Divisibilidade Múltiplos de um número Critérios de divisibilidade 5367

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1 Divisibilidade Um número é divisível por outro quando sua divisão por esse número for exata. Por exemplo: 20 : 5 = 4 logo 20 é divisível por 5. Múltiplos de um número Um número tem um conjunto infinito de múltiplos. Para se chegar a esses múltiplos devemos multiplicar o número 5 por 0,,2,3,4,5,... 5x0=0 5x=5 5x2=0 5x3=5 5x4=20 5x5=25 Logo o conjunto dos múltiplos de 5 é { 0,5,0,5,20,25,30,... } Conjunto dos múltiplos de 3 é { 0,3,6,9,2,5,8,... } Veja que no conjunto dos múltiplos de um número temos o menor múltiplo que é o zero já o maior o múltiplo não podemos identificar já que o conjunto dos números naturais é infinito. Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando é par, ou seja, quando terminar em 0,2,4,6, ou 8. Atenção não confundir o zero como sendo um número par, o zero é um número nulo e não um número par. Se o zero for o ultimo algarismo de um número, ele faz com que esse número seja par. Exemplo 20. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismo for um número divisível por 3. Exemplo: 5367 é divisível por 3, pois =2 e 2 é divisível por 3 como a soma dos algarismos é um número divisível por 3 logo o número 5367 também é divisível por 3. Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos os dois últimos algarismo da direita formar um número divisível por 4. Exemplo: 2346 esse número é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos formam o número 6 que é divisível por 4.

2 Exemplo: também é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos formam o número 04 que é divisível por 4. Atenção quando o número terminar em 00 também será divisível por 4. Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. Exemplo: 20 e 25 Divisibilidade por 6 Um número só será divisível por 6 se ele for ao mesmo tempo divisível por 2 e por 3. Exemplo: 276 é divisível por 6, pois ele é divisível por 2 porque é par e é divisível por 3 porque 2+7+6=5 que é divisível por 3 Divisibilidade por 8 È parecido com o critério da divisibilidade por 4, só que ao invés de pegar os dois últimos algarismos pegamos os três últimos algarismos, se formar um número divisível por 8 então esse número será divisível por 8. Exemplo: é divisível por 8, pois 288 é divisível por 8. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for um número divisível por 9. É o mesmo processo da divisibilidade por 3. Exemplo: é divisível por 9, pois =27 a soma dos algarismos é 27 que é divisível por 9. Portanto o numero é divisível por 9. Divisibilidade por 0 Um numero é divisível por 0 quando termina em ZERO, exemplo 250. Divisibilidade por Um número é divisível por quando a diferença entre a soma dos valores de ordem impar e os de ordem par for divisível por. Essa ordem dos algarismos será da direita para a esquerda.

3 Atenção se o resultado da subtração for zero o número também será divisível por. Exemplo: é divisível por, veja : algarismo 7 Soma dos algarismos de ordem impar = 20 2 algarismo 3 Soma dos algarismos de ordem par = 9 3 algarismo 2 Subtraindo 20-9 =, veja que o resultado é como ele é 4 algarismo 0 divisível por logo o número dado também é divisível por. 5 algarismo 2 6 algarismo 6 7 algarismo 9 Exemplo: 7248 soma dos algarismos de ordem impar 8+2+ = soma dos algarismos de ordem par = veja que temos = 0 por isso 7248 é divisível por. Números primos Número primo é aquele que é divisível apenas por por ele mesmo. Exemplos: 2 é divisível por e por 2 3 é divisível por e por 3 5 é divisível por e por 5 É muito importante que você saiba sem o uso de cálculos pelo menos a seqüência alguns números primos. Como ( 2,3,5,7,,3,7,9,23,27,...) esta seqüência é importante que se aprenda, pois ela será utilizada na decomposição de números e no cálculo de divisores. Como reconhecer um número primo Para saber se um número é primo, dividimos ele pela seguência de números primos ( 2,3,5,7,,3,7,9,23,27,...) até obtermos uma divisão em que o quociente seja menor ou igual ao divisor se nenhuma da divisões anteriores forem exatas, então o número será primo. Ex: Verificar se 239 é primo ou composto

4 Ex: Verificar se 9 é primo ou composto Ex: Verificar se 47 é primo ou composto Atenção: O número que não é primo é chamado de número composto.

5 Fatoração Utilizamos a fatoração para decompor um número composto em fatores primos. Exemplo : vamos fatorar o número dividido por 2 é 30 e coloca embaixo do dividido por 2 é 5 e coloca embaixo do não posso mais dividir por 2,então 5 : 3 é 5 coloca embaixo do não posso mais dividir por 3, então 5 : 5 é coloca embaixo do5 Logo a forma fatorada de 60 é 2 2 x 3 x 5 veja que o 2 tem expoente 2 porque apareceu duas vezes. Lembra da seqüência de números primos citada acima, quando vamos fazer a fatoração de um número só podemos dividir ele por um número primo. Se for possível vamos dividir por 2 até quando não puder mais, depois por 3, depois por 5 e assim sucessivamente. Exemplo: fatorar o número Logo a forma fatorada de 90 é 2 x 3 2 x 5 Divisores Podemos determinar os divisores de um número através da fatoração do número. Após fatorar criamos uma coluna ao lado da coluna fatorada, colocando o número acima do º número da fatoração,depois cada número da fatoração multiplicará que está acima dele na 2ª coluna.

6 Exemplo: encontrar os divisores de x=2 resultado ao lado dele já tem 2x, falta 2x2=4 coloca ao lado dele ,0,20 fazemos 5x=5, 5x2=0 e 5x4=20 colocamos ao lado dele Logo os divisores de 20 são todos os resultados das multiplicações,2,4,5,0 e 20 Exemplo: Vamos agora determinar os divisores de x=2 coloco resultado ao lado do ,6 3x=3 e 3x2=6 coloca resultado ao lado do ,8 já tem 3x e 3x2 falta 3x3=9 e 3x6=8 coloca 9 e8 ao lado 5 5 5,0,5,30,45,90 todos os números multiplicados por 5 Logo os divisores de 90 são todos os resultados das multiplicações,2,3,6,9,8,5,0,5,30,45 e 90 se preferir poderá ser colocado na ordem numérica,2,3,5,6,9,0,5,8,30,45 e 90 Quantidade de divisores de um número Podemos também utilizar a fatoração para indicar a quantidade de divisores sem ter que escrevê-los. Exemplo: quando fatoramos o número 90 temo a forma fatorada 2 x 3 2 x 5 o expoente não é necessário colocar só estou colocando afim de que você possa visualizar melhor o que vou explicar. Na forma fatorada temos os expoente, 2 e, vamos aumentar uma unidade em cada expoente ficando então 2, 3 e 2 e por fim vamos multiplicá-los 2 x 3 x 2 = 2, logo 90 tem 2 divisores.

7 Vamos calcular o numero de divisores de 60 A forma fatorada de 60 é 2 2 x 3 x 5 Os expoentes são 2 Aumentado de fica Multiplicando 3 x 2 x 2 = 2 portanto 60 também tem 2 divisores. Vamos calcular o numero de divisores de 20 A forma fatorada de 20 é 2 2 x 5 Os expoentes são 2 Aumentado de fica 3 2 Multiplicando 3 x 2 = 6 portanto 20 tem 6 divisores.