) = log 2 x 3) Considere f(x) = log 2 (x ) (a) Determine o domínio de f (b) Mostre que f é uma função côncava (c) Faça um esboço do gráfico de f 4) Considere f(x) = log /2 (3x ) (a) Determine o domínio de f (b) Mostre que f é uma função convexa (c) Faça um esboço do gráfico de f 5) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da funções: (a)f(x) = log 2 x 2 (b)f(x) = log 5 x c)f(x) = 2 + log2 x (d)f(x) = + log /3 x 6) Determine o domínio das funções: (a)f(x) = log 3 (x 2 4) (b)f(x) = log /5 x+ x (c)f(x) = log (x+)(2x 2 5x + 2) (d)f(x) = log (2x 2) (3 + 2x x 2 ) (e)f(x) = log x (x 2 2) 2

3 Teorema 9 (Propriedades Operatórias) Supondo verificadas as condições de existência, temos: ) log a a r = r 2) log a b r = r log a b 3) log a bc = log a b + log a c 4) log a /b = log a b 5) log a c/b = log a c log a b 6) log a b = log /a b 7)[Mudança de Base] 8) log a b = log b a 9) log a r b = r log a b Prova Em sala! log a c = log b c log b a Exercício 0 ) Calcule: (a) log 4 6 (b) log 32 /4 (c) log 3 4 / 8 (d) log ) Determine S, sendo S = log 3 9 /27 log 3 0,5 8 + log , 3) Determine S, sendo S = log 4 (log 3 9) + log 2 (log 8 3) + log 0,8 (log 6 32) 4) Sabendo que log 30 3 = a e log 30 5 = b, calcule log 0 2 5) Se log ab a = 4, determine log ab 3 a b 6) Se a, b, c são números reais positivos, diferentes de e a = bc, mostre que log a c = + log b c 3

4 7) Se a, b, c são números reais positivos, diferentes de e ab, mostre que (log a c)(log b c) = ( + log a b) 2 (log ab c) 2 log a b 8) Se a, b, c, d são números reais positivos, diferentes de e abc, mostre que (log a d)(log b d) + (log b d)(log c d) + (log c d)(log a d) = (log a d)(log b d)(log c d) log abc d 9) Se a, b são números reais positivos, prove que a log 0 b = b log 0 a 0) Sendo a, b raízes da equação x 2 px + q = 0(p > 0, 0 < q ), mostre que log q a a + log q b b + log b a b + log q b a = p ) Sendo a, b, c números reais positivos, mostre que ( a b ) ( ) log0 c log0 a b ( c ) log0 b = c a 2) Sendo x = log c (ba), y = log b (ac) e z = log a (bc), mostre que x + + y + + z + = 3) Sendo a, b, c, d números reais positivos, diferentes de e dois a dois distintos, mostre a equivalência: log a d log c d = log a d log b d log b d log c d b2 = ac 4) Sendo mostre que log x = 0 0 z e y = 0 z = 0 log 0 y log 0 x, 4

5 2 Equações Logarítmicas Para resolvermos algumas das chamadas equações logarítmicas devemos ter sempre em mente que, satisfeitas as condições de existência, temos: log a x = y a y = x e log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x) Além disso, temos x = log a a x e x = a log a x Vejamos alguns exemplos Exemplo Resolver a equação x + log( + 2 x ) = x log 5 + log 6 Solução 2 Em sala! Exemplo 3 Resolver a equação log 5 (x 2 3x 0) = log 5 (2 2x) Solução 4 Em sala! Exemplo 5 Resolver a equação log 2 (3x + ) = 4 Solução 6 Em sala! Exemplo 7 Resolver a equação log 2 2 x log 2 x = 2 Solução 8 Em sala! Exemplo 9 Resolver a equação log 2 (x + ) + log 2 (x ) = 3 Solução 20 Em sala! Exemplo 2 Resolver a equação log (x 2) (2x 2 x + 6) = 2 Solução 22 Em sala! Exemplo 23 Resolver a equação log x+3 (5x 2 7x 9) = log x+3 (x 2 2x 3) Solução 24 Em sala! Exemplo 25 Resolver o sistema { x 2 + y 2 = 425 log x + log y = 2 5

