AULA 01: RACIOCÍNIO LÓGICO. 1. Tópicos de matemática básica Resolução de questões Questões apresentadas na aula 78 4.

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1 AULA 01: RACIOCÍNIO LÓGICO SUMÁRIO PÁGINA 1. Tópicos de matemática básica Resolução de questões Questões apresentadas na aula Gabarito 94 Olá! Hoje iniciamos o nosso curso de Raciocínio Lógico e Quantitativo. Neste primeiro encontro trataremos de relembrar conceitos fundamentais de matemática básica que são muito úteis para o bom entendimento dos exercícios que trataremos ao longo das demais aulas. São diversos tópicos que selecionei para que você possa relembrar, ou pelo menos reafirmar, aspectos sobre manipulação de números, operações e propriedades básicas que usaremos bastante em aulas futuras. Caso você possua mais facilidade com esses assuntos, sugiro partir para a resolução dos exercícios, voltando nos tópicos teóricos apenas onde sentir dificuldade. Pela redação do seu edital, não acredito que sejam cobradas muitas questões puramente de matemática em sua prova entretanto reitero que os tópicos básicos de matemática a serem vistos hoje podem auxiliar a resolução de diversas questões de Raciocínio Lógico. Tenha uma boa aula, e sinta-se à vontade para me procurar no fórum sempre que sentir necessidade. 1. TÓPICOS DE MATEMÁTICA BÁSICA 1.1 Números primos e Fatoração Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer número, ele pode ser dividido por um, tendo como resultado 7 e não deixando resto Prof. Arthur Lima 1

2 algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto novamente. Portanto, 7 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, como os listados abaixo: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os demais são ímpares. Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de transformar um número qualquer em um produto de números primos é chamado de fatoração. Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2, que é o menor número primo (muitos autores não consideram que o 1 seja um número primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 2 3 x 3. Visualize este processo abaixo: Número Fator primo Logo, 24 = 2 3 x 3 Para praticar, vejamos a fatoração do número 450: Número Fator primo Prof. Arthur Lima 2

3 Logo, 450 = 2 x 3 2 x 5 2 Vejamos ainda a fatoração do número Observe que ele não é divisível (ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo: Número Fator primo Logo, 1001 = 7 x 11 x 13 A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum entre dois números, como veremos a seguir. 1.2 Múltiplos e divisores Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum entre dois números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível por outro (critérios de divisibilidade). Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12: Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O menor deles, neste Prof. Arthur Lima 3

4 caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O cálculo do MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante. Um método simples de se calcular o MMC entre 2 números é dado pelos seguintes passos: 1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos; 2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns dos dois números, de maior expoente. Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 2 3. E decompondo 12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 2 2 x3. Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns (3) de maior expoente (isto é, MMC = 2 3 x 3 = 24). A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 15 = 3x5, e 9 = 3 2. Portanto, MMC = 3 2 x5 = 45. Para você entender como o MMC pode ser útil na resolução de questões, imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. João costuma realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos coincidirão novamente? Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. Observe que os dias em que ambos darão festas devem ser um múltiplos de 9 e também de 15, isto é, múltiplos comuns de 9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9, 15) = 45. Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45 dias. Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número é divisível por outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.: 25 5 = 5, portanto 25 é divisível por 5. O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o número é divisível por 5. Efetuar esta divisão à mão consome muito tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de divisibilidade. Os principais deles encontram-se na tabela abaixo: Prof. Arthur Lima 4

5 Principais critérios de divisibilidade Divisor* Critério Exemplos 1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Números pares (isto é, terminados em um algarismo par) 0, 2,4, 28, 490, 522 etc. 3 0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), Números cuja soma dos algarismos 27 (2+7=9), 51 (5+1=6), 915 é divisível por 3 (9+1+5=15) etc. 4 Se o número formado pelos 2 últimos dígitos for divisível por 4 0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc. 5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc. 6 Números divisíveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) etc. 9 Números cuja soma dos algarismos 0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 9), 7155 é divisível por 9 ( =18) etc. 10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc. *7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, motivo pelo qual praticamente não são cobrados. Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A e B o maior número pelo qual tanto A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto é, sem deixar resto. Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números listando os divisores de cada um deles. Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40: - 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40. Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada número (como fizemos acima), basta seguir 2 passos: 1. Decompor cada um dos números em fatores primos (ex.: 32 = 2 5 ; 40 = 2 3 5) Prof. Arthur Lima 5

6 2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de menor expoente (neste caso, apenas o 2 é comum, e seu menor expoente é 3. Logo, MDC = 2 3 = 8); Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, imagine o seguinte caso: temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor número de grupos possível? Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 20 e 30 pelo maior número possível. Este maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem deixar resto, é justamente o MDC entre 20 e 30. Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 2 2 x5. Temos também que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com 10 gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é Operações com números decimais Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão nãoexata de dois números inteiros. São os números que possuem casas após a vírgula. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. a) Adição de números decimais: A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é: - os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra - as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda. - à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda). Prof. Arthur Lima 6

7 Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 13,47 + 2,9 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso, temos: 13,47 + 2,9 16,37 b) Subtração de números decimais: Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos: 13,47-2,9 10,57 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e transformá-la em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 2, tivemos que subtrair 2 2 pois uma unidade do 3 já havia sido utilizada. Prof. Arthur Lima 7

8 c) Multiplicação de números decimais: observações: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas - devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. - o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula. Vejamos o nosso exemplo: 13,47 x 2, ,063 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se E, lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que leva ao número 39,063. d) Divisão de números decimais: Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas decimais: 3,5 x 100 = 350 0,25 x 100 = 25 Prof. Arthur Lima 8

9 Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo como resultado o número 14. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida. a) 2,25 + 1,7 b) 2,25 1,7 c) 2,25 x 1,7 d) 2,25 / 1,5 e) 0, ,12 f) 0,898 1,12 g) 0,898 x 1,12 h) 0,898 / 0,01 Respostas: a) 3,95 b) 0,55 c) 3,825 d) 1,5 e) 2,018 f) -0,222 g) 1,00576 h) 89,8 1.4 Operações com frações Uma fração nada mais é do que uma operação de divisão. Escrever 2 5 é equivalente a escrever 2 5. As frações estão constantemente presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão. a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é, Prof. Arthur Lima 9

10 simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais. Em regra utilizamos o mínimo múltiplo comum, para não ter que trabalhar com números muito grandes. Vamos entender isto com o exemplo abaixo: Veja que 6 = 2x3, e 8 = 2 3. O mínimo múltiplo comum, como já vimos, será dado pela multiplicação entre os fatores comuns e não comuns de maior expoente. Neste caso, MMC(6,8) = 2 3 x3 = 8x3 = 24. Para trocar o denominador da fração 1 6 para 24, é preciso multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, 1 = Já para trocar o denominador da fração 3 8 para 24, é preciso multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 3 = Agora sim podemos efetuar a soma: = + = = b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo: = = c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso exemplo: = = = Expressões numéricas Prof. Arthur Lima 10

11 Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um exemplo: { } ( ) (9 3) 7 4 = A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se lembre das seguintes regras: 1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração. Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operações que encontram-se entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a primeira a ser resolvida: {[ ] } (5 + 2) (9 3) 7 4 = A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo: {[ ] } = Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: { 42 7} 4 = Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 35 4 = Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo: 35 4 = 8, 75 Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão numérica, basta resolvêla no momento que você resolveria aquela operação de divisão. 1.6 Porcentagem A porcentagem nada mais é do que uma divisão onde o denominador é o número 100. Você certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas notícias da imprensa. Dizer que 12% (leia doze por cento ) dos brasileiros são Prof. Arthur Lima 11

12 desempregados é igual a dizer que 12 a cada grupo de 100 brasileiros não tem emprego. Veja outros exemplos: - 11% do seu salário deve ser pago a título de contribuição previdenciária : de cada 100 reais que você recebe como salário, 11 devem ser pagos para a previdência. - a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil é de 20% : de cada 100 adultos no Brasil, 20 são analfabetos. - o número de adolescentes grávidas cresceu 10% em 2011, em relação ao ano anterior : para cada 100 adolescentes grávidas que existiam em 2010, passaram a existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes grávidas. - o número de fumantes hoje é 5%menor que aquele do início da década : para cada 100 fumantes existentes no início da década, hoje temos 100 5, isto é, 95 fumantes. Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo, basta efetuar a seguinte divisão: quantia de interesse Porcentagem = 100% total Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianças representam em um total de 4 crianças, temos: quantia de interesse 3 Porcentagem = 100% = 100% = 0,75 100% = 75% total 4 Podemos transformar um número porcentual (ex.: 75%) em um número decimal (ex.: 0,75), e vice-versa, lembrando que o símbolo % significa dividido por 100. Isto é, 75% é igual a 75 dividido por 100, que é igual a 0,75: Prof. Arthur Lima 12

13 75 75% = = 0, Da mesma forma, se temos um número decimal (ex.: 0,025) e queremos saber o valor percentual correspondente, basta multiplicá-lo por 100%: 100 0,025 = 0,025 = 0, % = 2,5% 100 Por fim, se podemos dizer que: quantia de interesse Porcentagem = 100%, então também total quantia de interesse = porcentagem total 100 (Obs.: veja que omiti o 100% desta última fórmula, afinal 100% = = 1). 100 Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber quanto é 20% de 300, basta multiplicar 20% por 300: 20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60 Isto é, 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas. Portanto, grave isso: em matemática, o de equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 20% x 300, e assim por diante. 1.7 Potenciação Já tivemos que trabalhar com potências nesta aula, ao abordar a fatoração, mas nesta seção veremos mais detalhes sobre esta operação matemática. Observe o exemplo abaixo: 3 5 = = 125 (lê-se: cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes cinco ) Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a uma determinada potência n é simplesmente multiplicar X por ele mesmo, n vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida: Prof. Arthur Lima 13

14 4 2 = = 16 ( dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 vezes ) Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base (número X) elevada a um expoente ( n ). Entendido o conceito básico, podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam potências: a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. que: Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer 0 5 = 1 0 ( 25) = 1 = 0 0,3 1 b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. Isso é bem lógico, pois zero elevado a n significa zero multiplicado por ele mesmo, n vezes. Ex.: 3 0 = = 0 c) Multiplicação de potências de mesma base (X): A questão aqui é como multiplicar Normalmente você faria assim: = (4 4) (4 4 4) = 1024 Veja que basta somar os expoentes ( n ), uma vez que as duas potências têm a mesma base 4: = = = d) Divisão de potências de mesma base (X): Como você faria a divisão ? Provavelmente seria assim: = = 4 4 = 16 Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes ( n ), pois o numerador e denominador da divisão tem a base 4. Veja: Prof. Arthur Lima 14

15 Analogamente, observe que RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA = = = = 4. Isto porque: = = 4 = O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador para o denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão Temos duas formas: Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, somando os expoentes: 3 5 ( 3) = 4 = 4 = 16 Usar a propriedade que acabamos de ver, levando a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma base: = = 4 = 4 = para o denominador e, e) Potência de potência: A questão agora é resolver 2 3 (2 ). Você poderia inicialmente elevar 2 à segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à terceira potência (ao cubo): (2 ) = (4) = 64 Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da multiplicação entre os dois expoentes: = = = (2 ) f) Raiz de potência: Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que trata-se de uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz quadrada de um número é equivalente a elevá-lo a 1 2, obter a raiz cúbica é equivalente a elevá-lo a 1 3, e assim por diante. Prof. Arthur Lima 15

