MATEMÁTICA I. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

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1 MATEMÁTICA I Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari [email protected]

2 MATEMÁTICA I AULA 1: PRÉ-CÁLCULO Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

3 CONJUNTOS NUMÉRICOS São, em geral, subconjuntos de R, o conjunto dos números reais. Números naturais N: São os números empregados em processos de contagem. Exemplos: 0,1, 2, 3, 4,... Números Inteiros Z : São os números empregados em processos de contagem, acrescidos de seus opostos. Exemplos:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Números racionais Q : É o conjunto de todos os números que podem ser escritos como quocientes a, b 0. b Exemplos: 1 4, 1 18, 1 2, 7 10, 10 50, 20 20,... Números irracionais Q ou I : Todos os números reais que não são racionais Exemplos: π = 3, , 2 = 1, ,

4 NÚMEROS COMPLEXOS Nem todos os números são reais. O conjunto C dos números da forma a + bi onde a e b são reais e i 2 = 1, é chamado de conjunto dos números complexos. Como todo número real x pode ser representado na forma x + 0i, segue que todo número real também é complexo. Exemplo de números complexos:

5 Exemplo 1. Verifique a qual ou quais conjuntos numéricos os números abaixo pertencem CONJUNTOS NUMÉRICOS a) 7 b) 0,7 c) 7 d) 7 0 e) 7 f) 0 7 OBS.: 7 = 2, C R Q Z N I

6 CONJUNTOS NUMÉRICOS Exemplo 1.1 Verifique a qual ou quais conjuntos numéricos os números abaixo pertencem a) 7 b) 0,7 c) 7 d) 7 0 e) 7 f) 0 7 OBS.: 7 = 2, C R Q Z N I

7 A RETA REAL Números reais podem ser representados por pontos em uma reta r, tal que a cada número real a corresponda exatamente a um ponto sobre a reta r, e reciprocamente. Exemplo 2. Represente o conjunto 3; 5; 2 3 ; uma reta real. 5; 1,5; π sobre R

8 AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS I) Operações fundamentais: adição e multiplicação Propriedades (considere a, b e c números reais arbitrários) Leis de fechamento: a soma a + b e o produto a b (ou ab) são números reais únicos. Leis de comutatividade a + b = b + a : a ordem é irrelevante na adição. a b = b a : a ordem é irrelevante na multiplicação.

9 AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS Leis associativas a + b + c = a + b + c : o agrupamento é irrelevante em adições repetidas. a b c = a b c: o agrupamento é irrelevante em multiplicações repetidas. Leis distributivas: a multiplicação é distributiva em relação à adição a b + c = ab + ac e a + b c = ac + bc

10 AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS Leis de identidade (elemento neutro) Existe um único número 0 com a propriedade de que 0 + a = a = a + 0 Existe um único número 1 com a propriedade de que 1 a = a = a 1 Leis de inverso (elemento inverso) Para qualquer número real a, existe um real a, tal que a + a = a + a = 0 a é chamado de inverso aditivo ou oposto de a. Para qualquer real a diferente de zero, existe um número real a 1, tal que a a 1 = a 1 a = 1 a 1 é chamado de inverso (multiplicativo) ou recíproco de a.

11 AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS Exemplo 3. Simplifique a expressão 3 + x leis associativa e comutativa. + 5 utilizando as 3 + x + 5 = x lei comutativa = x lei associativa = x + 8 Exemplo 4. Mostre que a + b c + d = ac + ad + bc + bd utilizando a lei distributiva. a + b c + d = a c + d + b c + d lei distributiva = ac + ad + bc + bd lei distributiva

12 AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS Leis de fator zero 1. para cada número real a, a 0 = 0 2. se a b = 0, então a = 0 ou b = 0. Leis para os negativos 1. a = a 2. a b = ab 3. ab = a b = a b = a b 4. 1 a = a

13 AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS II) Operações fundamentais: subtração e divisão Definição de subtração: Definição de divisão: a b = a + b a b = a b = a b 1 Desse modo, b 1 = 1 b 1 = 1 b = 1 b Nota: Uma vez que 0 não admite inverso multiplicativo, a 0 não é definido.

14 AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS II) Operações fundamentais: subtração e divisão Leis para quocientes 1. a b = a b = a b = a b 2. a b = a b 3. a b = c d 4. a b = ka kb se, e somente se ad = bc para todo k R não nulo (Princípio fundamental de frações)

15 AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS II) Operações fundamentais: subtração e divisão Propriedades de ordem Os números reais positivos, denotados por R +, são um subconjunto dos números reais e apresentam as seguintes propriedades: 1. Se a, b R +, então a + b R + e a b R Para cada número real a, ou a R + e a é dito positivo; ou a = 0 ou a R e a é dito negativo.

16 AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS II) Operações fundamentais: subtração e divisão Propriedades de ordem Considere números a, b R se b a é positivo, a é menor que b, ou seja, a < b se b a é negativo, a é maior que b, ou seja, a > b se b a é zero, a é igual que b, ou seja, a = b se a é menor ou igual a b, isso é representado por a b. se a é maior ou igual a b, e escrevemos isso como a b.