6 Solução 26 Em sala! Exemplo 27 Resolver o sistema { x x+y = y 2 y x+y = x 3 Solução 28 Em sala! Exemplo 29 Resolver a equação 4x log 2 x = x 3 Solução 30 Exercício 3 ) Resolva as equações: (a) log 4 (4x 2 + 3x + 2) = log 4 (2x + 5) (b) log /2 (5x 2 3x ) = log /2 (3x 2 2x 8) 2) Resolver as equações: (a) log 3 (x ) 2 = 2 (b) log 4 (x 2 4x + 3) = 2 3) Resolver as equações: (a) log /4 (log 3 (log 2 (3x ))) = 0 (b) log 2 (2 + 3 log 3 ( + 4 log 4 (5x + ))) = 3 4) Resolva a equação log 3 x = 4 log x 5) Resolver a equação log x 2 (2x 3 x 2 8x + 8) = 3 6) Resolva as equações: (a) log (2x 4) (5x 2 5x+7) = log (2x 4) (x 2 3x+2) (b) log (x+2) (3x 2 8x 2) = log (x+2) (2x 2 5x + 2) 7) Resolver a equação 8) Resolver a equação 9) Resolver a equação log 3 (2x ) 2 log 3 (x ) 2 = 2 log 2 (5x + 4) log 3 x log 3 (x 2) = log 2 (9 x + 7) log 2 (3 x + ) = 2 0) Resolva a equação ) Resolver a equação log( x + + ) log 3 x 40 = 3 log 3 (4 x + 52 x + 27) = 2 log 3 (2 x+2 3) 6

7 2) Resolva as equações: (a) log x = log x (b) log x = 2 + log x 3) Resolver a equação log 3 (3 x ) log 3 (3 x+ 3) = 6 4) Resolva a equação x 2 + x log 5 log 2 = 0 5) Resolva o sistema { x + y = 7 log 2 x + log 2 y = log 2 2 6) Resolva o sistema { log2 (xy) log 2 (x/y) = 3 log 2 2 x + log 2 2 y = 5 7) Resolver as eqauções: (a)6 log x 2 = 8x (b)3 2 log x 3 = x log x 3x 8) Resolver a equação 9) Resolver as equações: 2 log x (x2 6x+9) = 3 (2 log x x) (a) log(x log x ) = (b)x log x = 00 (c) x log x = 0 20) Resolva a equação x log2 x 3 log x + = 000 2) Resolver a equação log 2 x + log 3 x + log 4 x = 22) Resolva, para x, y > 0, os sistemas: { { x x+y = y (a) 3 x y = y y x+y = x 6 y 3 (b) x 2 x = 3 y 3 Inequações Logarítmicas Para resolvermos as inequações que envolvem funções lagarítmicas devemos sempre lembrar que, satisfeitas as condições de existência, temos: log a f(x) > log a g(x) { f(x) > g(x) se a > f(x) < g(x) se 0 < a < É claro que, com as devidas modificações, temos o mesmo resultado se o sinal > é substituído por < ou ou Vejamos alguns exemplos 7

8 Exemplo 32 Resolver a inequação log /3 (x 2 4x) > log /3 5 Solução 33 Em sala! Exemplo 34 Resolver a inequação log 5 (x 2 2x 6) log 5 2 Solução 35 Em sala! Exemplo 36 Resolver a inequação log /2 (2x 2 3x) > Solução 37 Em sala! Exemplo 38 Resolver a inequação log 2 (x 3) + log 2 (x 2) Solução 39 Em sala! Exemplo 40 Resolver a inequação log 2 (log /2 (log x)) > 0 Solução 4 Em sala! Exemplo 42 Determine os valores de a para que a equação x 2 4x + log 2 a = 0 admita raízes reais Solução 43 Em sala! Exemplo 44 Determine os valores de a para que a equação 3x 2 5x + log(2a 2 9a + 0) = 0 admita raízes de sinais contrários Solução 45 Em sala! Exemplo 46 Resolver a inequação log x (2x 2 5x + 2) > Solução 47 Em sala! Exemplo 48 Resolver a inequação log 2 3 x 3 log 3 x + 2 > 0 Solução 49 Em sala! 8