16 Visto isso, vamos obter o valor de: simplesmente assim: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA 6 2 = = 64 = Veja que poderíamos fazer Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 1, podemos fazer: ( ) 2 = 2 = 2 = 2 = 8 Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) para resolver este caso. g) Potência de produto: Se tivermos que resolver uma expressão como 2 (2 3), podemos fazer de algumas formas: 2 2 (2 3) = (6) = 36 2 (2 3) = (2 3) (2 3) = (2 3) = 2 3 = 4 9 = 36 Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B elevado à uma potência n é igual ao produto das potências n A e n B. h) Potência de base 10: Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número natural n, fica bem fácil resolver. O resultado será formado pelo número 1 seguido de n zeros: 3 10 = = Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos: i) Potência de base negativa: = = = = = = 0, , Prof. Arthur Lima 16

17 Quando a base da potência é um número negativo, devemos analisar qual será o sinal do resultado. Por ex.: 3 (-2) = 8 ou -8? Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, como 3 é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas: 3 (-2) = (-2) (-2) (-2) = (4) (-2) = 8 Veja um exemplo com expoente par: j) Fração elevada a um expoente: 4 (-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) = (4) (4) = 16 Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde numerador e denominador estão elevados àquele expoente. Veja: = 3 3 Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: = = = = Radiciação Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à potenciação. Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa que 3 elevado ao quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o símbolo n ou elevando o número em questão ao expoente 1. Veja alguns n exemplos: = 27 = 3, pois = 16 = 4, pois 3 3 = = 16 Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o símbolo 2 ou simplesmente. As principais propriedades da radiciação são: a) Qualquer raiz de zero é igual a zero: Prof. Arthur Lima 17

18 em zero. RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA n Isto é, 0 = 0. Isto porque zero elevado a qualquer número também resulta b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1: 1. n Ou seja, 1 = 1. Isto porque 1 elevado a qualquer número também resulta em c) a b a b x = x Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando, = 4 = 4 = 16. d) Raiz n de produto é igual ao produto das raízes n : Isto é, a raiz n de A x B é igual a raiz n de A x raiz n de B: n n n A B = A B Veja que essa propriedade só vale se ambas as raízes tiverem o mesmo radical n. Ilustrando, temos que: = = 5 4 = 20 e) Raiz da divisão é igual à divisão das raízes: A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B: n A B = n n A B Veja esse exemplo: = = f) Raiz de raiz: Por essa propriedade, temos que n m A n = m. Exemplificando: A 2 = 2 = Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência: Prof. Arthur Lima 18

19 = RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA 2 = 2 2 = 2 = 2 = 2 2 passos: Vamos estudar um método para extrair a raiz de um número. Ele consiste em 1. Decomposição do número em fatores primos 2. Aplicação da propriedade a b a b x = x A título de exemplo, vamos calcular Lembre-se que os números primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por si mesmos, ou seja: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc. Assim, iremos começar dividindo 216 pelo menor número primo (2) e, quando não mais for possível, passamos para o número primo seguinte (3), e assim sucessivamente. Teremos: Número Fator primo (pois não é mais possível usar o 2) Logo, 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 2 3 x 3 3 Feito isso, podemos aplicar a propriedade da radiciação da seguinte forma: = (2 3 ) = (2 3 ) = 2 3 = 2 3 = 6 Se você ficou em dúvida, talvez precise voltar na seção de Potenciação e revisar as propriedades que estudamos. Vamos resolver mais um caso: primos, temos: Número Fator primo Decompondo 7056 em fatores Prof. Arthur Lima 19

20 RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA 1 Logo, = Portanto: = = = = 84 Várias vezes você irá se deparar com números que não possuem raiz exata. Apesar disso, é possível simplificar o resultado. Vamos calcular, por exemplo, a raiz quadrada de 32. Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que: Assim, 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = = 2 Podemos simplificar esta expressão lembrando-se que = 2 2 : = 2 = 2 2 = 2 2 = 4 2 ou, simplesmente, 4 2 Finalizando, é bom saber que no conjunto dos números reais, não existe raiz par de números negativos (ex.: não existe 2 16 ), mas existe raiz ímpar ( = 3, pois ( 3) = 27 ). Veja nas tabelas abaixo um resumo das propriedades de potências e raízes. Propriedades das operações com potências Propriedade Exemplo 0 X = = 1 1 X = X 1 5 = 5 0 n = 0 n m n m A A = A = = = 5 = Prof. Arthur Lima 20

21 A A A n m n = A n m 1 = n A RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA = 5 = = 2 5 n ( ) m A A n m 2 = ( ) = 5 = 5 m n m n A = A ( A B) n = A n B n Sendo A > 0, então ( A) n é positivo se n for par, e negativo se n for ímpar n A A = B B n n = (5 7) = ( 2) = 8 = 4 ( 2) = Propriedade n Propriedades das operações com raízes Exemplo 0 = 0 0 = 0 n 1 = 1 1 = 1 a b a b x = x = 5 n n n A B = A B = = 5 4 = 20 n A B = n n A B = = n m A = n m A 2 = 2 = Cálculo de raízes: 1. Decompor o radicando em fatores primos 2. Utilizar as propriedades de radiciação, em especial a b a b x = x e n n n A B = A B No conjunto dos números reais, não existe raiz par de números negativos ( 2 16 ), mas existe raiz ímpar ( = 3, pois ( 3) = 27 ). Prof. Arthur Lima 21

22 1.9 Conjuntos numéricos RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Na matemática definimos como conjuntos numéricos as principais classificações dos números existentes. Conhecer as propriedades dos números de cada um desses conjuntos pode ser muito importante na resolução de certos exercícios. Por isso, seguem abaixo explicações detalhadas a respeito de cada um dos principais conjuntos numéricos. NÚMEROS NATURAIS Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de contagem natural. Isto é, são aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre chaves: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 } As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais. Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois não é um número de contagem natural ). Por isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4 } Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número n é o número n+1. b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número n é o número n-1. Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto. c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números consecutivos. Prof. Arthur Lima 22

23 d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Vamos lembrar as principais operações com números naturais e suas propriedades. Adição: a soma de números naturais tem as seguintes propriedades. o Fechamento: a soma de dois números naturais gera outro número natural. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex: = 7. o Associativa: ao adicionar 3 ou mais números naturais, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.: = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14 o Comutativa: a soma de dois números naturais A + B é igual à soma B+A, ou seja, a ordem não altera o resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.: = = 7 o Elemento neutro: o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.: = 2. Subtração: a subtração de números naturais tem as seguintes propriedades: o Elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 0 = 2. o Fechamento: a subtração NÃO possui essa propriedade no conjunto dos números naturais, pois a subtração de números naturais pode gerar um número não natural (ex.: 5 7 = -2, que não é negativo, logo não é natural). Prof. Arthur Lima 23

24 o Comutativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois A B pode ser diferente de B A. Ex.: 2 5 = -3, e 5 2 = 3. o Associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A B) C pode ser diferente de (C B) A. Multiplicação: a multiplicação de números naturais tem as seguintes propriedades: o Elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. o Fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de números naturais sempre gera um número natural (ex.: 5 x 7 = 35, que é natural). o Comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15). o Associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24. o Distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade, pois Ax(B+C) = (AxB) + (AxC). Ex.: 5x(3+7) = 5x(10) = 50, e também 5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = = 50 Divisão: a divisão de números naturais tem as seguintes propriedades: o Elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5. o Fechamento: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois a divisão de números naturais pode gerar um número não natural (ex.: 2 / 100 = 0,02; que não é um número natural). o Comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. o Associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2. Prof. Arthur Lima 24

25 Veja a tabela abaixo, que resume todas as propriedades das operações com números naturais. Elem. Neutro Comut. Assoc. Fecham. Adição zero Sim Sim Sim Distributiva Não: A + ( B + C) ( A + B) + ( A + C) Multiplicação 1 Sim Sim Sim Sim: A ( B + C) ( A B) + ( A C) Subtração Zero Não Não Não. Ex.: 5 7 = -2 Não: A ( B + C) ( A B) + ( A C) Divisão 1 Não Não Não. Ex.: 1 0,5 2 = Não: A ( B + C) ( A B) + ( A C) NÚMEROS INTEIROS Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto é, Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre N e Z: Prof. Arthur Lima 25

26 Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos: a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais. b) Números Inteiros não positivos = { -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo. c) Números inteiros negativos = { -3, -2, -1}. O zero não faz parte. d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS As principais operações com números inteiros são as mesmas que vimos ao estudar os números naturais: adição, subtração, multiplicação e divisão. Com relação às suas propriedades, temos uma única e importante diferença: a propriedade de fechamento na subtração. Vejamos o porquê. A subtração de dois números naturais pode resultar em um número negativo, que não pertence a esse conjunto (ex.: 5 7 = -2). Por esse motivo, a propriedade de fechamento NÃO está presente nos números naturais. Entretanto, os números negativos pertencem ao conjunto dos números inteiros. Por esse motivo, a subtração de quaisquer dois números inteiros resulta em outro número inteiro. Assim, a subtração de números inteiros possui a propriedade de fechamento. Para sedimentar seus conhecimentos, repito a nossa tabela: Elem. Neutro Comut. Assoc. Fecham. Adição zero Sim Sim Sim Distributiva Não: A + ( B + C) ( A + B) + ( A + C) Multiplicação 1 Sim Sim Sim Sim: A ( B + C) ( A B) + ( A C) Subtração Zero Não Não Sim Não: A ( B + C) ( A B) + ( A C) Divisão 1 Não Não Não. Ex.: Não: Prof. Arthur Lima 26

27 1 0,5 2 = A ( B + C) ( A B) + ( A C) Uma última propriedade dos números inteiros deve ser mencionada: o elemento oposto. Significa dizer que, para todo número inteiro A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0 Os números naturais não têm elemento oposto, visto que não há número natural negativo. Vamos ainda relembrar as regras de sinais na multiplicação e na divisão de números inteiros. Você deve se lembrar que: - a multiplicação e a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. Da mesma forma, 24/3 = 8, e (-24)/(-3) = 8. - a multiplicação e a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25, 24/(-3) = -8 e (-24)/3 = -8. Para finalizar esse tópico, devemos ainda conhecer o operador módulo. O módulo de um número inteiro é a sua distância até o ponto de origem, isto é, o zero. Também é conhecido pelo nome valor absoluto. Veja que tanto o número 5 (positivo) quanto o número -5 (negativo) possuem a mesma distância até o zero. Utilizando o símbolo A para representar o módulo do número A, podemos dizer então que: 5 = -5 = 5 unidades, ou simplesmente 5. Generalizando, podemos dizer que: A = -A = A Também é possível dizer que o módulo de um número A é o maior entre dois valores: A e A. Em termos matemáticos, podemos escrever: A = max{a,-a} = valor absoluto de A NÚMEROS RACIONAIS Prof. Arthur Lima 27

