Apostila de Revisão dos Fundamentos Básicos da Álgebra. (versão 1: 12/03/2012)

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1 Apostila de Revisão dos Fundamentos Básicos da Álgebra (versão 1: 12/03/2012) 1. Operações com frações 1.1. Fração A representação de uma fração é dada dois valores separados por uma barra horizontal. O valor de cima é chamado de numerador, enquanto que o valor de baixo é chamado de denominador. A fração é uma forma de representar uma divisão, fornecendo na maioria das vezes uma visualização mais limpa e prática. Exemplo: Dois terços é representado por, onde 2 é o numerador e 3 é o denominador. Essa fração também pode ser dada na forma decimal com o valor de A fração também é uma forma de representar uma divisão. No exemplo acima, a fração é uma forma de representar a divisão Adição e Subtração Para a adição e subtração de frações é necessário que o denominador das frações envolvidas seja o mesmo, sendo somados (ou subtraídos) apenas os numeradores. Exemplo: + = = Quando os denominadores são diferentes, é necessário reescrever as frações de modo que os denominadores se tornem comuns. Pode-se aplicar o m.m.c. (mínimo múltiplo comum), ou de forma mais direta fazer a multiplicação entre os denominadores (aplicável quando os denominadores não têm valores definidos, ou seja, não são números), tomando o devido cuidado para manter o valor da fração. Assim, para tornar o denominador comum em todos os termos somados, sem alterar o valor destes, adota-se os seguintes passos:

2 1. Multiplica-se os denominadores. O resultado será o denominador comum de todas as frações. 2. Em cada uma das frações, divide-se o novo denominador pelo denominador antigo. 3. O resultado da divisão do passo 2 é multiplicado pelo valor antigo do numerador, para dar o novo valor do numerador. Exemplo: Fazer a soma +. Passo 1: Determinação do denominador comum: 3 x 2 = 6 Passo 2: Divisão do novo denominador pelo antigo de cada fração. 1ª fração: 6 3 = 2 2ª fração: 6 2 = 3 Passo 3: Determinação do numerador. O resultado da divisão do passo 2 pelo numerador antigo. Numerador da 1ª fração: 2 x 2 = 4 Numerador da 2ª fração: 3 x 1 = 3 Passo 4: Por fim, soma-se os numeradores = 7 Assim: (6 3) 2 + (6 2) 1 = = = O mesmo procedimento acima se aplica no caso de uma subtração ou para adição (ou subtração) de três ou mais termos. É importante lembrar que números inteiros possuem denominador igual a 1, ou seja, 7 = Multiplicação O produto de duas frações é uma fração que tem por numerador o produto de numeradores e que tem por denominador, o produto de denominadores. Exemplo: = = 6 20 = 3 10

3 Note que a fração foi simplificada, pois tanto o numerador quanto o denominador são divisíveis por Divisão A divisão de frações pode ser obtida pela multiplicação da primeira fração pela segunda fração invertida. Exemplo: Exercícios = = 4 6 = Calcule o valor das expressões: a) + b) + + c) + 2 d) + + e) f) + + g) 3 7 h) i) 2 2. Potenciação 2.1. Potenciação com expoente inteiro. Seja a um número real e n um número inteiro positivo, temos: a n = a a a a... a (n vezes). Exemplo: 5 4 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 a 0 = 1

4 Exemplo: 12 0 = 1 a 1 = a Exemplo: 2 1 = Potenciação com expoente negativo. Toda fração pode ser escrita na forma de potência: = a-n Exemplos: 2-1 = = = Potenciação com expoente não inteiro. Toda raiz pode ser escrita na forma de potência: = Exemplo: 5 = 5 = Exemplo:

5 5 = Propriedades da potenciação a n a m = a m+n Exemplo: = (2 x 2 x 2). (2 x 2 x 2 x 2) = 2 7 a n a m = a m-n Exemplo: = = = 2 2 (a m ) n = a m n Exemplo: (3 3 ) 2 = (3 x 3 x 3) 2 = (3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3) = 3 6 (a b) n = a n b n Exemplo: (2 x 5) 3 = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) = (2 x 2 x 2) x (5 x 5 x 5) = = =. Exercícios 1. Reescreva as expressões deixando-as apenas na forma de potência: a) b) 2 5 c)

6 d) 4 e) 8 2. Aplicando as propriedades das potências e frações, simplifique e resolva as expressões: a) b) c) ,19 4 0,8 0,5 1 2 d) e)

