Aula 1: Conjunto dos Números Inteiros

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1 Aula 1: Conjunto dos Números Inteiros 1 Introdução Observe que, no conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,..., a operação de subtração nem sempre é possível. a) 5 3 = 2 (é possível: 2 N) b) 9 9 = 0 (é possível: 0 N) c) 3 5 =? (é impossível em N) Para tornar possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros negativos. 2 Números Inteiros Positivos e Números Inteiros Negativos Para todo número natural n, diferente de zero, foi criado: Um número +n (lê-se: mais n) chamado número inteiro positivo. Exemplo: +1, +2, +3, +4, +5,... são números inteiros positivos. Um número n (lê-se: menos n) chamado número inteiro negativo. Exemplo: 1, 2, 3, 4, 5,... são números inteiros negativos. Reunindo os números inteiros negativos, o número zero e os números inteiros positivos obtém-se o conjunto dos números inteiros, que se representa pela letra Z e é escrito: Z = {... 5, 4, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,... 3 Subconjuntos de Z Sabemos que o conjunto dos números naturais N é subconjunto dos números inteiros Z. Existem outros subconjuntos importantes: Conjunto dos números inteiros diferentes de zero = Z {0 = Z = {..., 3, 2, 1, +1, +2, +3,... Conjunto dos números inteiros não negativos = Z + = {0, +1, +2, +3,... Conjunto dos números inteiros não positivos = Z = {0, 1, 2, 3,... Conjunto dos números inteiros positivos = Z + = {+1, +2, +3,... Conjunto dos números inteiros negativos = Z = { 1, 2, 3,... 1

2 4 A Reta Numérica Inteira Cada ponto é a imagem geométrica de um número inteiro. O número inteiro chama-se abscissa do ponto correspondente. O ponto O é chamdado de origem e sua abscissa é zero. A reta r é chamada reta numérica inteira. 5 Módulo ou Valor Absoluto de um Número Inteiro Um número inteiro, com exceção do zero, é formado de dois elementos: um sinal (+ ou ). um número natural. O número natural chama-se módulo ou valor absoluto do número inteiro. 1. O módulo do número inteiro +4 é 4. Indica-se: + 4 = 4 2. O módulo do número inteiro 6 é 6 Indica-se: 6 = 6 Observa-se que 0 = 0. 6 Números Inteiros Opostos ou Simétricos Observe os seguintes números inteiros: a) 5 e 5 possuem módulos iguais e sinais diferentes. b) 8 e 8 possuem módulos iguais e sinais diferentes. Dois números inteiros que possuem módulos iguais e sinais diferentes são chamados números inteiros opostos ou simétricos. Assim, o oposto de 3 é +3 e o oposto de 9 é 9. Observação: O oposto de zero é o próprio zero. 7 Comparação de Números Inteiros Considerando-se a reta numérica inteira, temos: Um número inteiro é: maior que todos os que estão à sua esquerda. menor que todos os que estão à sua direita. 2

3 a) +3 > 4 (+3 está à direita de 4). b) 3 < +1 ( 3 está à esquerda de +1). 8 Operações com Números Inteiros 8.1 Adição 1 o caso: As parcelas tem o mesmo sinal A soma de dois números positivos é um números positivos e a soma de dois números negativos é um número negativo. Com parênteses Simplificando a maneira de escrever (+13) + (+10) = = +23 (+11) + (+9) = = +20 ( 3) + ( 6) = = 9 ( 5) + ( 7) = = 12 Observação: Escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e eliminamos os parênteses das parcelas. Na adição de números inteiros com sinais iguais, conserva-se os sinais e soma-se os módulos. 2 o caso: As parcelas tem sinais diferentes A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos (módulos), dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto. Com parênteses Simplificando a maneira de escrever (+23) + ( 9) = = +14 (+20) + ( 12) = = +8 (+10) + ( 22) = = 12 (+7) + ( 25) = = 18 Observação: Escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e eliminamos os parênteses das parcelas. Na adição de números inteiros com sinais diferentes, subtrai-se os módulos, dando-se o sinal da parcela que tiver maior módulo. 3 o caso: As parcelas são números opostos Quando as parcelas são números opostos, a soma é igual a zero. Com parênteses Simplificando a maneira de escrever (+8) + ( 8) = = 0 ( 20) + (+20) = = 0 4 o caso: Uma das parcelas é zero Quando um dos números dados é zero, a soma é igual ao outro número. Com parênteses Simplificando a maneira de escrever (+8) + 0 = = +8 ( 12) + 0 = = 12 3

