Lista de Exercícios Equações do 2º Grau

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1 Lista de Exercícios Equações do º Grau Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero. Aula Equações do Segundo Grau (Parte de ) Endereço: Gabaritos nas últimas páginas! Nota: Essa aula é de equações do segundo grau. Não faz sentido aqui exercícios que envolvam os conceitos de parábola, vértice, pontos que são exclusivos de funções. Assim sendo, tais conceitos serão tratados nas devidas aulas. E: Resolva em R as equações abaixo: a) x 5x 6 + = b) d) g) j) x 4x+ 49= e) x + x+ = h) x x + 7= k) x 6x+ 64= c) 3x 5x E: Resolva em R as equações abaixo: x 6x+ 3= + = f) x x 45= 4x x+ 9= i) x 5+ 3x = l) x 8x+ 5= 8+ x + 3x= a) x x= b) x = c) x 9= d) 4x 9= e) x + x= f) 8x + 6x= g) 3x 4= 8+ x h) x 9x= i) x = j) x 6= k) 4x = 8 l) x + x = m) ( x 5)( x+ ) + 5= n) ( )( ) 3x 3x+ = 77 E3: Resolva as seguintes equações em R: a) x = x x b) ( x ) = 3 c) ( ) ( ) d) ( 4x )( x ) 5x 3 4x+ = x x + = e) x = 3 3 f) 3x + x = 3 Página de

2 Lista de Exercícios Equações do º Grau E4: Encontre uma equação: a) de raízes e 3 e que o coeficiente de seja. b) de raízes - e 5 e que o coeficiente de seja 3. E5: Na equaçãox 5x+ c=, uma das soluções vale 3. Quanto vale c? E6: Na equaçãox + bx+ 5=, uma das soluções vale 5. Quanto vale b? E7: O trinômio do segundo grau y = ( m+ ) x² + 4mx+ m, em que m é um número real, é sempre positivo, se e somente se: a) m> b) < m< c) m< d) < m< E8: Um móvel de R$ 36, deveria ser comprado por um grupo de rapazes que contribuíram em partes iguais. Como 4 deles desistiram, os outros precisaram aumentar a sua participação em R$ 5, cada um. Qual era a quantidade inicial de rapazes? a) 8 b) c) 5 d) E9: Se as raízes da equação x 5x 4= são m e n, o valor de + é: m n 5 3 a) b) c) 3 d) 7 e) E: A soma das soluções inteiras da equação (x + )(x 5)(x 5x+ 6) = é: a) b) 3 c) 5 d) 7 e) Página de

3 Lista de Exercícios Equações do º Grau E: Isabel adora inventar números e dar nome a eles. Agora ela inventou os números super especiais! "Um número é super especial se o quadrado do seu primeiro algarismo é igual à soma de todos os seus algarismos". Por exemplo, 456 é super especial, pois: 4² = 6 = a) Escreva um número super especial de três algarismos cujo algarismo das centenas seja 3. b) Isabel descobriu que existe um número super especial de quatro algarismos, cujos três últimos algarismos são, 8 e 3. Juntos (83), eles formam exatamente a data de seu aniversário, dezoito de março. Represente por "x", o º algarismo do número super especial que Isabel descobriu. Escreva uma equação do grau que expressa a propriedade inventada por ela. c) Resolva a equação do grau obtida no item anterior e determine o número super especial que Isabel descobriu. E: Para qual valor de "a" a equação ( x ) ( ax 3) + ( x )( ax + ) = tem duas raízes reais e iguais? a)- b) c) d) a b E3 (ITA 5): Considere a equação = 5, com a e b números x x inteiros positivos. Das afirmações: I. Se a= e b=, então x= é uma solução da equação. II. Se x é solução da equação, então x, x e x. III. x= não pode ser solução da equação. 3 É (são) verdadeira(s) a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. Página 3 de

4 Lista de Exercícios Equações do º Grau E4:. (Uepg 3) Sendo p e q as raízes da funçãoy= x 5x+ a 3 onde + = 4 assinale VERDADEIRO ou FALSO para cada alternativa (sim, p q 3 pode haver mais de uma alternativa verdadeira): ) O valor de a é um número inteiro. ) O valor de a está entre e. 4) O valor de a é um número positivo. 8) O valor de a é um número menor que. 6) O valor de a é um número fracionário. E5: Resolva a equação: 4. Considere U=C. E6: Resolva a equação: 5 44 Página 4 de