7 3. Cálculo Algébrico Nas seções anteriores, vimos como trabalhar com frações e potenciação (que pelos expoentes não inteiros também remete à radiciação). Nesta seção, veremos como trabalhar com as operações e suas propriedades para simplificar equações, isolar termos ou tratar algebricamente uma equação não-numérica. 3.1 Prioridades. Para trabalhar com as equações, é preciso primeiro entender quais são as operações prioritárias. Por exemplo, se temos a equação 3 x x 2, como devemos solucioná-la? Repare que se eu faço as equações na ordem em que estão escritas, ou seja, primeiro multiplico 3 por 4, pego o resultado e somo com 5 e depois multiplico o resultado por dois, o resultado final será diferente se eu primeiro multiplicar 3 por 4 e somar com o resultado da multiplicação de 5 por 2. No referido caso, as multiplicações têm prioridade sobre a adição, assim, o modo correto de se resolver a equação acima é fazendo primeiro as duas multiplicações (3 x 4 e 5 x 2) e depois somar os resultados. Além das operações, alguns sinais são utilizados para definir novos agrupamentos prioritários. Esses sinais são as chaves, os colchetes e os parênteses. No exemplo acima, se eu quisesse que a soma de 4 com 5 fosse prioritária, eu escreveria: 3 x (4 + 5) x 2. A tabela a seguir apresenta as prioridades: Prioridade dos Sinais Prioridade das Operações 1 ( ) 1 Exponenciação e Logaritmação 2 [ ] 2 Potenciação e Radiciação 3 { } 3 Multiplicação e Divisão 4 Adição e Subtração Exemplo: Resolver a seguinte equação:

8 Nessa equação, resolvemos primeiro os parênteses, depois os colchetes, e por fim as chaves. Dentro de cada sinal, as operações de maior prioridade devem ser feitas primeiro. Assim, primeiro eu resolvo a exponenciação dentro dos parênteses Em seguida, resolvo a multiplicação: E por fim, a soma (e já elimino os parênteses, pois é a última operação que resta): Agora passo para os colchetes, começando com a multiplicação: E depois faço a soma (e elimino os colchetes): Restando somente as chaves, eu primeiro resolvo a multiplicação (42 x 3 = 126) e depois somo o resultado com o cinco (resultando 131). 3.2 Manipulação algébrica. Em álgebra, o emprego de valores não numéricos, como letras e símbolos, é bastante comum. Entender a matemática apenas por meio de números é um vício que é preciso ser superado. Às vezes, a pessoa compreende todas as operações com números, mas quando se depara com letras fica completamente perdida. Trabalhar com valores simbólicos é de extrema importância e, principalmente em um curso superior, é inadmissível ter dificuldades com operações elementares simplesmente porque não existem números na equação. Para começar a manipular algebricamente uma grande variedade de equações, a primeira noção que deve ser compreendida é a de equivalência. O sinal de igual (=) significa exatamente isso, o lado esquerdo é equivalente ao lado direito. É preciso compreender que o sinal de igualdade não funciona apenas como uma atribuição de valor, mas também, e principalmente, como um sinal que relaciona expressões. Por exemplo: + = + 5

9 No exemplo acima, não existe nada de errado com a equação. Ela pode sim ser simplificada ou um dos termos isolados, mas o fato da igualdade não dizer explicitamente qual o valor da expressão, não implica que a equação esteja errada. Para manipular as equações é preciso saber as propriedades básicas das operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação). Além das propriedades básicas da potenciação, radiciação (lembrando que a radiciação é uma potência de número não-inteiro) e divisão (fração) vistas anteriormente, convém relembrar algumas propriedades da adição e multiplicação. Propriedades da adição: o Comutativa: a + b = b + a o Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) o Elemento neutro: a + 0 = a Propriedades da multiplicação: o Comutativa: a b = b a o Associativa: (a b) c = a (b c) o Distributiva: a (b + c) = a b + a c o Elemento neutro: a 1 = a Por mais óbvias que pareçam ser, há muitos erros relacionados ao desconhecimento dessas propriedades, principalmente quando não existem números envolvidos. O exemplo clássico é a distributiva em que ambos os termos envolvem adições. Por exemplo: + ( + ) Note que se eu chamar o primeiro parênteses de a (ou seja, d + e = a), a regra da distributiva se torna óbvia: + = + Retornando o parênteses anterior (ou seja, a = d + e), temos: + = + + ( + ) Aplicando novamente a distributiva temos finalmente o resultado: = Ou seja, a multiplicação é feita entre cada termo do primeiro parênteses com cada um dos dois termos do segundo parênteses. Essa afirmação é dedutível a partir da propriedade