17 AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS II) Operações fundamentais: subtração e divisão Considere números a, b R, a > 0 se, e somente se, a é positivo. se a 0, então a 2 > 0. se a < b, então a + c < b + c para todo c R. se a < b, então ac < bc, se c > 0 ac > bc, se c < 0 se a < b e b < c então a < c.

18 VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO O valor absoluto de um número real x, denotado por x, é definido por: x = distância da origem = Representação x, se x 0 x, se x < 0 x x Distância entre dois números reais A distância entre dois números reais a e b é b a, que é o comprimento do segmento de reta que liga a a b

19 VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO Observação. a + b não é igual a a + b A menos que a e b tenham o mesmo sinal ou pelo menos um dos dois for zero. Se a e b tiverem sinais opostos, então a + b < a + b Por exemplo, = = 3 < 7 = Em todo caso, a + b nunca é maior do que a + b e assim temos a importante desigualdade triangular:

20 O intervalo fechado a, b é o conjunto de todos números reais x tais que a x b. INTERVALOS NUMÉRICOS a, b = x R: a x b a b Costumamos simplificar a notação acima como {x : a x b}, a, b = x: a x b ficando entendido que x R.

21 INTERVALOS NUMÉRICOS O intervalo aberto e os intervalos semi-abertos são os conjuntos: O intervalo infinito, é toda a reta real R. Um intervalo semi-infinito pode ser aberto ou fechado.

22 INTERVALOS NUMÉRICOS Os intervalos abertos e fechados são descritos por desigualdades. Representação: Generalizando, para todo c R, Representação: Nesse caso o intervalo a, b = c r, c + r, onde c = a+b 2 e r = b a 2

23 INTERVALOS NUMÉRICOS Exemplo 5 (Descrevendo intervalos com desigualdades) Descreva os intervalos ( 4, 4) e [7, 13] usando desigualdades. Solução: 4,4 = x: x < 4 Considere o intervalo 7, 13 Ponto médio: c = = 10 Raio: r = = 3 Portanto 7, 13 = x R: x 10 3 Representação:

24 INTERVALOS NUMÉRICOS Exemplo (Descrevendo desigualdade com intervalo) Descreva o conjunto S = x: 1 2 x 3 > 4 em termos de intervalos. Solução. É mais fácil considerar primeiro a desigualdade oposta 1 2 x 3 4, assim 1 x x x x x x Note que 1 2 x 3 4 está satisfeito quando x 2, 14. O conjunto S é o complementar, consistindo em todos números x que não estão em 2, 14, ou seja, S =, 2 14, Representação.

25 POTÊNCIAS Definição. Se a 0 e n N, então a expressão a n é chamada de potência na base a e expoente n. Note que: = 1 a n+1 = a a n a 0 Exemplo: 10 0 = = = = = = = = = Propriedades: Se a 0 e m, n N então: i) a m a n = a m+n ii) iii) iv) a m a n = am n a m n = a m n a b n = a n b n

26 POTÊNCIAS Potência com expoente negativo Se a 0 e n N, então a n = 1 Exemplo: 10 1 = 1 10 = 0,1; 10 2 = = = 0, = = a n = 0,001;... Potência fracionária Se a > 0 e m, n N, então a n m m = a n Exemplo: = 10 2

27 ORDEM DE OPERAÇÕES Em expressões envolvendo combinações de operações, a seguinte ordem é observada: 1. Primeiramente, execute operações entre símbolos agrupados. Se os símbolos agrupados estão dentro de outro agrupamento de símbolos, proceda a partir dos agrupamentos mais internos para os mais externos. Exemplo 6. Calcule = = = = = = = = 90 2 = 45

28 ORDEM DE OPERAÇÕES 2. Calcule expoentes antes de multiplicações e divisões, a não ser que o agrupamento de símbolos indique o contrário. Exemplo 7. Calcule = = 11 2 = Calcule multiplicações e divisões, da esquerda para a direita, antes de calcular adições e subtrações (também da esquerda para direita) a não ser que os símbolos de operações indiquem o contrário.

29 ORDEM DE OPERAÇÕES Calcule a) b) c) Solução.

30 ERROS A SEREM EVITADOS ERRO 1. Em uma fração, cancelar uma parcela do numerador com uma do denominador 3x+5 x = 3x+5 x = = 8 (ERRADO!!!!) ERRO 2. Concluir que se x < a então cx < ca, a não ser que c > 0. ERRO 3. Escrever 2 > x > 6 ao invés de x < 2 ou x > 6.

31 ERROS A SEREM EVITADOS Não confundir 1. x com x Exemplo: 3 = 3 enquanto que 3 = 3 2. x 2 com x 2 Exemplo: 4 2 = 16 enquanto que 4 2 = a + b com a + b Exemplo: = 3 enquanto que = 1 4. x + a 2 com x 2 + a 2 Exemplo: = 49 enquanto que = = x + a com x + a Exemplo: = 13 enquanto que = = 5