5 Lista de Exercícios Equações do º Grau Gabarito: E: Resolva em R as equações abaixo: a) x 5x+ 6= Há duas formas principais de se calcular: por Soma e Produto ou por Bhaskara. Forma : Soma e Produto. Sabemos que: S Assim sendo, nosso item a fica assim: S 5 6 Vamos pensar apenas no produto, desconsiderando qualquer sinal negativo (tanto do produto quanto da soma). Selecione os pares de números naturais que multiplicados dão 6: e 6, e 3 apenas (note que a ordem não faz diferença aqui: 3 e e e 3 são a mesma coisa). Algum resultado dá soma 5? Sim, o e 3. Pronto! Achamos números que multiplicados dão 6 e que somados dão 5. Logo, as raízes são e 3. Forma : Bhaskara Vamos calcular o discriminante Δ ) da equação. Temos 3 possibilidades: Δ : Nesse caso, a equação não possui raizes reais. Se não nos interessa as raízes complexas, paramos por aqui. Δ : Nesse caso, a equação possui raízes reais e iguais. Δ : Nesse caso, a equação possui raízes reais e distintas (diferentes). Δ b 4ac Δ (duas raízes reais e distintas, pois Δ Podemos então usar a fórmula de Bhaskara: x " $ 5+ 6 x = = = 3 ( 5) ± 5± x= x= ou 5 4 x= = = Página 5 de

6 Lista de Exercícios Equações do º Grau % &,3) Nota: ao invés de usarmos a fórmula b± b 4ac x= a b± x= a, podemos usar Usaremos Bhaskara para resolver as equações abaixo. Se houver qualquer dúvida no processo, pergunte. b) x 6x+ 64= V = {8} 6+ x = = 8 ( 6) ± ( 6) ± ± x= x= x= ou 6 x= = 8 c) x 6x+ 3= V= ( 6) ± ± ± 6 x= x= x= Como <, a equação não possui raízes reais. d) x 4x+ 49= V = {7} 4+ x = = 7 ( 4) ± ( 4) ± ± x= x= x= ou 4 x= = 7 e) 3x 5x+ = V=, 3 5+ x = = 6 ( 5) ± ( 5) 4 3 5± 5 4 5± x= x= x= ou x= = = Página 6 de

7 Lista de Exercícios Equações do º Grau f) x x 45= 9 V= 5, + 9 x = = 5 4 ( ) ± ( ) 4 ( 45) ± + 36 ± 9 x= x= x= ou x= = 4 g) x + x+ = V= ± ± ± x= x= x= Como <, a equação não possui raízes reais h) 4x x+ 9= 3 V= + :4 3 x = = = 8 8:4 ( ) ± ( ) ± ± x= x= x= ou x= = 8 i) x 8x+ 5= V= (8) ± (8) 4 5 8± 36 x= x= 4 4 Como <, a equação não possui raízes reais. Página 7 de

8 Lista de Exercícios Equações do º Grau j) x x + 7= x + x+ 7= V =, x= = 4 4 () ± () 4 ( ) 7 ± + 56 ± 57 x= x= x= ou ( ) x = = 4 4 k) 5 x + 3x = 3x + x 5= V =, x= 6 ± () 4 3 ( 5) ± + 6 ± 6 x= x= x= ou x= 6 l) 8+ x + 3x= x + 3x+ 8= V= ± ± ± x= x= x= Como <, a equação não possui raízes reais. 3 ( 3) 4 (8) Página 8 de

