Operações Básicas, Conjuntos, Fatorações, Exponenciação e Logaritmos

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1 Operações Básicas, Conjuntos, Fatorações, Exponenciação e Logaritmos Alexandre Alborghetti Londero Pré UFSC/UFSC Blumenau 1 Operações Básicas Adição e Subtração Operações que reúnem ou excluem objetos de mesma natureza. Exemplo: Juliana tinha maçãs, ganhou 2, e deu 1 para o seu professor, logo, terminou com: = 4 maçãs. Multiplicação e Divisão A multiplicação representa uma soma de quantidades equivalentes de um mesmo objeto. Assim,.2 = = 6. A divisão, por sua vez, representa a operação inversa, ou seja, uma quantidade repartida em partes iguais. Assim, 10/2 = /7 = 16 ( ) 4.( ) 1 ( 4. 1 ) 6 = ( 4 0 ) = 2 ( 20 ) = = Conjuntos Conjuntos são agrupamentos de elementos organizados sob determinada regra. Dado um conjunto A e um elemento x, somente existem duas possibilidades de relacionarmos o elemento x com o conjunto A: (i) ou x pertence (ou está) no conjunto A, o que denotamos por x A; (ii) ou x não pertence (ou não está) no conjunto A, o que denotamos por x / A. Podemos representar um conjunto listando seus elementos ou por darmos a propriedade que caracteriza o conjunto. Por exemplo, A := {,,,, } ou A := {x x é um naipe do baralho}. 1

2 União de Conjuntos: A B (lê-se A união com B) Dados os conjuntos A e B, a união entre A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou que pertencem ao conjunto B. Se formos listar os elementos de A B e existirem elementos que pertençam aos dois conjuntos, tal elemento aparecerá uma única vez na representação. Exemplo: Sendo o conjunto A = {0, 2, 4,, 7} e B = {1, 2,, 4, 6}, então A B = {0, 1,, 4,, 6, 7}. Intersecção de Conjuntos: A B (lê-se A intersecção com B) Dados os conjuntos A e B, a intersecção entre A e B é o conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto A e pertencem ao conjunto B. Assim como em uma união de conjuntos, se ao listarmos os elementos de A B e existirem elementos que pertençam aos dois conjuntos, tal elemento aparecerá uma única vez na representação. Exemplo: Sendo o conjunto A = {1, 2, 4, 6, 8, 9} e B = {2, 4,, 7, 9}, então A B = {2, 4, 9}. Diferença entre conjuntos e complementar relativo. Dados os conjuntos A e B, a diferença entre A e B, A B é o conjunto dos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B, ou seja A B={x x A e x / B }. Exemplo: Sendo o conjunto A = 0, 2, 4,, 7 e B = 1, 2,, 4, 6, então A B = 0,, 7. Dados os conjuntos A e B, o complementar relativo de B em relação a A equivale a A B = C A (B)=, ou seja A B={x x A e x / B }. No caso do complementar de A em relação a B, ou B A, podemos escrever como: C B (A) = (B A). Conjuntos Numéricos: Naturais: N = {1, 2,, 4,,...} ; Inteiros: Z = {...,, 2, 1, 0, 1, 2,,...}; { a } Racionais Q = b a Z, b N, isto é, são os números que podem ser escritos na forma de fração. Quando representados na forma decimal, podemos obter um decimal finito ( 1 = 0,2) ou decimal periódico ( 1 = 0,...) ; Irracionais: Q c, isto é, números que não são racionais, ou seja, não podem ser escritos como fração. π, e, 2. Possuem representação decimal infinita e não periódica; Reais: R = Q Q c. Podem ser entendidos como conjunto de todos os pontos de um reta, que é chamada Reta Real. Se um número é racional, ele não pode ser irracional e vice-versa. 2

3 4 2, 2 1, 1 0, 0 0, 1 1, 2 2,, 4 π x Figura 1: A reta real R. 4 Fatorações Fator comum em evidência: ax + bx = x.(a + b). Fatores comuns: ax + ay + bx + by = (a + b) x + (a + b) y = (a + b) (x + y) (x + 2x + y + 2y) = ( + 2).(x + y) e (x 2 + 2x) = x(x + 2); Trinômio Quadrado Perfeito: Soma: a a.b + b 2 = (a + b) 2 ; Diferença: a 2 2ab + b 2 = (a b) 2. 9x 2 + 0xy + 2y 2 = (x + y) 2 e x 2 8x + 16 = (x 4) 2 ; Diferença de dois Quadrados: a 2 b 2 = (a + b).(a b). Exemplo: 6x 2 81y 2 = (6x + 9y).(6x 9y); Equação polinomial do Segundo Grau: ax 2 + bx + c = 0. Para encontrar as raízes dessa equação pode-se aplicar a Fórmula Geral (ou Fórmula de Bháskara): x = b ± b 2 4ac 2a Neste caso temos duas raízes: x 1 e x 2 e então podemos escrever: Exemplo: ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) 2x 2 4x + 0 = 0. Aplicando a fórmula de bháskara obtemos: x 1 = e x 2 = Portanto: 2x 2 4x + 0 = (x + ).(x ).

4 Exponenciação a 0 = 1, se a 0, e a 1 = a para qualquer número a R. Exemplo: 27 0 = 1; Se a R e a < 0 então ( a) n > 0 se n par e ( a) n < 0 se n for ímpar. (Lembre-se da regra dos sinais do produto). Exemplo: ( 2) 4 = 16 e ( 2) = 2; a b = 1 ( a ) b a b e a b ( ) 2 =, em que c 0. Exemplo: = 2 c cb 2 = 2 9 ; a b a d = a b+d e ab a c = ab c, para a 0. Exemplo: (x 2 ). (x6 ) (x ) = (x2 + (6 )) = (x ); (a b ) c = a bc. Exemplo: (x 2 ) = x 6. 6 Radiciação b a : a é radicando e b é radical. Ainda, b N, porém, se b for par e a < 0 não existe raiz. 8 / R e 8 = 2; b a c = a c b. Exemplo: = = = 4 = 2; Exemplo: 8 e 8 = 2; ( b a) c = b a c. Exemplo ( 4 64) 2 = 4 6a 2 = 8; b a b d = b ad e b a b d = b a d. 2 = 2 2 = = = 4 2 e ( ).( 18) ( 6) = 1; c b a = b.c a. Exemplo: 2 7 =.2 7 = 6 7; Exemplo de Racionalização de Denominador: = = }{{} =1 2 2 }{{} =1 = 2 = = 2 = 2 4

5 7 Logaritmos Definição: log b (a) = c b c = a, em que a é o logaritmando, b é a base do logaritmo e c é o logaritmo. Isto significa que log é a operação inversa da exponenciação. Logaritmo é uma função injetora. Observação: 0 < b 1, a 0. log b (1) = 0 e log a (a) = 1. log (1) = 0, pois 0 = 1; log () = 1, pois 1 = ; b log b (a) = a. Exemplo: 2 log 2 (8) = 8, veja que log 2 (8) = assim 2 log 2 (8) = 2 = 8; log b (a) = log b (d) a = d. Exemplo log 2 (a) = log 2 (d) a = d; log b (a d) = log b (a) + log b (d). Exemplo: log 10 (6) = log 10 (2.) = log 10 (2) + log 10 (); ( a ) log b = log c b (a) log b (d). Exemplo: log 10 (1.) = log 10 ( 2 ) = log 10() log 10 (2); log b (a) = log c(a) log c (b) (mudança de base). Exemplo: log (2) = log 10(2) log 10 () ; log b (a c ) = c log b (a). Exemplo: log 10 (2 ) = log 10 (2).