10 distributiva, como vimos acima, mas nem sempre as pessoas se atentam a isso e passam, na base do chute, a inventar equacionamentos que não se aplicam. No caso da multiplicação existe a relação entre sinais positivo e negativo. A multiplicação de duas variáveis de sinais opostos tem como resultado uma variável de sinal negativo. A multiplicação de duas variáveis de mesmo sinal, tem como resultado um sinal positivo. A tabela a seguir resume as assertivas acima: Termo 1 Termo 2 Resultado Exemplo = (-3) = (-2) 3 = (-2) (-3) = 6 Agora que as principais propriedades da multiplicação foram explicadas, omitiremos o sinal da multiplicação x, denotando-o daqui por diante por um ponto, ou deixando-o implícito com a ausência de sinais entre termos (por exemplo, 2a ao invés de 2 a). Além das propriedades de cada operação, é preciso saber também as suas correspondentes inversas (por exemplo, a operação inversa da adição é a subtração). A compreensão das operações inversas é importante para passar termos de um lado para o outro da igualdade (tecnicamente, não é correto falar em passar para o outro lado, mas informalmente é bastante prático utilizar esse conceito). A tabela a seguir apresenta as operações e as suas inversas. Operação Adição Multiplicação Potenciação Operação inversa Subtração Divisão Radiciação É preciso ser feita uma observação especial no caso da divisão e da radiciação, pois ambas podem ser representadas também por frações. É sempre recomendável que se trabalhe com as frações ao invés das notações que utilizam os símbolos e. Por exemplo, prefira sempre usar ½ do que 1 2, e prefira sempre usar 2 1/2 do que usar 2. Por quê? Veja por exemplo a expressão, que também pode ser escrita como. Na segunda formulação, fica mais fácil aplicar as propriedades da potenciação e visualizar que: = = =

11 Enquanto que na formulação convencional da raiz, essa simplificação não é óbvia. Por fim, as prioridades explicadas na seção anterior também devem ser respeitadas sempre. Resumindo, para manipular algebricamente as equações sem dificuldades os requisitos necessários são: Entender o sinal de igual como equivalência e não atribuição de valor. Conhecer as propriedades básicas das principais operações. Conhecer a inversa de cada operação. Conhecer as prioridades e aplica-las corretamente. 3.3 Isolando termos Muitas vezes, ao trabalhar uma equação, busca-se isolar um termo, para poder fazer um gráfico, tratar a equação computacionalmente, obter uma representação mais fácil de interpretar ou, em seu caso mais conhecido, obter o valor de uma incógnita. Começaremos então a aplicar os conceitos da seção anterior para cumprir a tarefa de isolar um determinado termo Passando para o outro lado da igualdade Como dito anteriormente, passar para o outro lado da igualdade não é estritamente correto. Na realidade, o que se faz é aplicar a mesma operação nas duas expressões separadas pela igualdade. Por exemplo, no caso da expressão: + 5 = 2 Se eu quero isolar o termo c, então subtraímos nos dois lados da igualdade: = 2 5 E a equação se torna então: = 2 5

12 Depois de um tempo, a prática faz com que a pessoa pule o processo intermediário de aplicar a mesma operação nos dois lados da igualdade, e surge então o tal do passar para o outro lado. Fica então a dica para aqueles que ainda cometem erros (ou têm dúvidas na hora de manipular os termos) de executar o passo intermediário, para visualizar logicamente o que está sendo feito. Quando uma operação é passada para o outro lado da igualdade, utilizamos sempre o conceito de operação inversa. Assim, nos casos mais simples temos: + = = = = = = Quando há mais de uma operação envolvida, ou há parênteses, colchetes ou chaves, as prioridades devem ser respeitadas. No caso dos sinais (parênteses, colchetes e chaves) a passagem é feita de fora para dentro. Por exemplo: e = Primeiro eu resolvo a parte externa das chaves: = Eliminadas as chaves, eu resolvo a parte externa dos colchetes: = Com os colchetes eliminados, eu resolvo a parte externa dos parênteses: Por fim, isolo o y: = = 2 2 = 2 2 1