28 Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos: é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4. é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, ou a divisão de 15 por e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo número 1. Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma (A dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido para você: O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma, concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma, o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número por zero é impossível (exceto 0, cujo valor é indeterminado). 0 No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números: Prof. Arthur Lima 28

29 a) Frações. Ex.:,, etc. RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA b) Números decimais. Ex.: 1,25 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na forma. Neste caso, poderíamos representá-lo como, ou mesmo simplificá-lo para. c) Dízimas periódicas. Ex.: 0, ou simplesmente (a barra indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente). As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também podem ser escritas na forma. O número deste exemplo poderia ser escrito na forma. Existem métodos que nos permitem encontrar qual fração é equivalente a uma determinada dízima periódica. Entretanto, pelo escopo deste curso, não entraremos em detalhes. Outro exemplo de dízima periódica: 1, ou. Por fim, usando a notação usual na matemática, pode-se definir os números racionais da seguinte forma: Q = { A e B Z, B 0} (Lê-se A dividido por B, tal que A e B pertencem a Z, sendo B diferente de zero ) OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS Em relação ao que já vimos para números inteiros, a única diferença aqui é que agora a divisão possui a propriedade do fechamento. Isto porque a própria definição dos números racionais diz que todo número na forma A pertence ao B conjunto dos números racionais. Veja isso na tabela abaixo: Elem. Comut. Assoc. Fecham. Distributiva Prof. Arthur Lima 29

30 Neutro Adição zero Sim Sim Sim RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Não: A + ( B + C) ( A + B) + ( A + C) Multiplicação 1 Sim Sim Sim Sim: A ( B + C) ( A B) + ( A C) Subtração Zero Não Não Sim Não: A ( B + C) ( A B) + ( A C) Divisão 1 Não Não Sim Não: A ( B + C) ( A B) + ( A C) Aqui também se aplicam os conceitos de módulo e de número oposto que vimos ao estudar os números inteiros. NÚMEROS IRRACIONAIS Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos Racionais, não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na forma (onde A e B são números inteiros). Isto porque esses números são formados por uma seqüência infinita de algarismos. Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com um número irracional: (as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos) Da mesma forma, o conhecido número ( pi ), muito utilizado na trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional: Não entraremos no estudo das propriedades dos números irracionais, uma vez que você só precisa ter um conhecimento superficial sobre os mesmos. NÚMEROS REAIS Prof. Arthur Lima 30

31 O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que: (O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no E, além disso, dos Racionais, que está contido no dos Reais) (O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) temos: Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, agora No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Irracionais e Reais. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas para os racionais. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO CONJUNTOS NUMÉRICOS) Marque certo (C) ou errado (E) nas afirmações abaixo: ( ) Todo número racional é real, porém nem todo número real é racional ( ) Todo número natural é também inteiro, e todo número irracional não é inteiro ( ) é um número natural, inteiro, racional e real ( ) 72 é um número natural, inteiro, racional e real Prof. Arthur Lima 31

32 ( ) 4 é um número natural, inteiro, racional e real ( ) 6 é um número irracional e real ( ) 0, é um número irracional e real ( ) 5 é um número racional, porém não é inteiro nem natural 6 ( ) 12 6 é um número natural e inteiro ( ) A multiplicação de dois números naturais resulta sempre em um número natural ( ) A subtração entre dois números naturais resulta sempre em um número natural ( ) O elemento neutro da multiplicação e divisão é o número 1, enquanto o da adição e subtração é o 0 ( ) A propriedade distributiva aplica-se tanto à adição quanto à multiplicação ( ) A propriedade associativa está presente na adição e na multiplicação, porém não é válida na subtração e na divisão ( ) A soma de um número racional com um número irracional tem como resultado um número irracional ( ) O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto ( ) Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor ( ) Todo número natural positivo tem um sucessor e um antecessor ( ) O conjunto dos números inteiros não negativos é equivalente ao conjunto dos números naturais positivos ( ) Os números decimais, desde que representados com um número finito de casas decimais, fazem parte do conjunto dos números racionais ( ) 53,2% é um número racional, porém não é um número inteiro ( ) Sabendo que o número de Euler é e = 2, , ele deve ser um número real ( ) Nos conjuntos dos números inteiros e racionais, a adição e a subtração possuem a propriedade do fechamento, entretanto o mesmo não ocorre no conjunto dos números naturais ( ) A divisão de números inteiros sempre gera um número racional, porém não necessariamente inteiro. RESOLUÇÃO: Vamos examinar cada alternativa rapidamente. Se tiver dúvidas, sugiro que você volte no tópico de teoria específico. Prof. Arthur Lima 32

33 ( ) Todo número racional é real, porém nem todo número real é racional Certo. Q está contido em R, porém há números reais que não são racionais (ex.: números irracionais). ( ) Todo número natural é também inteiro, e todo número irracional não é inteiro Certo. Sobre a segunda parte, veja que todo número irracional possui infinitas casas decimais, logo não pode ser inteiro. ( ) é um número natural, inteiro, racional e real e real). Errado é negativo, logo não pode ser natural (porém é inteiro, racional ( ) 72 é um número natural, inteiro, racional e real Certo. ( ) 4 é um número natural, inteiro, racional e real Certo, pois 4 = 2, que é natural. ( ) 6 é um número irracional e real Certo, pois 6 não é exata, sendo formada por infinitas casas decimais. ( ) 0, é um número irracional e real racional. Errado, pois trata-se de uma dízima periódica, sendo portanto um número ( ) 5 é um número racional, porém não é inteiro nem natural 6 Certo. ( ) 12 é um número natural e inteiro 6 Prof. Arthur Lima 33

34 Certo, pois 12 6 = 2, que é natural e inteiro. RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA ( ) A multiplicação de dois números naturais resulta sempre em um número natural naturais. Certo. Essa é a propriedade do fechamento na multiplicação de números ( ) A subtração entre dois números naturais resulta sempre em um número natural Errado. Ex.: 5 7 = -2 (negativo, portanto não natural) ( ) O elemento neutro da multiplicação e divisão é o número 1, enquanto o da adição e subtração é o 0 Certo. ( ) A propriedade distributiva aplica-se tanto à adição quanto à multiplicação Errado. Somente à multiplicação. ( ) A propriedade associativa está presente na adição e na multiplicação, porém não é válida na subtração e na divisão Certo. ( ) A soma de um número racional com um número irracional tem como resultado um número irracional Certo. Um número irracional tem uma quantidade infinita de casas decimais (que não se repetem numa ordem definida). Ao somar com um número racional, o resultado terá também um número infinito de casas decimais, sendo impossível escrevê-lo na forma A B (pois não será uma dízima periódica). Veja um exemplo: = 1,5 + 1, = 2, ( ) O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto Prof. Arthur Lima 34

35 Certo. A = -A RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA ( ) Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor Certo. ( ) Todo número natural positivo tem um sucessor e um antecessor Certo. No conjunto dos números naturais, todos tem um sucessor, e apenas o zero não tem antecessor. Entretanto, como o item mencionou apenas os números naturais positivos, podemos excluir o caso do zero. ( ) O conjunto dos números inteiros não negativos é equivalente ao conjunto dos números naturais positivos Errado. A diferença é a presença ou não do zero. Veja: - números inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} - números naturais positivos = {1, 2, 3, 4, 5...} ( ) Os números decimais, desde que representados com um número finito de casas decimais, fazem parte do conjunto dos números racionais Certo. Veja no material teórico os 3 tipos de números racionais (fracionários, decimais e dízimas periódicas). ( ) 53,2% é um número racional, porém não é um número inteiro Certo. 53,2% escrito na forma decimal corresponde a 0,532. Portanto, possui número finito de casas decimais, sendo racional, porém não inteiro. ( ) Sabendo que o número de Euler é e = 2, , ele deve ser um número real Certo. Trata-se de um número irracional, que também pertence ao conjunto dos números reais. ( ) Nos conjuntos dos números inteiros e racionais, a adição e a subtração possuem a propriedade do fechamento, entretanto o mesmo não ocorre no conjunto dos números naturais Certo. Prof. Arthur Lima 35

36 ( ) A divisão de números inteiros sempre gera um número racional, porém não necessariamente inteiro. Certo, pois a própria definição dos números racionais diz que todos os números na forma A, onde A e B são inteiros, faz parte daquele conjunto. B Entretanto, a divisão A B pode resultar em um número inteiro (ex.: 6 = 3 ) ou não 2 (ex.: 5 2,5 2 = ) Expressões algébricas As expressões algébricas são expressões matemáticas que possuem variáveis, também chamadas de incógnitas, que normalmente são representadas por letras. Estas variáveis representam, em realidade, números que não sabemos. Para descobri-los, precisamos saber manipular a expressão (que normalmente é composta por letras e números). Exemplos de expressões algébricas: a + b = 5 2x + 3 = 0 y 2 y + 10 = = p É fundamental saber ler estas expressões. Veja alguns exemplos: - a soma de dois números é igual a 5 a + b = 5 - o dobro de um número, adicionado de 3 unidades, é igual a zero 2x + 3 = 0 - o quadrado de um número, subtraído deste mesmo número e adicionado de 10 unidades é igual a zero y 2 y + 10 = 0 A maioria das questões não fornecerá uma expressão algébrica como as que vimos acima. Normalmente, o enunciado apresenta informações que permitirão que você mesmo construa a(s) expressão(ões) algébrica(s) para resolver a questão. As expressões algébricas são constituídas de um 1º termo (à esquerda), o sinal de igualdade e o 2º termo (à direita). Veja: 2x + 3 = 5 + x Prof. Arthur Lima 36

37 É possível somar, subtrair, multiplicar ou dividir um dos termos da expressão por qualquer número, desde que façamos a mesma coisa com o outro termo. Caso contrário, não mais teremos uma igualdade. Exemplificando, podemos somar 1 unidade em cada membro da equação acima, obtendo o seguinte: 2x (1) = 5 + x + (1) 2x + 4 = 6 + x Note o que acontece se somamos -4 (isto é, subtraímos 4) nos dois membros dessa última expressão: 2x ( 4) = 6 + x + 4 2x = 6 + x 4 Você percebe que somar (-4) nos dois membros é equivalente a passar o 4, que estava somando no primeiro termo (2x + 4) para o outro lado da igualdade, porém invertendo o sinal? Em resumo: sempre que você quiser passar um número ou variável que está somando ou subtraindo de um lado para o outro da igualdade, basta trocar o seu sinal. Agora, veja a seguinte expressão: 2( x + 2) = 6 + x Note que no primeiro membro temos o número 2 multiplicando o termo (x+2). Se dividirmos ambos os lados da igualdade por 2, teremos: 2( x + 2) 6 + x = x x + 2 = 2 Veja que o 2 que estava multiplicando o primeiro membro agora está dividindo o segundo membro. Assim, sempre que um número ou variável estiver multiplicando ou dividindo um dos termos da igualdade, ele pode passar para o outro lado, bastando para isso inverter a operação. Muito cuidado para não cometer o seguinte erro: 3x + 1= 6 + x 6 + x x + 1= 3 Neste caso acima, o número 3 estava multiplicando x e foi transferido para o outro lado da igualdade, dividindo o segundo termo. Porém, o 3 não estava multiplicando todo o primeiro termo, por isso não podia passar para o outro lado Prof. Arthur Lima 37