9 Exercício 50 ) Resolver as inequações: (a) log 5 (5x 2) < log 3 4 (b) log /2 (3x ) log /2 (3x+9) (c) log(x 2 x 2) < log(x 4) 2) Resolver as inequações: (a) log 5 (x 2 x) > log 0,2 6 (b) log /2 (x 2 x 3 4 ) > 2 log 2 5 3) Resolva a inequação log 2 x log 2 x + 2 4) Resolver as inequações: (a) log /2 (x 2 + 4x 5) > 4 (b)2 < log 2 (3x + ) < 4 (c)0 < log 3 (x 2 4x + 3) < 5) Resolver as inequações: (a) log 2 x > (b) 2 + log 2 x 3 (c) log 3 (x 2 ) < 6) Resolver as inequações: (a) log 4 x 5 log 2 x +4 0 (b) < log 2 x < 3 (c) log 2 x log 2 x < 7) Resolver a inequação log 2 x log x ) Resolver a inequação log x/2 8 + log x/4 8 < log 2 x 4 log 2 x 2 4 9) Resolver as inequações: (a) log 3 (3x + 4) log 3 (2x ) > 2 (b) log 2 x + log 2 (x + ) < log 2 (2x + 6) (c) log /2 (x ) + log /2 (3x 2) 2 0) Resolva a inequação log /2 (log 8 x 2 2x x 3 ) 0 ) Determine o domínio da função f(x) = x log /2 x 2 9

10 2) Determine os valores de a para que a equação admita raíz real (a)3x 2 6x + log a = 0 (b)x 2 x log 2 a + log 2 a = 0 3) Resolva as inequações: (a)(4 x 2 ) log 2 ( x) 0 (b)(5x 2 + x 6) log /2 (3x 4) 0 4) Resolver a inequação x log x log x < 5) Resolver a inequação log ( 2x+5 2 ) ( ) 2 x 5 > 0 2x 3 6) Para quais valores de a e b se tem a desigualdade log a (a 2 b) > log b ( a 5 )? 7) Resolver a inequação x log a x + > a 2 x, para a > 8) Resolver a inequação log /2 x + log 3 x > 4 Sistemas de Logaritmos 4 Conceito Sendo a um número real positivo, chamamos sistema de logaritmos na base a, anotado por SL a, o conjunto de todos os logaritmos possíveis na base a, isto é, SL a = {log a x, x R + } Vale rssaltar que, como a função logarítmica de base a é sobrejetora, isto é, sua imagem é R, o conjunto SL a será o conjunto R Exemplo 5 Em sala! Salientamos que usarmos a notação SL a só tem sentido quando queremos especificar que uma certa base, fixada previamente, está sendo privilegiada Neste curso, estaremos trabalhando com dois sistemas, quais sejam:sistema dos logaritmos neperianos, a ser desenvolvido mais a frente, e o chamado sistema dos logaritmos decimais, cuja apresentação segue 0

11 42 logaritmos Decimais Já que, usualmente, usamos o sistema decimal, dedicaremos um breve tempo para estudar os logaritmos decimais ou sistema dos logaritmos decimais que consiste, como o nome sugere, dos logaritmos tomados na base dez Nestas notas, continuaremos indicando log 0 x por log x Inicialmente, temos a seguinte proposição Proposição 52 Seja x um número real positivo Existe um único número inteiro n tal que 0 n x < 0 n+ Prova Em sala! Corolário 53 Seja x u número real positivo Existem únicos números c Z e m R, satisfazendo 0 m < tal que log x = c + m Prova Em sala! Observação 54 Os números c e m acima são ditos, respectivamente, característica e mantissa do logaritmo de x Vejamos como determinar a característica do logaritmo de um número positivo x conhecida a sua representação decimal Suponhamos x um número real maior que e a representação decimal de x dada por x = a a 2 a k, b b 2 b 3 com k, a > 0 Para números que possuem duas representações decimais, estaremos sempre nos referindo à representação decimal finita!portanto, temos: logo, a a 2 a k x < a a 2 a k (k zeros) x < 00 0(k zeros) (k ) log x < k e, daí, caracterísitica do logaritmo de x é igual a (k ) Portanto, temos: A característica do logaritmo decimal de um número real x > é uma unidade menor que o número de algarismos antes da vírgula Tomemos, agora, 0 < x < Então, a representação decimal de x será do tipo x = 0, a a 2 a k