4 5 o caso: Soma de três ou mais números inteiros Calcula-se: a soma de todas as parcelas positivas; a soma de todas as parcelas negativas; a soma dos resultados obtidos conforme os casos anteriores. a) = 10 + ( 7 1) = = 2 {{ 8 b) = (+3 + 9) + ( 6 10) = = 4 {{{{ Propriedades Estruturais da Adição 1. Fechamento: a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro = +8 Z 4 2 = 6 Z +5 8 = 3 Z = 4 Z 2. Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma = = 2 Note que: (+6) + ( 8) = ( 8) + (+6) 3. Elemento neutro: o número zero é o elemento neutro da adição = = = = 2 4. Associativa: na adição de três números inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado. [(+3) + ( 1)] + (+4) = (+3) + [( 1) + (+4)] {{{{ Elemento simétrico: qualquer número inteiro admite um simétrico ou oposto. (+5) + ( 5) = 0 ( 3) + (+3) = Indicação Simplificada Podemos dispensar o sinal + da primeira parcela quando esta for positiva, bem como do resultado. a) (+7) + ( 5) = {{ 7 5 = {{ 2 sem sinal + sem sinal + b) ( 2) + (+8) = = 6 {{ sem sinal Subtração É uma operação inversa à da adição. a) (+8) (+4) = (+8) + ( 4) = +8 4 = 4 4

5 b) ( 6) (+9) = ( 6) + ( 9) = 6 9 = 15 c) (+5) ( 2) = (+5) + (+2) = = 7 Para subtrairmos dois números inteiros, basta que adicionemos ao primeiro o oposto do segundo. Observação: A subtração no conjunto Z goza apenas da propriedade do fechamento Eliminação de Parênteses Precedidos de Sinal Negativo Para facilitar o cálculo, eliminamos os parênteses usando o significado do oposto. a) (+8) = 8 (significa:o oposto de +8 é 8) b) ( 3) = 3 (significa:o oposto de 3 é +3) Mais exemplos: a) (+8) ( 3) = = 5 b) (+2) (+4) = 2 4 = 6 c) (+10) ( 3) (+3) = = 10 d) ( 10) ( 5) = = 5 e) (+6) ( 1) = = Adição Algébrica Podemos reprensentar de modo mais simples uma adição de números inteiros. Para isso: 1 o ) Eliminam-se o sinal de + da operação e os parênteses das parcelas. 2 o ) Escrevem-se as parcelas, uma em seguida à outra, cada qual com o próprio sinal. a) (+5) + ( 8) = +5 8 = 5 8 = 3 b) (+3) + ( 9) + (+10) = = = 3 + {{ 10 {{ 9 = c) ( 2) + (+3) (+8) ( 6) = = 2 {{ {{ + 6 = Cálculo da Adição Algébrica Observe os exemplos: a) = 8 b) 4 6 = 10 c) 12 9 = 3 d) = {{ {{ + 1 = e) = 6 {{ {{ 5 =

6 8.3.2 Regras para Eliminação de Parênteses Vale a pena LEMBRAR!!! 1 o caso Um parêntese precedido pelo sinal + pode ser eliminado, juntamente com o sinal + que o precede,escrevendo-se os números contidos no seu interior com o mesmo sinal. +(+6) = +6 +( 5) = 5 +(+2 3) = o caso Um parêntese precedido pelo sinal pode ser eliminado, juntamente com o sinal que o precede,escrevendo-se os números contidos no seu interior com os sinais trocados. (+6) = 6 ( 5) = +5 (+2 3) = Simplificação de Expressões Numéricas Para a eliminação de colchetes e chaves valem as regras do item anterior. A eliminação de um sinal de associação se faz a partir do mais interno. Exemplos Eliminando parênteses, colchetes e chaves, calcular as somas algébricas: a) 10 + ( 3 + 5) = = = = = = +12 b) 3 ( ) + 2 = = = = = = 5 c) 3 [ 4 + ( 1 + 6)] = = 3 [ ] = = = = +8 6 = = +2 d) 2 { 3 + [+5 ( 1 + 3)] + 2 = = 2 { 3 + [ ] + 2 = = 2 { = = = = +8 8 = = 0 6