38 dividindo o segundo termo. Neste caso, o correto seria passar, primeiramente, o número 1 (que estava somando) para o outro lado (subtraindo). Feito isso, teríamos: 3x = 6 + x 1 Agora sim o 3 está multiplicando todo o primeiro termo da igualdade, e pode passar para o outro lado dividindo: 6 + x 1 x = 3 Quando estamos diante de uma expressão algébrica e queremos descobrir o valor de uma variável, basta passar todos os termos que contém a variável para um lado da igualdade, e todos os que não a contém para o outro lado da igualdade. Utilizando a equação 3x + 3 = x + 7, vamos descobrir o valor de x. Inicialmente, passamos para o lado esquerdo os termos que contém x, e para o lado direito os que não contém, fazendo as trocas de sinal ou inversão de operação necessárias: 3x + 3 = x + 7 3x x = 7 3 2x = 4 A seguir, podemos isolar a variável x, passando para o outro lado da igualdade o 2 que a multiplica: 2x = 4 x = x = Assim como vimos nas expressões numéricas, devemos resolver primeiro o que está entre parênteses (), depois o que está entre colchetes [ ], e por fim o que está entre chaves { }. Da mesma forma, devemos resolver primeiro as operações de potenciação ou radiciação, a seguir as de multiplicação ou divisão, e por fim as de soma ou subtração. Preste atenção nesses aspectos ao estudar a resolução dos exercícios Produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas Em muitos casos é útil transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de fatores. Essa transformação é chamada de fatoração. Prof. Arthur Lima 38

39 Observe, por exemplo, que a expressão ( a + b) ( a + b) pode ser desenvolvida na expressão 2 2 a + 2 a b + b. Vendo de trás para frente, podemos transformar uma expressão 2 2 a + 2 a b + b em uma multiplicação de dois fatores iguais a ( a + b), isto é, ( a + b) ( a + b), ou simplesmente 2 +. Saber que ( a b) a + 2 a b + b = ( a + b) pode ajudar a resolver várias questões. Este é um produto notável. Existem vários outros interessantes, dentre os quais os mais comuns são: ( a + b) = a + 2 a b + b ( a b) = a 2 a b + b ( a + b) ( a b) = a b 2 2 ( a + b) = a + 3 a b + 3 a b + b ( a b) = a 3 a b + 3 a b b Isto é, se temos uma expressão x 2-2xy + y 2 = 0, podemos usar a segunda propriedade acima e escrever simplesmente (x - y) 2 = 0. Um uso comum dos produtos notáveis é na racionalização de denominadores de frações. Imagine que temos a seguinte fração: Observe que o denominador desta fração é irracional, pois é formado pela soma de duas raízes irracionais. Veja o que acontece quando multiplicamos o numerador e o denominador desta fração por 2 3 : A propriedade 3 nos diz que: Portanto, = ( 2 + 3) ( 2 3) = ( 2) + ( 3) = = = = = Veja que, utilizando um produto notável, conseguimos acabar com a parte irracional do denominador desta fração. Prof. Arthur Lima 39

40 Ao longo dos exercícios de hoje veremos alguns exemplos de uso dos produtos notáveis Regra de três simples A regra de três simples é uma ferramenta essencial na resolução de várias questões. Vamos relembrá-la rapidamente através de um exemplo. Imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente proporcional ao tempo de serviço. Isso quer dizer que, à medida que o tempo de serviço aumenta, o salário do profissional também aumenta, e vice-versa. Esse crescimento ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma razão entre o salário e o tempo trabalhado. Assim, se S1 é o salário de um empregado e T1 é o tempo trabalhado por ele atualmente, e S2 é o salário de outro empregado que já trabalhou pelo período T2. Neste caso, podemos montar uma regra de três simples para relacionar essas grandezas: Tempo...Salário T1 T2 As setas apontadas no mesmo sentido indicam que as duas grandezas aumentam (ou diminuem) juntas, ou seja, são diretamente proporcionais. Uma vez montada essa regra de três, basta usar a multiplicação cruzada, isto é, multiplicar os termos das diagonais para obter a seguinte igualdade: T1 S2 = T 2 S1 Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa onde salários e tempos de serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de Kléber é de R$1500 por mês, há quanto tempo ele trabalha nesta empresa? Temos duas grandezas envolvidas (tempo trabalhado e salário). Para encontrar o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), montamos a seguinte regra de três: S1 S2 Tempo (anos)...salário (reais) T 1500 Prof. Arthur Lima 40

41 Assim, basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000): = T = T T = = 7, Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos. Depois de tanta teoria, vejamos uma bateria de exercícios para ajudar na fixação dos temas tratados nesta aula. Prof. Arthur Lima 41

42 2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Como já disse, os assuntos que vimos hoje costumam ser pré-requisitos para a resolução das questões que devem cair em sua prova. Portanto, é muito importante que você tente resolver todos os exercícios. A partir da próxima aula trabalharemos com mais ênfase os modelos de questões que devem vir a ser cobrados em sua prova. 1. CETRO Pref. Mairinque 2009) Todos os dias, Marcos corre 6km durante uma hora e meia. Se Marcos correr durante 2 horas, mantendo o mesmo ritmo, ele correrá (A) 7km. (B) 8km. (C) 9km. (D) 10km. (E) 11km. RESOLUÇÃO: Podemos montar uma regra de três simples: Distância percorrida 6km X Tempo de corrida 1,5 hora 2 horas Resposta: B 1,5X = 6 x 2 X = 8km 2. CETRO Pref. Mairinque 2009) Carlinhos ganha, todos os meses, R$50,00 de mesada e pretende comprar um par de patins que custa R$150,00. Se ele guardar a metade da mesada por mês, comprará o par de patins em (A) 3 meses. (B) 4 meses. (C) 5 meses. (D) 6 meses. (E) 7 meses. Prof. Arthur Lima 42

43 RESOLUÇÃO: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Veja que Carlinhos guarda 25 reais (metade da mesada) todo mês. Seja N o número de meses necessários para juntar os 150 reais do patins. Assim: Resposta: D N x 25 = 150 N = 150/25 = 6 meses 3. FCC TRT/4ª 2011) Dos números que aparecem nas alternativas, o que mais se aproxima do valor da expressão a) 0,0018 b) 0,015 c) 0,018 d) 0,15 e) 0,18 RESOLUÇÃO: 2 2 (0,619 0,599 ) 0,75 é: Veja que elevar 0,619 e 0,599 ao quadrado seria bem trabalhoso. Entretanto, lembrando que ( a b) ( a b) a b =, onde a = 0,619 e b = 0,599, temos que: Assim, Resposta: C 2 2 a b = a + b a b ( ) ( ) = ,619 0,599 (0,619 0,599) (0,619 0,599) 2 2 0,619 0,599 = (1, 218) (0,02) 2 2 0,619 0,599 = 0,0243 (0, ,599 2 ) x 0,75 = 0,0243 x 0,75 = 0, CETRO Pref. Mairinque 2009) Observe a tabela de preços do estacionamento Helen s Park. Prof. Arthur Lima 43

44 Com base na tabela acima, é correto afirmar que não compensará pagar uma diária completa caso o carro fique no estacionamento por, no máximo, até (A) 3 horas. (B) 4 horas. (C) 5 horas. (D) 6 horas. (E) 7 horas. RESOLUÇÃO: Se o carro ficar 1 hora, deverá pagar 7 reais. Com a segunda hora, devemos adicionar mais 3 reais, totalizando 10 reais. Com a terceira hora, devemos adicionar mais 2 reais, chegando a 12 reais. Veja que, até este momento, é mais barato pagar pelas 3 horas de estacionamento do que pagar uma diária completa (13 reais). Na 4ª hora, deveremos adicionar mais 2 reais, perfazendo 14 reais. Este valor já é superior a uma diária completa. Isto é, a partir de 4 horas compensa pagar uma diária completa ao invés de efetuar o pagamento por hora. Logo, até no máximo 3 horas NÃO compensa pagar a diária completa. A partir daí compensa pagar a diária. Resposta: A 5. CETRO Pref. Mairinque 2009) Antônio pediu emprestado R$500,00 para seu primo. No mês passado, ele pagou R$260,00 desta dívida e pretende pagar mais R$170,00 neste mês. Portanto, após efetuar o pagamento deste mês, Antônio ainda ficará devendo (A) R$70,00. (B) R$80,00. (C) R$90,00. (D) R$100,00. (E) R$110,00. RESOLUÇÃO: Após o pagamento já efetuado no mês passado (260 reais) e mais o pagamento efetuado neste mês (170 reais), a dívida restante é: Dívida restante = = 70 reais Resposta: A Prof. Arthur Lima 44

45 6. FCC TRT/24ª 2011) Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu: O número de processos que arquivei é igual a 12, ,25 2. Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que: (A) X < 20. (B) 20 < X < 30. (C) 30 < X < 38. (D) 38 < X < 42. (E) X > 42. RESOLUÇÃO: Lembrando que 2 2 a b a b a b = ( + ) ( ), onde a = 12,25 e b = 10,25, podemos resolver a questão sem a necessidade de efetuar o cálculo das potências. Assim, temos: (letra E). Resposta: E 2 2 a b = a + b a b ( ) ( ) = ,25 10,25 (12,25 10,25) (12, 25 10, 25) ,25 10,25 = 22,5 2 = 45 Portanto, o técnico arquivou 45 processos, ou seja, mais de 42 processos 7. CETRO Pref. Mairinque 2009) Para preparar um churrasco, João calcula que cada pessoa coma cerca de 300g de carne cujo quilo custa, em média, R$8,90. Se João convidar 14 amigos, ao comprar a carne, ele gastará, ao todo, (A) R$33,95. (B) R$34,83. (C) R$35,14. (D) R$36,76. (E) R$37,38. RESOLUÇÃO: Se uma pessoa come 0,3kg (300g) de carne, e João convidar 14 amigos, a quantidade de carne a ser comprada é: Carne = 0,3 x 14 = 4,2kg Prof. Arthur Lima 45

46 Se 1 kg custa 8,90 reais, vejamos quanto custa 4,2kg: Peso da carne Preço 1kg 8,9 reais 4,2kg P Resposta: E P x 1 = 4,2 x 8,9 P = 37,38 reais 8. CETRO Pref. Mairinque 2009) Para comprar o material que será utilizado na confecção de brinquedos, uma professora pediu que cada aluno trouxesse R$4,50. Sabendo que a professora recebeu, ao todo, R$162,00, quantos alunos entregaram o dinheiro para a professora? (A) 32 alunos. (B) 34 alunos. (C) 36 alunos. (D) 38 alunos. (E) 40 alunos. RESOLUÇÃO: Podemos montar a regra de três abaixo: Número de alunos Valor pago 1 aluno 4,50 reais X 162 reais Resposta: C 4,50X = 1 x 162 X = 36 alunos 9. CEPERJ RIO PREVIDÊNCIA 2010) A soma dos algarimos de a) 88 b) é: Prof. Arthur Lima 46

