Inequação do Segundo Grau

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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Inequação do Segundo Grau Vitor Bruno Santos Pereira - Engenharia Civil

2 Na aula de hoje... Introdução e Exemplos de Inequação do Segundo Grau; Solucionando as Inequações do Segundo Grau; Sistemas de Inequações; Inequação- Produto e Inequação- Quociente.

3 Introdução As inequações representam uma desigualdade matemática. Elas são identificadas pelos sinais >(maior), <(menor), (menor igual), (maior igual). São inequações do 2º grau ou quadráticas, as inequações constituídas por uma lei matemática com a forma de ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0, acompanhada do sinal de desigualdade. Assim é uma inequação do segundo grau, por exemplo, 3x² +2x 5 > 0 onde a = 3, b = 2 e c = -5.

4 Exemplos de Inequações do 2º Grau ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c 0 ax² + bx + c 0 Sendo a 0.

5 Soluciando Inequações do 2º Grau Para solucionar inequações do 2º grau deve-se: 1 Determinar as raízes das funções; 2 Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com o cálculo das raízes e com a análise do coeficiente a; 3 Aplicar os conceitos de estudo do sinal; 4 Analisar os resultados e obter a resposta da inequação.

6 Exemplo Determine o conjunto solução da inequação: x² - 5x + 8 < 0 Solução: Etapa1: vamos encontrar as raízes da função. Observe que neste caso, queremos encontrar os valores onde a função é negativa. Assim: Δ = (-5)² Δ = Δ = -7 Ao colocarmos na fórmula de Bhaskara, vamos obter uma raiz quadrada negativa, logo ela não vai pertencer ao conjunto dos reais.

7 Continuando... Etapa2: como os valores das raízes encontradas não irão pertencer ao conjunto dos reais, a parábola não irá cortar o eixo x. Como sabemos que a =1, portanto a > 0, a parábola apresenta a concavidade para cima. Etapas3e4: Como queremos f(x) < 0, estamos buscando os valores onde a função é negativa, porém o gráfico mostra que a função não tem valores negativos: S = { }

8 Exercícios 1. Encontre o conjunto solução das inequações abaixo: a) x² - 6x + 8 < 0 b) x² - 2x + 1 > 0

9 Sistema de Inequações do 2º grau Para resolver um sistema de inequações podemos resolver cada uma das inequações separadamente e, em seguida, fazer a intersecção dos conjuntos solução.

10 Exemplo 1. Resolva o sistema: Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 6x + 9 e g(x) = 3x 6 Em f(x) = x² - 6x + 9 = 0 Δ = (-6)² Δ = 0 x 1 = x 2 = 3 Queremos que f(x) 0 e g(x) > 0. Em g(x) = 3x 6 = 0 3x 6 = 0 3x = 6 x= 2

11 Continuando... Estudando os sinais das funções: Indicando os valores de x que satisfazem as inequações: V 1 = R V 2 = {x ε IR/ x > 2}

12 Continuando... Fazendo a intersecção dos conjuntos soluções: V = {x ε IR/ x > 2}

13 Inequeção- Produto Considerando f(x) e g(x) funções da variável x, chamamos de inequação-produto desigualdades como: f(x).g(x) > 0 f(x).g(x) 0 f(x).g(x) < 0 f(x).g(x) 0

14 Resolvendo inequações-produto A resolução de uma inequação-produto pode ser feita com o estudo dos sinais das funções separadamente, seguido da determinação dos sinais do produto f(x).g(x) e posteriormente, identificando os valores de x que satisfazem a inequação-produto.

15 Exemplo 1. Determine o conjunto solução da inequação-produto: (x² - 7x + 10).(6x + 12) 0 Solução: Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 7x + 10 e g(x) = 6x +12 Para f(x): Para g(x): x² - 7x + 10 = 0 6x + 12 = 0 Δ = (-7)² = 9 6x = -12 x = -2 x 1 = (7+3)/2 = 5 x 2 = (7-3)/2 = 2 Vamos estudar os sinais das funções

16 Continuando... Estudando os sinais das funções: Queremos que f(x).g(x) 0.

17 Continuando... Estudando os sinais do produto das funções: Identificando os valores de x que satisfazem a inequação, temos: S = {x ε IR/ -2 x 2 ou x 5}

18 Inequação- Quociente Considerando f(x) e g(x) funções de variável x, chamamos de inequação-quociente desigualdades como:

19 Exemplo Determine o conjunto solução da inequação-quociente: Determinando o zero das funções f(x) = -x² + 4x 3 e g(x) = - x+2: Para f(x): -x² + 4x 3 = 0 Δ = 4² - 4.(-1).(-3) = 4 x 1 = (-4+2)/(-2) = 1 x 2 = (-4-2)/(-2) = 3 Para g(x): -x + 2 = 0 -x = -2 x = 2

20 Resolvendo inequações-quociente Na resolução de uma inequação-quociente devemos lembrar que o denominador deve ser diferente de zero e a regra de sinais é a mesma, tanto para multiplicação como para divisão, no conjunto dos reais.

21 Continuando... Estudando o sinal das funções: Queremos que f(x)/g(x) 0.

22 Continuando... Estudando os sinais do quociente das funções: Identificando os valores de x que satisfazem a inequação, temos: S = {x ε IR/ 1 x < 2 ou x 3}

23 Obrigado pela atenção!