9 Lista de Exercícios Equações do º Grau E: Resolva em R as equações abaixo: a) x= x x= x(x ) = V = {,} x = x= b) = x x = x = x= V = {} c) x= 3 9 = = 3, 3} x = 3 x = x 9 ou V { outra maneira, lembrando que a b a ba b: x 9= x= 3 (x+ 3)(x 3) = ou V = { 3, 3} x= 3 3 x+ 3= x= d) 4x 9= (x+ 3)(x 3) = ou 3 x 3= x= 3 3 V=, e) x x= + x= x(x+ ) = ou V = {, } (x+ ) = x= 8x= x= x= 8 f) 8x + 6x= 8x(x+ ) = ou V = {, } + = = g) 3x 4= 8+ x x x 3x x 4 8 x 3 (x 6) = = = x+ 4= x= 4 = = + 4 = = { 4, 4} x 4 = x = 4 (x 6) x 6 (x 4)(x ) ou V Página 9 de

10 Lista de Exercícios Equações do º Grau h) i) j) x= x(x 9) = ou x 9 = x = 9 x 9x= V={, 9} x = x+ = x= (x+ )(x ) = ou V= {, } x = x = x 4= x= 4 x 6= x 6= (x 4)(x+ 4) = ou V = { 4, + = x 4 x= 4 4} k) + 8 4x = 4x 9 ( ) 4x 4x = 8 + = 9= 3 x = = = V=, 4 3 x= 4x 9 x ou l) x= + x = x(x+ ) = ou V = {, } x + = x = x m) ( )( ) x 5 x+ + 5= x 4x 5+ 5= x 4x= x(x 4) = x= x(x 4) = ou x = 4 V={,4} n) ( 3x )( 3x ) 9x x = 77 = = x 8= 9 x+ 3= x= 3 ou V = { 3, 3} x 3 = x = 3 9(x 9) = x 9= x 9= (x+ 3)(x 3) = Página de

11 Lista de Exercícios Equações do º Grau E3: Resolva as seguintes equações em R: a) x x + x + x = x x = 3x + x = ± 4 3( ) ± + 4 ± 5 x= x= x= x = x = 6 3 ± 5 x= ou V=, x= x= 6 b) ( x ) = 3 x =+ 3 x= 3+ ou V={ 3+, 3+ } x = 3 x = 3+ c) ( ) ( ) 5x 3 + = 5 = 4x x 3x+ 9 44x + 74 ± ( 74) 4 5( 3) 74± x 74x 3= x= x= x = x = ± ± 76 x= x= ou V =, x= x= 5 5 d) ( )( ) + = 4x x+ = 8x 6x 8x + 6x = 6± ( 4) 6± x + 6x 4= x= x= x = x = 6 6± 484 6± 7 x= x= ou V=, x= x= 6 4 Página de

12 Lista de Exercícios Equações do º Grau e) x x x 6x 3x 4x = = 6x 3x= 4x x 3x 4x + = ± 4 6 ( ) ± + 48 ± 49 6x x x x x + = = = = x = x = ± 7 x= ou V=, 3 7 x= 3 f) x 3x+ 6x 3(3x+ ) 4 = = 6x 3(3x+ ) = 4 6x 9x 3 = ± ( 9) 4 6 ( 7) 6x 9x 3 4= 6x 9x 7= x= x= 9± x= ou V=, 9 49 x = Página de

13 Lista de Exercícios Equações do º Grau E4: Encontre uma equação: a) de raízes e 3 e que o coeficiente de seja. A forma fatorada da equação do º grau é: a x x x x em que e são as raízes da equação e a é o coeficiente de x². Assim sendo, temos: x x 3 x 5x 6 x 5x 6 Outra forma de se fazer (mais conhecida): se duas raízes possuem soma S e produto valendo P, então x Sx P é uma equação que apresenta essas duas raízes. Sabendo disso, temos: Raízes e 3: - 5 e 6. Logo, temos: x 5x 6. Nota: existem INFINITAS equações com raízes e 3 (aliás, existem infinitas equações com qualquer par de raízes que vc quiser). Para encontrar outra equação que também contenha as mesmas raízes, basta multiplicar a equação por um real qualquer (exceto zero). Por exemplo: na equação x 5x 6 (de raízes e 3) podemos multiplicá-la por e obteremos. Verifique as raízes dessa equação. Você verá que também são e 3. E isso permite responder o item b. b) de raízes - e 5 e que o coeficiente de seja 3. Podemos novamente usar a fórmula a x x x x. Isso resultará em 3. / Desenvolvendo o primeiro membro, obteremos: 3x x 5 Outra forma de se fazer: usamos x Sx P (e multiplicamos o resultado obtido por 3 para que o coeficiente de se torne 3). Raízes - e 5: - 4 e 5. Logo, temos: x 4x 5. Multiplicando todos os termos por 3: 3x x 5 Página 3 de