47 c) 91 d) 95 e) 97 RESOLUÇÃO: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Lembrando da propriedade de potências de base 10, sabemos que número formado pelo algarismo 1 seguido de 10 algarismos zero, isto é: Assim, é fácil efetuar a subtração: = = Somando os algarismos de temos: RESPOSTA: A = = é o 10. CETRO Pref. Mairinque 2009) Ao comprar uma geladeira à vista, Silvia economizou R$253,00. Sabendo que ela pagou R$1.782,00 pelo produto, é correto afirmar que o preço da geladeira, sem desconto, é (A) R$1.945,00. (B) R$2.035,00. (C) R$2.115,00. (D) R$2.185,00. (E) R$2.225,00. RESOLUÇÃO: O valor pago por Silvia é obtido subtraindo, do valor original da geladeira, o valor do desconto por comprar a vista. Isto é, Valor pago = Valor original Desconto 1782 = Valor original 253 Valor original = = 2035 reais Resposta: B 11. CETRO Pref. Mairinque 2009) Uma papelaria comprou 4 caixas de canetas com 50 unidades cada. Sabe-se que cada caixa custou R$19,50 e que a papelaria Prof. Arthur Lima 47

48 pretende vender cada caneta a R$0,60. Com a venda de todas as canetas, a loja terá um lucro total de (A) R$10,50. (B) R$26,30. (C) R$32,10. (D) R$38,90. (E) R$42,00. RESOLUÇÃO: Veja que foram compradas 4 x 50 = 200 canetas. Se vamos vender cada uma por R$0,60, isto significa que devemos receber, ao todo: Recebimento = 200 x 0,60 = 120 reais Por outro lado, se uma caixa custou 19,50 reais, então 4 caixas tiveram um custo total de: Custo = 4 x 19,50 = 78 reais Resposta: E O lucro é a diferença entre o total recebido e custo respectivo, ou seja: Lucro = Recebimento Custo = = 42 reais 12. CEPERJ SEEDUC 2009) Simplificando a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 21 2 RESOLUÇÃO: , encontra-se: Sabemos que = +. Portanto, basta aplicar as propriedades das potências que vimos: Prof. Arthur Lima 48

49 Resposta: C. RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA = = = = FCC TRT/4ª 2011) Considere que Asdrúbal tem um automóvel que, em média, percorre 14 quilômetros de estrada com 1 litro de gasolina. Certo dia, após ter percorrido 245 quilômetros de uma rodovia, Asdrúbal observou que o ponteiro do marcador da gasolina, que anteriormente indicava a ocupação de 5 da capacidade 8 do tanque, passara a indicar uma ocupação de 1. Nessas condições, é correto 3 afirmar que a capacidade do tanque de gasolina desse automóvel, em litros, é: a) 50 b) 52 c) 55 d) 60 e) 65 RESOLUÇÃO: Chamemos de C a capacidade do tanque. O ponteiro estava na posição 5 8 de C, ou seja, 5 8 C. Em outras palavras, o tanque possuía a quantidade de combustível equivalente a 5 8 C. Ao final do percurso, o ponteiro indicava a posição 1 3 de C ( 1 3 C ), indicando uma quantidade de combustível de 1 3 C. Portanto, o gasto de combustível é a subtração da quantidade inicial menos a quantidade final: Prof. Arthur Lima 49

50 5 1 (15 8) 7 Gasto = C C = C = C Por outro lado, sabemos que o carro percorre 14km com 1 litro, e que percorreu 245km. Podemos descobrir o total de combustível gasto com uma regra de três simples: 14km 245km 1 litro Gasto Como Gasto = 17,5 e, também, 14 Gasto = Gasto = 17,5 7 Gasto = C, então: ,5 = C C = 17,5 = 60 7 Logo, a capacidade total do tanque é de 60 litros. Resposta: D. 14. CETRO Pref. Mairinque 2009) Uma empresa de brinquedos produz 184 bolas por semana. Com a aquisição de uma nova máquina, a produção vai triplicar. Quantas bolas a mais serão produzidas por semana? (A) 368 bolas. (B) 415 bolas. (C) 486 bolas. (D) 504 bolas. (E) 537 bolas. RESOLUÇÃO: Se a produção vai triplicar, o total produzido por semana passará a ser de 3 x 184 = 552 bolas. Como já são produzidas 184 por semana, então o número de bolas produzidos a mais será: = 368 bolas Resposta: A Prof. Arthur Lima 50

51 15. CETRO Pref. Mairinque 2009) Uma fábrica produz quatro produtos: parafusos, pregos, porcas e arruelas. Sabe-se que 35% dos produtos produzidos pela fábrica são parafusos e que 4% dos parafusos são defeituosos. A probabilidade de se selecionar, ao acaso, um parafuso defeituoso é de (A) 1,5%. (B) 1,4%. (C) 1,3%. (D) 1,2%. (E) 1,1%. RESOLUÇÃO: Imagine uma quantidade de 100 produtos fabricados. Destes, 35%, ou seja, 35 unidades, são parafusos. E, destes 35 parafusos, 4% são defeituosos. Isto é, o número de parafusos defeituosos é: Parafusos defeituosos = 4% x 35 = 0,04 x 35 = 1,4 Isto é, a cada 100 produtos fabricados, 1,4 são parafusos defeituosos. Isto é, há uma chance de 1,4% de selecionarmos um parafuso defeituoso. Resposta: B 16. CETRO Pref. Mairinque 2009) Três técnicos receberam, ao todo, por um serviço R$3.540,00. Um deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que a divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o técnico que trabalhou mais dias recebeu (A) R$590,00. (B) R$680,00. (C) R$1.180,00. (D) R$1.770,00. (E) R$2.420,00. RESOLUÇÃO: Veja que, ao todo, temos = 12 dias de trabalho, correspondentes a uma remuneração total de 3540 reais. Vejamos qual é a remuneração proporcional a 6 dias (técnico que trabalhou mais tempo): Prof. Arthur Lima 51

52 Dias trabalhados RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Remuneração 12 dias 3540 reais 6 dias X Resposta: D 12X = 6 x 3540 X = 1770 reais 17. CETRO Pref. Mairinque 2009) Um comércio de roupas pretende introduzir três novos modelos de vestidos no mercado. Para isso, utilizará dois tipos de acessórios (M e N), conforme indicado na Tabela I. Veja a quantidade de acessórios a ser colocada em cada modelo de vestido (A, B e C). A Tabela II especifica a produção estimada para os três modelos durante três meses de teste de aceitação dos produtos pelas consumidoras: A quantidade de acessórios M utilizada na produção de janeiro e a quantidade de acessórios N utilizada em fevereiro é, respectivamente, Prof. Arthur Lima 52

53 (A) e (B) e (C) e (D) e (E) e RESOLUÇÃO: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Em janeiro foram produzidos 1000 modelos A (tabela II). Como são necessárias 10 unidades do acessório M para produzir cada modelo A (tabela I), ao todo foram gastos 10 x 1000 = unidades de M na produção do modelo A. Analogamente, foram produzidos 2000 modelos B, gastando 15 unidades do acessório M em cada exemplar, totalizando 2000 x 15 = unidades de M. Também foram produzidos 1600 modelos C, gastando 5 unidades do acessório M em cada um, totalizando 1600 x 5 = 8000 unidades de M. Ao todo foram utilizadas = unidades do acessório M em janeiro. Já podemos marcar a alternativa A, pois é a única que indica para M. Resposta: A 18. CETRO Pref. Mairinque 2009) Para saber o número do calçado de uma pessoa, utiliza-se a fórmula, em que C é o número do calçado e p é o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é (A) 24,1cm. (B) 23,6cm. (C) 23,2cm. (D) 22,4cm. (E) 21,3cm. RESOLUÇÃO: Sendo C = 36, temos: 36 = (5p + 28) / 4 36 x 4 = 5p = 5p Prof. Arthur Lima 53

54 5p = 116 p = 116 / 5 = 23,2cm Resposta: C 19. CETRO CRM/PB 2010) Carlos aplicou R$1.680,00 em uma poupança e R$1.120,00 em outra, ambas durante o mesmo período de tempo, no mesmo banco. Se, no final desse período, as duas juntas renderam R$980,00, então, a aplicação de menor valor rendeu (A) R$392,00. (B) R$394,00. (C) R$420,00. (D) R$468,00. (E) R$486,00. RESOLUÇÃO: Ao todo foi aplicado = 2800 reais, rendendo 980 reais em juros. Podemos fazer uma regra de três simples para saber quanto deste rendimento corresponde à menor aplicação: Aplicação Rendimento 2800 reais 980 reais 1120 reais X Resposta: A 2800X = 1120 x X = X = 392 reais 20. FCC TCE/SP 2012) O robô A percorre um segmento de reta com medida par, em metros, em 20 segundos cada metro; um segmento de reta com medida ímpar, em metros, é percorrido em 30 segundos cada metro. O robô B percorre em 20 segundos cada metro os segmentos de medida ímpar, em metros. Os segmentos de medida par, em metros, o robô B percorre em 30 segundos. Um percurso com segmentos de reta de 2 metros, 3 metros, 4 metros, 7 metros, 4 metros e 3 metros Prof. Arthur Lima 54

55 será percorrido pelo robô mais rápido, neste percurso, com uma vantagem, em segundos, igual a (A) 20. (B) 30. (C) 40. (D) 50. (E) 60. RESOLUÇÃO: Vamos utilizar regras de três para calcular o tempo gasto por cada robô para percorrer cada segmento. Vejamos: 1) Segmentos de medida par. Estes segmentos somam = 10 metros. Robô A: Robô B: Vejamos o tempo gasto por cada robô: 1 metro segundos 10 metros TempoA TempoA = 200 segundos 1 metro segundos 10 metros TempoB TempoB = 300 segundos 2) Segmentos de medida ímpar. Estes segmentos somam = 13 metros. Vejamos o tempo gasto por cada robô: Robô A: 1 metro segundos 13 metros TempoA TempoA = 390 segundos Prof. Arthur Lima 55

56 Robô B: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA 1 metro segundos 13 metros TempoB TempoB = 260 segundos Assim, o tempo total gasto pelo Robô A é de = 590 segundos, e pelo Robô B é de = 560 segundos. A diferença é de: = 30 segundos Resposta: B 21. FCC TRF/2ª 2012) Duas empresas X e Y têm, respectivamente, 60 e 90 funcionários. Sabe-se que, certo dia, em virtude de uma greve dos motoristas de ônibus, apenas 42 funcionários de X compareceram ao trabalho e que, em Y, a frequência dos funcionários ocorreu na mesma razão. Nessas condições, quantos funcionários de Y faltaram ao trabalho nesse dia? a) 36 b) 33 c) 30 d) 27 e) 20 RESOLUÇÃO: Se 42 funcionários de X compareceram, então 18 faltaram. Chamando de Z o número de funcionários que faltaram na empresa Y, podemos montar a seguinte proporção: Total de funcionários de X Número de faltantes em X Total de funcionários de Y Número de faltantes em Y Colocando os valores que o enunciado forneceu, temos: Prof. Arthur Lima 56