13 Note que para passar as operações de um lado para o outro, primeiro foram passadas as operações de prioridade menor. Assim é também com as operações, são passadas primeiro as de prioridade mais baixa. Por exemplo: Primeiro, eu passo a adição: depois a multiplicação: 2 + = 2 = = 2 note que o número dois está dividindo todo o termo que estava do outro lado da igualdade, não somente em c ou somente em a. E por fim, a potenciação: = 2 As frações requerem uma atenção especial, pois, às vezes, os parênteses são implícitos, ou seja, deveriam existir, mas para tornar a equação visualmente mais limpa, elas não são usadas. Por exemplo: = 3 A formulação acima pode causar alguma confusão se as regras de prioridade forem levadas ao pé da letra, pois as somas deveriam passar para o outro lado primeiro. Porém há um denominador comum que pode causar dúvidas. Há duas maneiras de interpretar a equação acima. A primeira, é desmembrar o denominador comum: = 3 Basta então seguir as prioridades das operações. A segunda maneira, é pensar que o numerador está entre parênteses. Essa maneira de pensar é mais fácil e rápida. (4 + + ) = 3 Em ambos os casos, o resultado final é o mesmo: = 3 4

14 A tarefa de isolar termos em seu formato mais simples, ou seja, com apenas um símbolo do lado esquerdo da igualdade (o x no exemplo acima), não é sempre possível. Por exemplo: = 15 Na equação acima, o x não pode ser isolado, pois não há propriedades na potenciação que torne possível a simplificação da soma de dois termos, ainda que iguais, elevados a expoentes diferentes Simplificação. Às vezes, mesmo que a incógnita esteja isolada, é necessário ainda trabalhar as equações para que o formato final fique mais simples e de fácil interpretação. Esse processo é chamado de simplificação. Existem várias formas de simplificar, e às vezes as regras são contextuais, ou seja, dependem da aplicação. A simplificação mais conhecida (e sempre recomendada) é a de frações. Se o numerador e o denominador são divisíveis por um mesmo número, então é possível tornar a fração mais simples,dividindo ambos por tal número. Exemplo: 4 8 = 1 2 No exemplo acima, tanto o numerador quanto o denominador são divisíveis por 4, então é possível dividir ambos por 4 para obter uma fração de mesmo valor, mas de escrita mais simples. Para valores muito elevados, onde o divisor comum não é óbvio, utiliza-se a técnica do m.d.c. (máximo divisor comum). Não entraremos nessa questão, já que ao trabalhar muito mais com símbolos do que com números, frações elevadas se tornam mais raras. Outra forma de simplificar uma equação é colocando um termo comum em evidência. Colocar em evidência é o processo reverso de aplicar a propriedade distributiva da multiplicação. Por exemplo: + = ( + ) No exemplo acima, diz-se que o a foi colocado em evidência. A forma do lado direito da igualdade é considerada mais simples porque o a é escrito apenas uma vez. Outras formas de simplificação envolvem os chamados produtos notáveis. A saber:

15 ( + ) = ( ) = = Os três produtos notáveis acima são facilmente deduzidas se a propriedade distributiva da multiplicação é bem compreendida. No entanto, sabe-las decor, ajuda a simplificar equações. Não há uma regra clara de qual forma é melhor, às vezes é preferível usar a forma da esquerda da igualdade, em outras a forma da direita. Consideremos dois exemplos: 1. Simplificar a equação: = ( + ) Nesse caso, se o numerador for escrito na forma de quadrado da soma a expressão como um todo se torna mais simples: 2. Simplificar a equação: = ( + ) ( + ) = 1 + = ( + ) 2 Nesse caso, abrir o produto notável facilita na simplificação da equação: = = + Fora essas três simplificações usuais (redução da fração, colocar em evidência e os produtos notáveis) existem muitas outras formas de simplificar equações. Normalmente, para uma melhor visualização e para facilitar a interpretação de equações, utiliza-se a regra básica de evitar ao máximo a repetição dos símbolos envolvidos na equação (no exemplo acima, tanto a quanto b apareciam duas vezes; após a simplificação restou um de cada). Isso requer apenas bom senso e um bom conhecimento das propriedades das operações fundamentais (principalmente da potenciação e de frações). Exercícios 1. Simplifique as expressões, reduzindo-as ao máximo:

16 a) 3(a 2 + a +1) + 2(a 2 + 2a 2) (a 2 + 3a 3) b) a(a + b c) + b(b + c a) + c(a b + c) c) (x 2) 2 + x 2 2(x 1) 2 d) (m 1) 2 (m 1).(m 1) e) 3 10 f) g) h) 2 i) j) k) + Respostas dos Exercícios Capítulo 1

17 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) Capítulo 2 1a) 2a -2 1b) 5a -1 1c) d) 2 1e) 2 2a) 2b) 2c) 2d) 5 2e) Capítulo 3

18 1a) 4a 2 + 4a + 2 1b) a 2 + b 2 + c 2 1c) 2 1d) -2m + 2 1e) 1f) x 4 1g) 1h) 1i) x + 5 1j) 1k)