14 Lista de Exercícios Equações do º Grau E5: Na equaçãox 5x+ c=, uma das soluções vale 3. Quanto vale c? Lembrando da forma x Sx P, por comparação, temos que - 5. Se a soma vale 5 e a outra raiz vale 3 então: 3 5 Logo, a outra raiz vale. E como c = P, então temos que 3 6 E6: Na equaçãox + bx+ 5=, uma das soluções vale 5. Quanto vale b? Muito parecido com o E5: Sabemos que P 5 (pois c = 5) e que uma das raízes vale 5. Então temos: Logo, as raízes são 5 e 3. Como b representa - e a soma (S) vale 8, temos então que 8. E7: O trinômio do segundo grau y = ( m+ ) x² + 4mx+ m, em que m é um número real, é sempre positivo, se e somente se: a) m> b) < m< c) m< d) < m< Nota: esse exercício exige conhecimentos um pouco mais avançados de inequação. Se preferir, marque REVISAR e volte aqui quando dominar inequação. Para que a equação sempre forneça um valor negativo, duas coisas precisam acontecer: a) O discriminante Δ) deve ser negativo (se o delta é negativo a equação não tem raízes. b) O a (coeficiente de x²) deve ser maior que zero. Isso será melhor visto em funções Assim, sendo temos: Vamos simplificar a segunda condição: mm 4 5 Assim, sendo, temos que 5 ALTERNATIVA B Página 4 de

15 Lista de Exercícios Equações do º Grau E8: Um móvel de R$ 36, deveria ser comprado por um grupo de rapazes que contribuíram em partes iguais. Como 4 deles desistiram, os outros precisaram aumentar a sua participação em R$ 5, cada um. Qual era a quantidade inicial de rapazes? a) 8 b) c) 5 d) Seja x a quantidade de rapazes. No começo, o valor de 36 precisaria ser dividido entre todos, ou seja, cada um pagaria 89 : y. Como 4 desistiram, esses 36 precisam ser divididos pelos rapazes restantes ( x 4): 89. Note que cada rapaz não paga mais y, mas sim o : valor y acrescido de R$ 5, ( 5). Assim, temos equações: I) 89 y y 89 : : II) < < Como y vale 89 : duas expressões: (I) e também vale 89 5 (II) podemos igualar essas < <<< 89< < : :: :: Nota: cortamos os denominadores pois obviamente o número de rapazes não é nulo e há mais de 4 rapazes. Isso não afetará nossa equação B@Cé5 4 96? Como não faz sentido termos -8 rapazes, então a resposta é. ALTERNATIVA B Página 5 de

16 Lista de Exercícios Equações do º Grau E9: Se as raízes da equação x 5x 4= são m e n, o valor de + é: m n 5 3 a) b) 4 c) 3 4 d) 7 4 e) 5 5@ - Note 5 representa a soma das raízes (S) e mn representa o produto (P). Por isso, tivemos E F - G Logo, E H I J K F ALTERNATIVA A E: A soma das soluções inteiras da equação (x + )(x 5)(x 5x+ 6) = é: a) b) 3 c) 5 d) 7 e) + = = ou + + = = = = ou + = = = x x (sem solução real) (x )(x 5)(x 5x 6) x 5 x 5 ou x ALTERNATIVA C x 5x 6 x ou x 3 Página 6 de