57 Z Resposta: D Logo, Z = 90 x 18 / 60 = 27. Isto é, 27 funcionários de Y faltaram ao trabalho. 22. CETRO PREF. CAMPINAS 2012) Dois números x e y diferem entre si em 36 unidades, x está para y, assim como está para O valor do menor número é (A) 112. (B) 114. (C) 149. (D) 150. RESOLUÇÃO: O enunciado diz: - Dois números x e y diferem entre si em 36 unidades. Ou seja, x y = 36 - x está para y, assim como está para Ou seja, x/1650 = y /1254 Vamos melhorar esta segunda equação: x/1650 = y / (x/1650) = y y = 0,76x Substituindo y por 0,76x na primeira equação, temos: x y = 36 x 0,76x = 36 0,24x = 36 x = 36 / 0,24 = 150 Portanto, y = 0,76x = 0,76 (150) = 114. Este é o menor número. Prof. Arthur Lima 57

58 Resposta: B RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA 23. CETRO PREF. CAMPINAS 2012) Numa cidade, 32% da população é constituída por adultos do sexo masculino e 44% por adultos do sexo feminino. Sabendo que há crianças nesta cidade, é possível afirmar que a população total da cidade é de (A) 22,8 mil habitantes. (B) 28 mil habitantes. (C) 30 mil habitantes. (D) 37,2 mil habitantes. RESOLUÇÃO: O total da população corresponde a 100%. Se 32% são homens adultos e 44% são mulheres adultas, as crianças correspondem a: Crianças = 100% - 44% - 32% = 24% Se as 7200 crianças correspondem a 24% da população, então a população inteira (100%) pode ser obtida assim: % Total % Resposta: C Total x 0,24 = 7200 x 1 Total = 7200 / 0,24 = pessoas 24. FGV CAERN 2010) Analise as afirmativas a seguir: I 6 é maior do que 5 2 II 0, é um número racional III Todo número inteiro tem um antecessor Assinale: a) Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas b) Se somente a afirmativa II estiver correta c) Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas d) Se somente a afirmativa I estiver correta e) Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas Prof. Arthur Lima 58

59 RESOLUÇÃO: Vamos comentar cada alternativa: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA I 6 é maior do que Vamos assumir que essa afirmativa é verdadeira e testá-la. Se 6 >, 2 então, elevando os dois lados ao quadrado: ( 6 ) > > > > 25 Veja que 24 > 25 é um absurdo. Portanto, só se pode concluir uma coisa: 5 6 <, ou seja, a alternativa I é falsa. 2 2 II 0, é um número racional 0, ou 0,5 é uma dízima periódica. Como vimos no tópico 1.3 desta aula, as dízimas periódicas também são números racionais, pois podem ser escritos na forma A, onde A e B são números inteiros. Por mera curiosidade, deixo abaixo a B maneira de chegar na fração que é equivalente à dízima periódica 0, Chamemos de A B essa fração. Então, podemos dizer que: A 1 A = 0, , = 0,5 B 10 B 10A 1A = 0,5 10B 9A = 0,5 10B A = 0,5 = B 9 9 Prof. Arthur Lima 59

60 Ou seja, 50 = 0,555..., o que faz dessa dízima um número racional. Essa 9 alternativa está correta. III Todo número inteiro tem um antecessor De fato, todo número inteiro tem um antecessor, inclusive o zero, cujo antecessor é o -1. Assim, essa alternativa também está correta. Resposta: E. Observe as informações abaixo para responder às duas questões seguintes. As informações abaixo mostram os resultados dos testes realizados com dois modelos de carros 1.0, 16 válvulas. 25. CETRO PREF. CAMPINAS 2012) Leia o trecho abaixo e, em seguida, assinale a alternativa que preenche correta e respectivamente as lacunas. Prof. Arthur Lima 60

61 No tanque de combustível do carro Z cabem litros do que no tanque do carro X. (A) 5/ a mais (B) 10/ a menos (C) 5/ a menos (D) 10/ a mais RESOLUÇÃO: O carro Z percorre 13,9km com 1 litro de combustível. Como a capacidade total dele é de 695km, vejamos quantos litros ele precisa suportar: 13,9km 695km 1 litro Z Z x 13,9 = 695 x 1 Z = 50 litros O carro X percorre 13,4km com 1 litro de combustível. Como a capacidade total dele é de 603km, vejamos quantos litros ele precisa suportar: 13,4km 1 litro 603km X X x 13,4 = 603 x 1 X = 45 litros Portanto: No tanque de combustível do carro Z cabem 5 litros a mais do que no tanque do carro X. Resposta: A 26. CETRO PREF. CAMPINAS 2012) Assinale a alternativa que apresenta o carro mais rápido para acelerar de 0 a 100km/h e a diferença em segundos. (A) Carro X/ 1,4 segundos. (B) Carro Z/ 1,4 segundos. (C) Carro X/ 1,6 segundos. (D) Carro Z/ 1,6 segundos. Prof. Arthur Lima 61

62 RESOLUÇÃO: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA O gráfico nos mostra que o carro Z acelera de 0 a 100km/h em 16,1 segundos, enquanto o carro X precisa de 17,5 segundos. segundos. Resposta: B Portanto, Z é mais rápido. A diferença de tempo é 17,5 16,1 = 1,4 27. CEPERJ PREFEITURA DE BELFORD ROXO 2011) Os números x e y são tais que 10 x 30 e 40 y 60. O maior valor possível da expressão x y é: a) 1 2 b) 3 4 c) 1 4 d) 2 3 e) 1 6 RESOLUÇÃO: O maior valor possível para x y é obtido quando o numerador (x) é o maior valor possível e o denominador (y) é o menor valor possível. Como 10 x 30, o maior valor possível de x é 30. E, sendo 40 y 60, o menor valor possível para y é 40. Logo, temos: Resposta: B. x 30 3 y = 40 = 4 Observe as informações abaixo para responder às três questões seguintes. Uma família fez uma viagem de carro de Campinas (SP) a Taguatinga (DF), seguindo o roteiro mostrado na figura. Prof. Arthur Lima 62

63 Em relação à viagem, considere as seguintes circunstâncias. I. A família saiu às 5h da manhã de Campinas com o tanque cheio de combustível. II. O carro utilizado possuía um tanque de combustível com capacidade para 48 litros e, em média, o rendimento do carro foi de 15 quilômetros por litro. III. As três paradas realizadas para alimentação foram feitas nas cidades indicadas com um (*) e cada uma teve duração de 40 minutos. IV. Eles chegaram à Santa Rita do Passa Quatro às 7 horas. A família gastou 4,5 horas para percorrer a segunda etapa da viagem, 2,5 horas para percorrer a terceira etapa e 3 horas para percorrer a última etapa. 28. CETRO PREF. CAMPINAS 2012) A distância de Campinas a Taguatinga é de, aproximadamente, (A) 806km. (B) 896km. (C) 906km. (D) 996km. RESOLUÇÃO: Para obter essa distância basta somarmos os trechos entre as cidades, conforme assinalado no desenho: Distância total = = 906km Resposta: C 29. CETRO PREF. CAMPINAS 2012) Sabendo que eles completaram o tanque de combustível em Uberlândia e que o preço do combustível era de R$2,49, assinale a alternativa que apresenta o valor aproximado que foi pago ao posto. (A) R$75,00. Prof. Arthur Lima 63

64 (B) R$79,00. (C) R$80,00. (D) R$83,00. RESOLUÇÃO: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Repare que do início da viagem até Uberlândia foram percorridos 500km. Vejamos quantos litros foram gastos, lembrando que o carro gasta 1 litro para percorrer 15km: Distância 15km 500km Combustível 1 litro X 15X = 500 x 1 X = 33,33 litros Portanto, já haviam sido gastos 33,33 litros até ali. Para completar o tanque, ao preço de R$2,49 por litro, são gastos: Resposta: D Reabastecimento = 33,33 x 2,49 = 82,99 reais 30. CETRO PREF. CAMPINAS 2012) A família chegou em Taguatinga às (A) 14 horas. (B) 17 horas. (C) 19 horas. (D) 22 horas. RESOLUÇÃO: Às 7 horas a família estava em Santa Rita do Passa Quatro. Após isso a família percorreu um trecho de 4,5 horas, outro de 2,5 horas e o último de 3 horas. Isto é, após Santa Rita foram gastas 4,5 + 2,5 + 3 = 10 horas. Além disso, devemos somar os tempos das 3 paradas, cada uma de 40 minutos, totalizando 3 x 40 = 120 minutos = 2 horas. Isto é, foram gastas 12 horas a partir da chegada em Santa Rita do Passa Quatro. Assim, a família chegou em Taguatinga às 19 horas (7 + 12). Resposta: C Prof. Arthur Lima 64

65 31. FCC TRT/24ª 2011) Nicanor deveria efetuar a divisão de um número inteiro e positivo N, de três algarismos, por 63; entretanto, ao copiar N, ele enganou-se, invertendo as posições dos dígitos extremos e mantendo o seu dígito central. Assim, ao efetuar a divisão do número obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24. Nessas condições, se q e r são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de N por 63, então: a) q + r = 50. b) r < 40. c) q < 9. d) r é múltiplo de 4. e) q é um quadrado perfeito. RESOLUÇÃO: Se um número N, dividido por D, deixa quociente q e resto r, podemos dizer que N = D*q + r. Ex: 7 dividido por 2 tem quociente 3 e resto 1. Logo, 7 = 2*3 + 1, concorda? Vamos chamar de M o número que foi utilizado por engano, isto é, o número N com os dígitos extremos trocados. Sabemos que M dividido por 63 tem quociente 14 e resto 24. Logo, M = 63* M = = 906 Se M = 906, N deve ser 609 (basta trocar os algarismos das extremidades). Dividindo N por 63, temos: Isto é, q = 9 e r = 42. Das respostas possíveis, vemos que apenas a letra E está correta, pois sabemos que 9 é um quadrado perfeito (isto é, a raiz quadrada de 9 é um número inteiro, neste caso 3). Resposta: E. 32. CETRO CONFEF 2012) Sobre o valor de assinale a alternativa correta: , , , Prof. Arthur Lima 65

66 RESOLUÇÃO: Vamos trabalhar esta expressão aritmética lembrando das regras básicas. Primeiro vamos resolver o que está dentro dos parênteses. E, dentro dos parênteses, vamos começar pelas multiplicações e divisões, para depois partir para as adições ou subtrações. Veja: , ,25 = ,75 + 1, 25 = ,75 + 1, 25 = ,75 + 1,25 = ,75 + 1, 25 = ,75 1,25 = ,75 1, 25 = = Prof. Arthur Lima 66

