8/8/2012. Matemática. Conteúdo da Aula. Objetivos: Tema 3 Função do Segundo Grau. Ivonete Melo de Carvalho, MSc. Função de Segundo Grau.

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1 Matemática Tema 3 Função do Segundo Grau Ivonete Melo de Carvalho, MSc Conteúdo da Aula Função de Segundo Grau. Objetivos: Estudar a função do segundo grau, suas características e a suas aplicações. Construir e analisar o gráfico da função de segundo grau. Determinar o vértice, identificando-o como ponto de máximo ou de mínimo, e os intervalos de crescimento e decrescimento. 1

2 Objetivos (continua) Analisar, por meio de situações práticas aplicadas às áreas administrativas, os conceitos de receita, custos, lucro, ponto de equilíbrio (break-even point), além de outras situações, cujos modelos podem ser determinados por uma função do segundo grau. Função do Segundo Grau Toda expressão do tipo y = ax + bx + c, com a, b e c reais, e a 0. Exemplo: y = 3x + 4x + 3 y = 5x + 6 y = 0,5x y = x 3x Características Principais O gráfico é sempre uma parábola. Apresenta intervalos de crescimento e decrescimento. Possui, no máximo, duas raízes (ou zeros). Possui um ponto de inflexão chamado de vértice.

3 Um exemplo: Seja a função y = x 5x + 6. Calcule as raízes, Calcule o vértice, Calcule o valor de y para o qual x = 0. Por último, desenhe o gráfico da função. As Raízes (por Báskara) b x b 4ac ( 5) a x 51 6 x1 3 x 51 x 1 4 ( 5) 4 * 1 * 6 *1 Valor de y para x = 0 y = x 5x + 6 y = 0 5*0 + 6 y = 6 3

4 x y V V O Vértice b ( 5) 5,5 a * ,5 4a 4 * 1 4 Observe Que se trata de uma parábola côncava para cima, pois, em y = x 5x + 6, o coeficiente a > 0. O gráfico 4

5 Livro Texto, Página 45, Exercício 5 O preço da garrafa de um vinho varia de acordo com a relação p = q + 400, onde q representa a quantidade de garrafas comercializadas. Sabendo que a receita R é dada pela relação R = p*q: (a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico. Livro Texto, Página 45, Exercício 5 (b) Qual a quantidade de garrafas a serem comercializadas para que a receita seja máxima? Qual a receita máxima? (c) Para quais quantidades comercializadas a receita é crescente? E decrescente? (a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico. R p * q R ( q 400) * q R q 400q 5

6 (b) Qual a quantidade de garrafas a serem comercializadas para que a receita seja máxima? Qual a receita máxima? q R R R V V V V * ( ) 4 * * 100 (c) Para quais quantidades comercializadas a receita é crescente? E decrescente? A receita será crescente pela venda de até 100 garrafas. A receita será decrescente a partir da venda de mais de 100 garrafas. Matemática Tema 4 Funções Exponencial e Logarítmica Ivonete Melo de Carvalho, MSc 6

7 Função exponencial. Função logarítmica. Conteúdo Objetivos: Diferenciar função exponencial de função logarítmica. Aplicar as funções exponencial e logarítmica e esboçar/interpretar seus o gráficos. Utilizar o logaritmo como o inverso da potenciação. Utilizar o logaritmo para a simplificação de cálculos por meio de suas propriedades operatórias. Função Exponencial Toda expressão do tipo y = a f(x), com a > 0 e a 1. Exemplo: y = 3 x y = 5 x + 6 y = 1 0,5 x 7

8 Características Principais O gráfico é sempre uma curva suave. Pode ser: crescente, decrescente ou apresentar intervalos de crescimento e decrescimento. Pode, ou não, possuir raízes (ou zeros). Um exemplo: Seja a função y = 5 x + 0,. Desenhe o gráfico da função. Calcule as raízes, se houver. Calcule o valor de y para o qual x = 0. Determine se a função é crescente ou decrescente. O Gráfico Valor de x Valor de y Cálculo de y -1 0 y = 5 x + 0, = , = 0 0 0,8 y = 5 x + 0, = , = 0,8 1 4,8 y = 5 x + 0, = , = 4,8 4,8 y = 5 x + 0, = 5 + 0, = 4,8 8

9 y x x x 1 x x 1 0, 10 As raízes: Se x y 5 y 5 y 1 0, y 0,8 Valor de y para x = 0 0, então : x 0 0, 0, Crescente ou decrescente? Observe que conforme aumenta o valor de x, diminui o valor de y. Portanto, a função é decrescente. 9

10 Livro texto, página 7, exercício 8 Uma cidade, no ano 000, tem habitantes e, a partir de então, sua população cresce de forma exponencial a uma taxa de 1,6% ao ano. (a) Obtenha a população P como função dos anos t, isto é, P = f(t). Livro texto, página 7, exercício 8 (b) Estime a população da cidade para os anos de 000, 001, 005 e 010. (c)esboce o gráfico de P(t). (d) Qual o aumento percentual na primeira década? E na segunda década? (a) Obtenha a população P como função dos anos t, isto é, P = f(t). P f(t) P * (1 0,016) P * 1,016 t t 10

11 (b) Estime a população da cidade para os anos de 000, 001, 005 e P(000) *1, P(001) *1, P(005) *1, P(010) *1, (c) Esboce o gráfico de P(t). (d) Qual o aumento percentual na primeira década? E na segunda década? a a 1 a a ,33896% ,33896% 11

12 Pessoal, é importante que vocês façam os exercícios do caderno de atividades, a ATPS e os exercícios do PLT. Bom trabalho! Obrigada Centro de Educação a Distância Universidade Anhanguera Uniderp 1