17 Lista de Exercícios Equações do º Grau E: Isabel adora inventar números e dar nome a eles. Agora ela inventou os números super especiais! "Um número é super especial se o quadrado do seu primeiro algarismo é igual à soma de todos os seus algarismos". Por exemplo, 456 é super especial, pois: 4² = 6 = a) Escreva um número super especial de três algarismos cujo algarismo das centenas seja 3. b) Isabel descobriu que existe um número super especial de quatro algarismos, cujos três últimos algarismos são, 8 e 3. Juntos (83), eles formam exatamente a data de seu aniversário, dezoito de março. Represente por "x", o o algarismo do número super especial que Isabel descobriu. Escreva uma equação do grau que expressa a propriedade inventada por ela. c) Resolva a equação do grau obtida no item anterior e determine o número super especial que Isabel descobriu. a) Temos que o primeiro algarismo deve valer 3 e os dois seguintes somados com o primeiro devem resultar em 9 (que é 3²): 34, por exemplo. Há outras respostas possíveis, como 34. b) Mesma lógica do item a, porém mais algébrica: a é o primeiro algarismo e os demais, somados com x devem resultar em x². Assim sendo: 8 3 c) + 7 x = x = 4 ± 4 ( ) ± 49 ± 7 x= x= x= ou 7 x= x= 3 (não convém) Logo, x = 4. Página 7 de

18 Lista de Exercícios Equações do º Grau E: Para qual valor de "a" a equação ( x ) ( ax 3) + ( x )( ax + ) = tem duas raízes reais e iguais? a)- b) c) d) ( x ) ( ax 3) + ( x )( ax + ) = Podemos deixar o em evidência: ( x ) [ ( ax 3) + ( ax + )] = ( x ) [ax 3 ax + ] = ( x ) [ax 3 + ] = ( x ) [ax ] = Note que já temos. Para que tenhamos duas raízes iguais o outro fator também deve ser : Logo 6 ALTERNATIVA C Página 8 de

19 Lista de Exercícios Equações do º Grau a b E3 (ITA 5): Considere a equação = 5, com a e b números x x inteiros positivos. Das afirmações: I. Se a= e b=, então x= é uma solução da equação. = 5 = 5 ( ) = 5 5= 5 VERDADEIRO II. Se x é solução da equação, então x, x e x. Os denominadores não podem ser nulos: x x e x x x VERDADEIRO III. x= não pode ser solução da equação. 3 a b a b a b a b = 5 = 5 = 5 = a a b = 5 6b= 5 (5) 9a 3b= (3a b) = 5 Aqui nós temos um absurdo: como a e b são inteiros, a expressão (36 é obviamente inteira. Ou seja, se temos inteiros que multiplicados resultam em 5, ambos são divisores de 5 necessariamente. Ocorre que 3 não é divisor de 5 (temos um absurdo aqui) Logo, realmente x= não pode ser solução. 3 É (são) verdadeira(s) a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. ALTERNATIVA E (Todas Corretas) Página 9 de

20 Lista de Exercícios Equações do º Grau E4:. (Uepg 3) Sendo p e q as raízes da funçãoy= x 5x+ a 3 onde + = 4 assinale VERDADEIRO ou FALSO para cada alternativa (sim, p q 3 pode haver mais de uma alternativa verdadeira): Inicialmente, temos: 4 p + + = q = 4 S = Assim, temos: p q 3 pq 3 P 3 5 S = = = = 4(a 3) = 5 3 P 3 a 3 3 (a 3) 3 a a = 5 4a = 5 4a= 7 a= a= 6, 75 4 Agora, fica fácil avaliar: ) O valor de a é um número inteiro. Falso, 6,75 não é inteiro. ) O valor de a está entre e. Verdadeiro 6,75 está entre - e. 4) O valor de a é um número positivo. Verdadeiro 6,75 é positivo. 8) O valor de a é um número menor que. Verdadeiro, 6,75 < 6) O valor de a é um número fracionário. Verdadeiro L E5: Resolva a equação: 4. Considere U=C. Lembrando que M, temos: M " 4M? M M Nota: essa solução só é válida, pois U=C. Se tivéssemos U=R não teríamos soluções. Página de

21 Lista de Exercícios Equações do º Grau E6: Resolva a equação: 5 44 Fazendo, temos: y 5y 44 y 5 " N y 5 " 49 y 5 " 7 y Sy 5 7 Q R Q P 5 " y 6 BT y 5 7 y 9 Ótimo, encontramos os valores de y que satisfazem a equação. No entanto, não queremos encontrar y e sim x. Vamos lembrar da transformação que fizemos no começo: Substituindo y por, temos: y 6 x 6 U y 9 x 9 U % &4, 4, 3, 3) x 4 BT x 4 x 3 BT x 3 Página de