67 Resposta: A RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA = = = FCC TRT/9ª 2010) Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram de um curso sobre Controle e Prevenção de Doenças, foi usada a expressão: em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres, respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um número compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que: a) h+m = 158 b) h-m = 68 c) 70 < h < 100 d) 50 < m < 70 e) m.h < 4000 RESOLUÇÃO: Devemos começar simplificando a expressão dada. Acompanhe os passos abaixo: Prof. Arthur Lima 67

68 h m 1 = RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Como h m h m h m = 3 = 3 = = 3 = 3 = = 3 1 = 3 = = h 55 m = 21, podemos escrever que 55 h = m. E como o exercício diz que 21 o total de participantes está entre 100 e 200 pessoas, temos que: 100 < h + m < < m + m < < m < Veja que não é possível simplificar a fração 76/21. Assim, para que m seja um número inteiro, m deve ser um múltiplo de 21 (ex.: 21, 42, 63 etc.). Veja que se m = 21, então m = (abaixo de 100). Já se m = 2x21 = 42, então m = (que está entre 100 e 200). Observe que se m = 63, 76 m será maior que Portanto, m = 42 e h = = 110. Assim, h m = 68, sendo B a alternativa correta. Resposta: B. 34. CETRO CONFEF 2012) Uma pessoa comprou uma geladeira e realizou o pagamento da seguinte forma: 32% do valor como entrada, e o restante em 2 prestações de R$119,98, e mais 3 prestações de R$95,00. Assim, assinale a alternativa que apresenta o preço correto da mercadoria. Prof. Arthur Lima 68

69 (A) R$524,96. (B) R$648,00. (C) R$772,00. (D) R$816,46. (E) R$914,98. RESOLUÇÃO: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Se 32% foram pagos na entrada, ficou faltando pagar 68% da geladeira. Estes 68% correspondem ao valor pago posteriormente: 2 parcelas de 119,98 e 3 de 95: 2 x 119, x 95 = 524,96 reais Assim, podemos montar uma regra de três simples, lembrando que 100% correspondem ao valor total da geladeira: 68% ,96reais 100% X X = 772 reais Resposta: C 35. CEPERJ PREF. SÃO GONÇALO 2011) Antônio recebeu seu salário. As contas pagas consumiram a terça parte do que recebeu, e a quinta parte do restante foi gasta no supermercado. Se a quantia que sobrou foi de R$440,00, o valor recebido por Antonio foi de: a) R$780,00 b) R$795,00 c) R$810,00 d) R$825,00 e) R$840,00 RESOLUÇÃO: S Seja S o salário recebido por Antonio. Se ele gastou a terça parte (isto é, ) 3 S 2 com as contas, sobraram S = S. Desse valor restante, a quinta parte (ou seja, S ), foi gasta no supermercado. Como sobraram 440 reais, podemos dizer que: Prof. Arthur Lima 69

70 2 1 2 S S = Vamos resolver a equação de primeiro grau acima, com a variável S: Resposta: D S S = S S = S = S = S = FGV CODESP/SP 2010) Três amigos foram a um restaurante, e a conta, já incluídos os 10% de gorgeta, foi de R$105,60. Se eles resolveram não pagar os 10% de gorjeta pois acharam que foram mal atendidos e dividiram o pagamento igualmente pelos três, cada um deles pagou a quantia de: a) R$31,68 b) R$30,60 c) R$32,00 d) R$35,20 e) R$33,00 RESOLUÇÃO: Seja C o valor da conta sem os 10% de gorjeta. Incluindo a gorjeta, o valor da conta passa a ser C + 10%C, e sabemos que totaliza R$105,60. Portanto: C + 10%C = 105,60 C + 0,1C = 105,60 1,1C = 105,60 C = 105,60 / 1,1 = 96 Portanto, a conta, sem os 10%, é de R$96. Dividindo para três pessoas, temos R$32 por pessoa. Letra C. Resposta: C Prof. Arthur Lima 70

71 37. FGV CAERN 2010) Em um cofrinho há R$6,00 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. A quantidade de moedas de 10 centavos é um múltiplo de 7. Quantas moedas de 10 centavos há a mais do que moedas de 25 centavos? a) 32 b) 25 c) 18 d) 11 e) 4 RESOLUÇÃO: Como o número de moedas de 10 centavos é múltiplo de 7, vamos dizer que temos 7N moedas de 10 centavos, e M moedas de 25 centavos. Ao todo, sabemos que temos 6 reais, isto é: 6 = 7N x 0,10 + M x 0,25 6 = 0,7N + 0,25M Não temos mais informações, mas sabemos que N e M devem ser números naturais (afinal não há número negativo de moedas, ou fracionário). Para simplificar as contas, podemos multiplicar ambos os lados da equação acima por 4 (pois 0,25 x 4 = 1). Veja: 4 6 = 4 0,7N + 4 0,25M 24 = 2,8N + M M = 24 2,8N Podemos, agora, ir testando valores para N (1, 2, 3, 4, 5 etc.) até obter um número natural para M. Se N = 1, temos: M = 24 2,8 x 1 = 21,2 Veja que N não pode ser 1, pois com isso M seria um número fracionário. Testando outros valores de N, veja o que acontece quando N = 5: M = 24 2,8 x 5 = = 10 Prof. Arthur Lima 71

72 Portanto, N = 5 e M = 10. Isto é, temos 10 moedas de 25 centavos e 7N, isto é, 35 moedas de 10 centavos. Veja que isso totaliza 6 reais: 10 x 0, x 0,10 = 2,5 + 3,5 = 6 Assim, a diferença entre o número de moedas de 10 e de 25 centavos é de = 25 (letra B). Resposta: B 38. CETRO PREF. CAMPINAS 2012) Certa empresa daria um aumento de 4% a seus funcionários, mas devido à intervenção do sindicato, os funcionários conseguiram mais 140% de aumento sobre o percentual original de 4%. Portanto, o percentual de reajuste conseguido foi de (A) 5,4%. (B) 6,2%. (C) 9,6%. (D) 12,8%. RESOLUÇÃO: Ao final da negociação foi acordado um aumento de 4% e mais 140% daqueles 4%, isto é: Resposta: C 4% + 140% x 4% = 0,04 + 1,4 x 0,04 = 0,096 = 9,6% 39. FGV CODEBA 2010) Olegário faz a barba de 3 em e dias. Hoje é domingo e Olegário está fazendo a sua barba. Ele voltará a se barbear num dia de domingo daqui a quantos dias? (A) 21. (B) 18. (C) 12. (D) 14. Prof. Arthur Lima 72

73 (E) 15. RESOLUÇÃO: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Olegário faz sua barba de 3 em 3 dias. Portanto, ele fará sua barba nos seguintes dias, contados a partir de hoje: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Sabemos que a cada 7 dias temos um domingo. Portanto, contando a partir de hoje, temos domingo nos seguintes dias: 7, 14, 21, 28 etc. O próximo dia que Olegário fará a barba deve ser um múltiplo de 3. E para que seja um domingo, esse dia também deve ser múltiplo de 7. Portanto, deve ser um múltiplo comum entre 3 e 7. O primeiro múltiplo comum entre esses dois números é justamente o mínimo múltiplo comum entre 3 e 7. Como 3 e 7 já são números primos, não é possível decompô-los em fatores primos. Basta, portanto, multiplicá-los para obter o MMC. Isto é, MMC (3,7) = 21. Resposta: A Portanto, daqui a 21 dias Olegário fará a barba novamente em um domingo. 40. FGV MEC 2008) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total de pessoas na sala, as crianças correspondem a: (A) 12,5% (B) 17,5% (C) 20% (D) 22,5% (E) 25% RESOLUÇÃO: Chamemos de H, M e C o número de homens, mulheres e crianças, respectivamente. Se saírem todos os homens da sala, sobram M + C pessoas. Desta quantidade, M representa 80%. Isto é: M = 80% x (M + C) M = 0,8M + 0,8C 0,2M = 0,8C M = 4C Prof. Arthur Lima 73

74 Se saírem todas as mulheres da sala, sobram H + C pessoas. Desta quantidade, H representa 75%, ou seja: H = 75% x (H + C) 0,25H = 0,75C H = 3C Portanto, o total de pessoas na sala é de: H + M + C = 3C + 4C + C = 8C Veja que 8C corresponde ao total, isto é, 100% das pessoas na sala. Assim, podemos montar a proporção abaixo para descobrir o percentual X que as crianças (C) representam: 8C % C X Efetuando a multiplicação cruzada (nas diagonais), temos: 8C x X = C x 100% 8X = 1 X = 1/8 = 0,125 = 12,5% Assim, as crianças representam 12,5% do total de pessoas que estavam inicialmente na sala. Resposta: A 41. FGV SEFAZ/RJ 2011) Um indivíduo apresenta um valor X na sua conta corrente, que não rende juros nem paga taxas. Desse valor, ele retira em um dia 20%. Do valor resultante, ele retira 30%. O valor restante, como percentual do valor original X, é (A) 45 %. Prof. Arthur Lima 74

75 (B) 46 %. (C) 50 %. (D) 54 %. (E) 56 %. RESOLUÇÃO: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Se retirarmos 20% de X, o saldo restante é X menos 20% de X: Saldo1 = X 20%X = 0,8X Se, após isso, retiramos 30% deste Saldo1 (que é o valor resultante da primeira retirada), sobra: Saldo2 = Saldo1 30%Saldo1 Saldo2 = 0,8X 30% x (0,8X) Saldo2 = 0,8X 0,3x0,8X Saldo2 = 0,8X 0,24X = 0,56X Resposta: E Isto é, o valor restante é 0,56X, ou 56% de X (que era o valor original). 42. FGV PREF. CAMPINAS 2008) Pedro pensou em um número natural N e fez as seguintes operações sucessivas: somou 5, dividiu o resultado por 2, subtraiu 7, dividiu o resultado por 3, somou 9 e, finalmente, dividiu por 4. Se o resultado final dessas operações foi 10, a soma dos algarismos do número N é: (A) 13. (B) 14. (C) 15. (D) 16. (E) 17. RESOLUÇÃO: Vamos seguir os passos que Pedro executou com o número N: - somou 5: N dividiu o resultado por 2: Prof. Arthur Lima 75

76 - subtraiu 7: - dividiu o resultado por 3: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA N N N somou 9: - dividiu por 4: 1 N N o resultado final dessas operações foi 10: 1 1 N = 3 2 Resolvendo esta expressão algébrica, temos: 1 N = 1 N = N = N = 93 2 N + 5 = N + 5 = 200 N = 195 A soma dos algarismos de N é = 15. Resposta: C Prof. Arthur Lima 76

77 *************************** RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA Pessoal, por hoje, é só!! Vemo-nos na aula 02. Abraço, Arthur arthurlima@estrategiaconcursos.com.br Prof. Arthur Lima 77