7 8.4 Multiplicação Se os fatores têm o mesmo sinal, o produto é positivo. Exemplos a) (+3).(+8) = 24 b) ( 5).( 4) = 20 Se os fatores têm sinais diferentes, o produto é negativo. a) (+3).( 2) = 6 b) ( 5).(+4) = 20 c) ( 1).(+7) = 7 Quadro de sinais da multiplicação 1. o fator 2. o fator Produto (+) (+) + SINAIS IGUAIS: o resulado é positivo ( ) ( ) + SINAIS IGUAIS: o resulado é positivo (+) ( ) SINAIS DIFERENTES: o resulado é negativo ( ) (+) SINAIS DIFERENTES: o resulado é negativo Exemplos a) (+6).( 3) = 18 b) ( 9).(+5) = Multiplicação de Três ou Mais Números Inteiros Multiplicamos o primeiro pelo segundo. O produto obtido pelo terceiro e, assim, sucessivamente, até o último fator. a) ( 5).(+6).( 2) = ( 5).(+6) = ( 30).( 2) = +60 {{ 30 b) ( 3).( 4).( 5).( 6) = ( 3).( 4). ( 5).( 6) = = 360 {{{{ Propriedades Estruturais da Multiplicação 1. Fechamento: o produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro. (+2).(+6) = +12 Z (+2).( 6) = 12 Z ( 2).( 6) = +12 Z ( 2).(+6) = 12 Z 2. Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto. (+5).( 4) = 20 ( 4).(+5) = 20 = (+5).( 4) = ( 4).(+5) 7

8 3. Elemento Neutro: o número +1 é o elemento neutro da multiplicação. ( 10).(+1) = (+1).( 10) = 10 (+6).(+1) = (+1).(+6) = Associativa: na multiplicação de três números inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado. [( 2).(+6)].( 10) = 120 = ( 2) [(+6).( 10)] = 120 {{{{ Distributiva: para multiplicar um número inteiro por uma soma algébrica, podemos multiplicar o número por cada uma das parcelas e adicionar, a seguir, os resultados obtidos. (+5).( 3 + 6) = (+5).( 3) {{ 15 + (+5).(+6) = 15 {{ 30 9.( 3 + 7) = ( 9).( 3) + ( 9).(+7) = 36 {{{{ Divisão Se o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é positivo. Exemplos a) (+15) : (+3) = 5 b) ( 36) : ( 9) = 4 Se o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é negativo. Exemplos a) (+18) : ( 2) = 9 b) ( 30) : (+6) = 5 Quadro de sinais da divisão 1 o fator 2 o fator Quociente (+) (+) + ( ) ( ) + (+) ( ) ( ) (+) Observação: Não existe a divisão de um número inteiro por zero. A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. a) (+1) : (+3) b) ( 5) : (+2) Observação: Notem que estas operações não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro. 8

