Conjuntos Numéricos { } { } { } Conjunto dos Números Naturais

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Ricardo Vilarinho Monsanto
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1 0/0/0 Conjuntos uméricos Conjunto dos úmeros aturais Chama-se conjunto dos números naturais,,o conjunto formado pelos números 0,,,,... {,,,,...} = 0 As duas operações fundamentais, a adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades (a, e c ): A.) Associativa da adição: A.) Comutativa da adição: A.) Elemento neutro da adição: M.) Associativa da multiplicação: ( a + ) + c = a + ( + c) a + = + a a + 0 = a M.) Comutativa da multiplicação: a = a M.) Elemento neutro da multiplicação: ( a ) c = a ( c) a = a D) Distriutiva da multiplicação relativamente à adição: a ( + c) = a + ac Conjunto dos úmeros Inteiros Chama-se conjunto dos números inteiros, Z,o conjunto formado pelos números {...,,,,,,,,...} Z= 0 Suconjunto dos úmeros Inteiros Conjunto dos inteiros não negativos: Z = 0,,,,... + = Conjunto dos inteiros não positivos: Z = 0,,,,... Conjunto dos inteiros não nulos: Z =...,,,,,,,... o conjunto são definidas tamém todas as operações de adição e multiplicação que apresentam, além de [A.], [A.], [A.], [M.], [M.], [M.] e [D], a propriedade: A.) simétrico ou oposto para a adição: a + ( a) = 0. Devido a propriedade[a.], pode-se definir emz a operação de sutração, estaelecendo que a = a + ( ) para todo a, Z.

2 0/0/0 Conjunto dos úmeros Racionais Chama-se o conjunto dos números racionais, Q, o conjunto dos pares ordenados (ou frações) a, em que e a Z Z, para os quais adotam as seguintes definições: a c ª) Igualdade: = ad = c a c ad + c ª) Adição: + = d ª) Multiplicação: a c ac = d Suconjunto dos úmeros Racionais = Conjunto dos racionais não negativos. Q + Q = Conjunto dos racionais não positivos. Q = Conjunto dos racionais não nulos. 8 As duas operações fundamentais, a adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades (a, e c ): a c e a c e A.) + + = + + f a a A.) + 0 = a c e a c e M.) = f A.) a c c a + = + d a a A.) + 0 = a c c a M.) = d M.) a a a = D) c e a c a e + = + f M.) simétrico ou inverso para a multiplicação: a a a Q e 0, existe Q tal que =. a a Devido a propriedade[m.], pode-se definir em a operação de divisão, estaelecendo que a c e racionais quaisquer não nulos. a c a d : = c Q para 9 0 Representação decimal Decimal exata: = = 0, = 0, 0 = 0, Dízima periódica: = 0, = 0, ( período ) = 0, 88 = 0, 8 período 8 =, 8 =, 8 ( período ) ( ) Quando a decimal é uma dízima periódica. Devemos procurar sua geratriz. Exemplo : 0,... x = 0,... 0x x = x = 0x =,... 9

3 0/0/0 Exemplo : x =,... 00x x = x = 00x =, Exemplo :,..., x =, x =, x 00x = x = x = 9, Conjunto dos úmeros Irracionais Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica. Por exemplo, o número decimal 0, é não periódico. Ele representa um número não racional. Ele representa um número irracional. Outros exemplos de números irracionais:,890..., , Conjunto dos úmeros Reais Chama-se conjunto dos números reais -R- aquele formado por todos os números com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicas(que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas(chamadas números irracionais). Dessa forma, todo número racional é real, ou seja: Q R. Conjunto dos úmeros Reais Além dos racionais, estão emr números como: =,... π =, 9... a =, chamados números irracionais. R + = Conjunto dos reais não negativos. R = Conjunto dos reais não positivos. R = Conjunto dos reais não nulos. Relação de inclusão entre conjuntos Z Q R R Q Exercício: Indique (verdadeiro) ou (falso) as seguintes sentenças: 8

4 0/0/0 Exercício : Classifique os seguintes conjuntos em vazios ou unitários. a)(azio) { x x = 8} )(Unitár.) { x R x = } c)(unitár.) x Z x d)(azio ) { x R x < 0} e)(azio) x x = f)(unitár.) { R } { x Q x = 0} g)(unitár.) x h)(azio ) Q = x Z x = x 8 Exercício : Classifique cada número real seguinte como racional ou irracional. a)( R Q ) 0 )( Q ) c)( R Q ) π d)( R Q ) + ( ) e)( Q ) 0 80 f)( Q ) g)( Q ) h)( Q ) ( ) ( ) i)( R Q ) j)( R Q) + k)( Q ) + 0, 0, ( 0, ) Exercício: Coloque os números reais a,, ce daaixo em ordem crescente: -aé o inverso de ; -é oposto de ; = =, -cé o doro de ; -d =. a = =, c = = > d = = Solução: a < < d < c Intervalos Representação de suconjuntos por intervalos Exercício : Sejam os conjuntos numéricos A = x R x e B = x R 0 < x 8. Determine: a) A B ) A B c) A B d) B A

5 0/0/0 Exercício : { R } ( A B) C. Se A = x x <, B = x R < x e C = x R x 0, determine o conjunto que representa Exercício : Dados os conjuntos M = x R x > e x <, = { x R x < ou x > } e O = { x R x < }, determine o conjunto M O. ( ) Exercício : Determine A B, A B, A B e B A dados: { x R x } { x R x } a) A = < < e B = < [, [ ], [ ) A = e B = + { x R x } [, ) c) A = e B = Exercício : O comprimento da circunferência de raio ré π r, e a área do círculo de raio r é π r. Dessa maneira, determine, o intervalo a que pertencem os números que representam: o comprimento da circunferência de raio r = 0, e a área do círculo determinado por essa circunferência. ] 0 [ a), ), 0 99 c), 00 d ) ], ] 8 Exercício : Classifique cada uma das afirmações em verdadeira ou falsa. a) ( ) )( ) ( R Q) Q = Z c)( ) ( R Q) Q = R + d)( ) Z 9

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