78 3. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 1. CETRO Pref. Mairinque 2009) Todos os dias, Marcos corre 6km durante uma hora e meia. Se Marcos correr durante 2 horas, mantendo o mesmo ritmo, ele correrá (A) 7km. (B) 8km. (C) 9km. (D) 10km. (E) 11km. 2. CETRO Pref. Mairinque 2009) Carlinhos ganha, todos os meses, R$50,00 de mesada e pretende comprar um par de patins que custa R$150,00. Se ele guardar a metade da mesada por mês, comprará o par de patins em (A) 3 meses. (B) 4 meses. (C) 5 meses. (D) 6 meses. (E) 7 meses. 3. FCC TRT/4ª 2011) Dos números que aparecem nas alternativas, o que mais se aproxima do valor da expressão a) 0,0018 b) 0,015 c) 0,018 d) 0,15 e) 0, (0,619 0,599 ) 0,75 é: 4. CETRO Pref. Mairinque 2009) Observe a tabela de preços do estacionamento Helen s Park. Prof. Arthur Lima 78

79 Com base na tabela acima, é correto afirmar que não compensará pagar uma diária completa caso o carro fique no estacionamento por, no máximo, até (A) 3 horas. (B) 4 horas. (C) 5 horas. (D) 6 horas. (E) 7 horas. 5. CETRO Pref. Mairinque 2009) Antônio pediu emprestado R$500,00 para seu primo. No mês passado, ele pagou R$260,00 desta dívida e pretende pagar mais R$170,00 neste mês. Portanto, após efetuar o pagamento deste mês, Antônio ainda ficará devendo (A) R$70,00. (B) R$80,00. (C) R$90,00. (D) R$100,00. (E) R$110, FCC TRT/24ª 2011) Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu: O número de processos que arquivei é igual a 12, ,25 2. Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que: (A) X < 20. (B) 20 < X < 30. (C) 30 < X < 38. (D) 38 < X < 42. (E) X > CETRO Pref. Mairinque 2009) Para preparar um churrasco, João calcula que cada pessoa coma cerca de 300g de carne cujo quilo custa, em média, R$8,90. Se João convidar 14 amigos, ao comprar a carne, ele gastará, ao todo, (A) R$33,95. (B) R$34,83. Prof. Arthur Lima 79

80 (C) R$35,14. (D) R$36,76. (E) R$37,38. RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA 8. CETRO Pref. Mairinque 2009) Para comprar o material que será utilizado na confecção de brinquedos, uma professora pediu que cada aluno trouxesse R$4,50. Sabendo que a professora recebeu, ao todo, R$162,00, quantos alunos entregaram o dinheiro para a professora? (A) 32 alunos. (B) 34 alunos. (C) 36 alunos. (D) 38 alunos. (E) 40 alunos. 9. CEPERJ RIO PREVIDÊNCIA 2010) A soma dos algarimos de a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) é: 10. CETRO Pref. Mairinque 2009) Ao comprar uma geladeira à vista, Silvia economizou R$253,00. Sabendo que ela pagou R$1.782,00 pelo produto, é correto afirmar que o preço da geladeira, sem desconto, é (A) R$1.945,00. (B) R$2.035,00. (C) R$2.115,00. (D) R$2.185,00. (E) R$2.225, CETRO Pref. Mairinque 2009) Uma papelaria comprou 4 caixas de canetas com 50 unidades cada. Sabe-se que cada caixa custou R$19,50 e que a papelaria Prof. Arthur Lima 80

81 pretende vender cada caneta a R$0,60. Com a venda de todas as canetas, a loja terá um lucro total de (A) R$10,50. (B) R$26,30. (C) R$32,10. (D) R$38,90. (E) R$42, CEPERJ SEEDUC 2009) Simplificando a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) , encontra-se: 13. FCC TRT/4ª 2011) Considere que Asdrúbal tem um automóvel que, em média, percorre 14 quilômetros de estrada com 1 litro de gasolina. Certo dia, após ter percorrido 245 quilômetros de uma rodovia, Asdrúbal observou que o ponteiro do marcador da gasolina, que anteriormente indicava a ocupação de 5 da capacidade 8 do tanque, passara a indicar uma ocupação de 1. Nessas condições, é correto 3 afirmar que a capacidade do tanque de gasolina desse automóvel, em litros, é: a) 50 b) 52 c) 55 d) 60 e) 65 Prof. Arthur Lima 81

82 14. CETRO Pref. Mairinque 2009) Uma empresa de brinquedos produz 184 bolas por semana. Com a aquisição de uma nova máquina, a produção vai triplicar. Quantas bolas a mais serão produzidas por semana? (A) 368 bolas. (B) 415 bolas. (C) 486 bolas. (D) 504 bolas. (E) 537 bolas. 15. CETRO Pref. Mairinque 2009) Uma fábrica produz quatro produtos: parafusos, pregos, porcas e arruelas. Sabe-se que 35% dos produtos produzidos pela fábrica são parafusos e que 4% dos parafusos são defeituosos. A probabilidade de se selecionar, ao acaso, um parafuso defeituoso é de (A) 1,5%. (B) 1,4%. (C) 1,3%. (D) 1,2%. (E) 1,1%. 16. CETRO Pref. Mairinque 2009) Três técnicos receberam, ao todo, por um serviço R$3.540,00. Um deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que a divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o técnico que trabalhou mais dias recebeu (A) R$590,00. (B) R$680,00. (C) R$1.180,00. (D) R$1.770,00. (E) R$2.420, CETRO Pref. Mairinque 2009) Um comércio de roupas pretende introduzir três novos modelos de vestidos no mercado. Para isso, utilizará dois tipos de acessórios (M e N), conforme indicado na Tabela I. Veja a quantidade de acessórios a ser colocada em cada modelo de vestido (A, B e C). Prof. Arthur Lima 82

83 A Tabela II especifica a produção estimada para os três modelos durante três meses de teste de aceitação dos produtos pelas consumidoras: A quantidade de acessórios M utilizada na produção de janeiro e a quantidade de acessórios N utilizada em fevereiro é, respectivamente, (A) e (B) e (C) e (D) e (E) e CETRO Pref. Mairinque 2009) Para saber o número do calçado de uma pessoa, utiliza-se a fórmula, em que C é o número do calçado e p é o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é Prof. Arthur Lima 83

84 (A) 24,1cm. (B) 23,6cm. (C) 23,2cm. (D) 22,4cm. (E) 21,3cm. RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA 19. CETRO CRM/PB 2010) Carlos aplicou R$1.680,00 em uma poupança e R$1.120,00 em outra, ambas durante o mesmo período de tempo, no mesmo banco. Se, no final desse período, as duas juntas renderam R$980,00, então, a aplicação de menor valor rendeu (A) R$392,00. (B) R$394,00. (C) R$420,00. (D) R$468,00. (E) R$486, FCC TCE/SP 2012) O robô A percorre um segmento de reta com medida par, em metros, em 20 segundos cada metro; um segmento de reta com medida ímpar, em metros, é percorrido em 30 segundos cada metro. O robô B percorre em 20 segundos cada metro os segmentos de medida ímpar, em metros. Os segmentos de medida par, em metros, o robô B percorre em 30 segundos. Um percurso com segmentos de reta de 2 metros, 3 metros, 4 metros, 7 metros, 4 metros e 3 metros será percorrido pelo robô mais rápido, neste percurso, com uma vantagem, em segundos, igual a (A) 20. (B) 30. (C) 40. (D) 50. (E) FCC TRF/2ª 2012) Duas empresas X e Y têm, respectivamente, 60 e 90 funcionários. Sabe-se que, certo dia, em virtude de uma greve dos motoristas de Prof. Arthur Lima 84

85 ônibus, apenas 42 funcionários de X compareceram ao trabalho e que, em Y, a frequência dos funcionários ocorreu na mesma razão. Nessas condições, quantos funcionários de Y faltaram ao trabalho nesse dia? a) 36 b) 33 c) 30 d) 27 e) CETRO PREF. CAMPINAS 2012) Dois números x e y diferem entre si em 36 unidades, x está para y, assim como está para O valor do menor número é (A) 112. (B) 114. (C) 149. (D) CETRO PREF. CAMPINAS 2012) Numa cidade, 32% da população é constituída por adultos do sexo masculino e 44% por adultos do sexo feminino. Sabendo que há crianças nesta cidade, é possível afirmar que a população total da cidade é de (A) 22,8 mil habitantes. (B) 28 mil habitantes. (C) 30 mil habitantes. (D) 37,2 mil habitantes. 24. FGV CAERN 2010) Analise as afirmativas a seguir: I 6 é maior do que 5 2 II 0, é um número racional III Todo número inteiro tem um antecessor Assinale: Prof. Arthur Lima 85

86 a) Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas b) Se somente a afirmativa II estiver correta c) Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas d) Se somente a afirmativa I estiver correta e) Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas Observe as informações abaixo para responder às duas questões seguintes. As informações abaixo mostram os resultados dos testes realizados com dois modelos de carros 1.0, 16 válvulas. 25. CETRO PREF. CAMPINAS 2012) Leia o trecho abaixo e, em seguida, assinale a alternativa que preenche correta e respectivamente as lacunas. No tanque de combustível do carro Z cabem litros do que no tanque do carro X. (A) 5/ a mais Prof. Arthur Lima 86

87 (B) 10/ a menos (C) 5/ a menos (D) 10/ a mais RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO P/ ANVISA 26. CETRO PREF. CAMPINAS 2012) Assinale a alternativa que apresenta o carro mais rápido para acelerar de 0 a 100km/h e a diferença em segundos. (A) Carro X/ 1,4 segundos. (B) Carro Z/ 1,4 segundos. (C) Carro X/ 1,6 segundos. (D) Carro Z/ 1,6 segundos. 27. CEPERJ PREFEITURA DE BELFORD ROXO 2011) Os números x e y são tais que 10 x 30 e 40 y 60. O maior valor possível da expressão x y é: a) 1 2 b) 3 4 c) 1 4 d) 2 3 e) 1 6 Observe as informações abaixo para responder às três questões seguintes. Uma família fez uma viagem de carro de Campinas (SP) a Taguatinga (DF), seguindo o roteiro mostrado na figura. Prof. Arthur Lima 87

88 Em relação à viagem, considere as seguintes circunstâncias. I. A família saiu às 5h da manhã de Campinas com o tanque cheio de combustível. II. O carro utilizado possuía um tanque de combustível com capacidade para 48 litros e, em média, o rendimento do carro foi de 15 quilômetros por litro. III. As três paradas realizadas para alimentação foram feitas nas cidades indicadas com um (*) e cada uma teve duração de 40 minutos. IV. Eles chegaram à Santa Rita do Passa Quatro às 7 horas. A família gastou 4,5 horas para percorrer a segunda etapa da viagem, 2,5 horas para percorrer a terceira etapa e 3 horas para percorrer a última etapa. 28. CETRO PREF. CAMPINAS 2012) A distância de Campinas a Taguatinga é de, aproximadamente, (A) 806km. (B) 896km. (C) 906km. (D) 996km. 29. CETRO PREF. CAMPINAS 2012) Sabendo que eles completaram o tanque de combustível em Uberlândia e que o preço do combustível era de R$2,49, assinale a alternativa que apresenta o valor aproximado que foi pago ao posto. (A) R$75,00. (B) R$79,00. (C) R$80,00. (D) R$83, CETRO PREF. CAMPINAS 2012) A família chegou em Taguatinga às Prof. Arthur Lima 88