12 com a k 0 e a i = 0, i < k e, portanto, temos Logo, temos 0, 00 (k zeros) x < 0(0, 00 (k zeros)) 0 k x < 0 k+ k log x < k + e, daí, a caracterísitica do logaritmo de x é igual a k Então, temos A característica do logaritmo decimal de um número real 0 < x < é negativa e numericamente uma unidade maior que o número de zeros imediatamente seguintes à vírgula e anteriores ao primeiro algarismo não nulo Vejamos alguns exemplos Exemplo 55 Determine a característica dos seguintes logaritmos: (a) log 320 (b) log 5, 72 (c) log 0, (d) log 0, 8358 Solução 56 Em sala! Como determinar o logaritmo de um número x? Vimos acima como determinar a característica de tal logaritmo se conhecemos sua representação decimal Para determinarmos a mantissa, geralmente, recorremos a uma tabela de mantissas, tendo em mente a proposição 4 Proposição 57 (Regra da mantissa) Sejam x um número real positivo e z um número inteiro Então, log 0 x e log 0 0 z x posuem a mesma mantissa, isto é, a amntissa do logaritmo de um número não se altera se multiplicamos tal número por uma potência de 0 com expoentes inteiros A proposição acima é comumente enunciada da seguinte forma: Os logaritmos de dois números cujas representações decimais diferem apenas pela posição da vírgula têm mantissas iguais Vejamos alguns exemplos Exemplo 58 Determine: (a) log 236 (b) log 23, 6 (c) log 0, (d) log 4, 638 (e) log 87, 64 Quando conhecemos o logaritmo de um número 0 < x < devemos ter cuidado ao determinar sua característica e mantissa O caso x > é direto! Exemplo 59 Sabendo que log 83, 2 = 2, 2630 determine sua caracteristica e mantissa Solução 60 Em sala! 2

13 Exemplo 6 Sabendo que log 0, 0632 =, 993, determine sua característica e mantissa Solução 62 Em sala! Observação 63 Quando trabalhamos com logaritmos negativos, muitas vezes, pode ser conveniente uma notação na qual utilizamos diretamente a mantissa Sendo c < 0 e m, respectivamente, as característica e mantissa do log x teremos log x = c + m e, algumas vezes, anotaremos, log x = ( c), m Exemplo 64 Exemplo anterior! Definição 65 Seja y um número real Definimos o antilogaritmo de y, anotado por antilog y, como o único número positivo x tal que log x = y, isto é, antilog y = 0 y ou ainda log antilog y = y Exemplo 66 Determine: (a)antilog, 7530 (b)antilog 2, 675 Solução 67 Em sala! Exemplo 68 Determine b tal que log b = 0, 2834 Solução 69 Em sala! Exercício 70 ) Determine: (a) log 320 (b) log 25, 4 (c) log 0, (d) log 0, (e) log 0, ) Determine: (a)antilog 2, 0899 (b)antilog, 8035 (c)antilog 2, 27 (d)antilog, ) Calcular com aproximação de milésimos o valor de 5 2 4) Calcular com aproximação de milésimos o valor de 5 2,3 5) Quantos algarismos possui o número ? Justifique! 6) Mostre que o único númer inteiro n com 35 algarismos tal que 3 n também é um número inteiro, é 3 3 7) Quantos zeros iniciais possui a representação decimal de: (a)3 30 (b)2 44 3