9 8.6 Potenciação 1 o caso: O expoente é par. Quando o expoente for par, a potência é sempre um número positivo. a) (+5) 2 = (+5).(+5) = 25 b) ( 5) 2 = ( 5).( 5) = 25 c) (+2) 4 = (+2).(+2).(+2).(+2) = 16 d) ( 2) 4 = ( 2).( 2).( 2).( 2) = 16 e) (+1) 6 = (+1).(+1).(+1).(+1).(+1).(+1) = 1 f) ( 1) 6 = ( 1).( 1).( 1).( 1).( 1).( 1) = 1 2. o caso: O expoente é ímpar Quando o expoente for ímpar, a potência é sempre o mesmo sinal da base. a) (+6) 3 = (+6).(+6).(+6) = 216 b) ( 6) 3 = ( 6).( 6).( 6) = 216 c) (+3) 5 = (+3).(+3).(+3).(+3).(+3) = 243 d) ( 3) 5 = ( 3).( 3).( 3).( 3).( 3) = 243 Convenções (+5) 1 = 5 ( 10) 1 = 10 (+5) 0 = 1 ( 10) 0 = Raiz Quadrada Exata Considere as seguintes situações: 1 a ) Quais os números inteiros cujos { quadrados são iguais a 16? (+4) Os números são 4 ou 4, pois 2 = 16 ( 4) 2 = 16 2 a ) Quais os números inteiros cujos { quadrados são iguais a 81? (+9) Os números são 9 ou 9, pois 2 = 81 ( 9) 2 = 81 Raiz quadrada exata de um número inteiro é também um número inteiro que, elevado ao quadrado, dá o número inicial Então, podemos dizer que: 9

10 A raiz quadrada de 16 é +4 ou 4. A raiz quadrada de 81 é +9 ou 9. Como em Matemática, uma operação (como a raiz quadrada) não pode apresentar dois resultados diferentes, fica definido que: A raiz quadrada de 16 é o número positivo +4. Indica-se: 16 = 4. A raiz quadrada de 81 é o número positivo +9. Indica-se: 81 = 9. É claro que existe o oposto do número 16, que é 16. Então: 16 = (+4) = A Não-Existência da Raiz Quadrada em Z Considere as seguintes situações: 1 a ) Qual o número inteiro que representa a raiz quadrada de 20? Note que 20 não é quadrado de nenhum número inteiro, pois 4 2 = 16 e 5 2 = 20. Como não há nenhum inteiro compreendido entre 4 e 5, pode-se concluir que não é possível obter a 20 no conjunto Z. 2 a ) Qual o número inteiro que elevado ao quadrado dá 25? Note que o quadrado de um número inteiro nunca é negativo ((+5) 2 = 25 e ( 5) 2 = 25). Portanto, os números negativos não podem representar quadrados de nenhum número inteiro. Isso significa que os números inteiros negativos não tem raiz quadrada em Z, ou seja, 25 não existe no conjunto Z. omo não há nenhum inteiro compreendido entre 4 e 5, pode-se concluir que não é possível obter a 20 no conjunto Z. 9 Expressões numéricas As expressões numéricas devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações: 1 o ) Potenciação e radiciação; 2 o ) Multiplicação e divisão; 3 o ) Adição e subtração. Nessas operações são realizados: 1 o ) parênteses ( ); 2 o ) colchetes [ ]; 3 o ) chaves {. Calcular o valor das expressões numéricas: 10

11 a) ( 5) 2.( 2) + (+6) 2 = = (+25).( 2) + (+36) = = ( 50) + (+36) = = = = 14 b) ( 5) 2 + {{{{ 9 [(+20) ( 4) +3] = {{ = [ 5 + 3] = = [ 2] = = = = 30 Agora que você já leu todo esse material, tente resolver o Questionário: Números Inteiros online na Plataforma Moodle. É uma espécie de Quiz, mas com as questões relativas a esse conteúdo. Para responder a esse questionário, você deve seguir os seguintes passos: 1. Clicar no ícone "Tentar responder o questionário agora"e confirmar. 2. A cada questão, você responde os itens pedidos e "Verifica", Se estiver todo correto, passe para a próxima questão; Senão, refaça os cálculos e "Verificar"novamente; A cada verificação onde tiver itens incorretos haverá uma penalidade de 0,2 pontos. 3. Faça isso com todas as questões do questionário. 4. No final do questionário, clique no ícone "Próximo". 5. Aparecerá o resumo das tentativas. 6. Ou você "Retorna à tentativa"ou "Envia tudo e termina". Se retornar à tentativa, você pode fazer todas as alterações que julgar necessárias lembrando da penalidade. Se enviar tudo e terminar, abrirá uma tela com as suas respostas e as respostas corretas. 7. Clique em "Terminar revisão"e aparecerá sua nota nesse questionário. Bom trabalho!!! 11