CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Conjuntos. Isabelle Araujo 5º período de Engenharia de Produção

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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Conjuntos Isabelle Araujo 5º período de Engenharia de Produção

2 Definição Noção intuitiva: São coleções de elementos da mesma espécie. - O conjunto de todos os estudantes da UFAL. - O conjunto de todos os brasileiros. - O conjunto de todos os números naturais. Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C,..., Z. Seus componentes são formados por elementos que são denotados por letras minúsculas do alfabeto: a, b, c,..., z. 2/44

3 Representações: formas Compreensão A = conjunto de alunos da UFAL Implícita Hgh Bx / x; x2 N B d / d é dia da semana Explícita C a; e; i; o; u Diagrama de Euler-Venn Z 3/44

4 Conjuntos especiais Conjunto Vazio: o conjunto que não possui elementos Seja X um conjunto qualquer, o conjunto vazio Ø é definido por: H xx / x x Conjunto Unitário: é um conjunto formado por um único elemento Ex: M = {7} 4/44

5 Conjuntos especiais Conjunto finito: Se for vazio ou tiver um número finito de elementos. O conjunto das cidades de Portugal O conjunto vazio. O conjunto do número de habitantes de Delmiro Gouveia Conjunto infinito: Se o conjunto tiver uma quantidade incontável de elementos. O conjunto N dos números naturais. O conjunto dos números primos. O conjunto Z dos números inteiros. 5/44

6 Conjuntos especiais Conjunto Universo: é o conjunto de todos os elementos, representado pela letra U J W O M Também é admitido como restrito a uma região de interesse. Ex.: - Conjunto Universo das letras - Conjunto Universo dos Conjuntos 6/44

7 Notações básicas ( também representado por / ) 7/67

8 Relação de pertinência Relaciona elementos e conjuntos, informando se um elemento faz parte ou não de tal conjunto x pertence ao conjunto A Simbologia: (lê-se: x pertence a A ) x NÃO pertence ao conjunto A Simbologia: Exemplos F g x A x A 5 4; 5;10; ; 2; 0;1;2 (lê-se: x NÃO pertence a A ) 8/44

9 Relação de inclusão 1 Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto do outro A está contido em B Simbologia: A B B A A A NÃO está contido em B. Simbologia: A B B A A Exemplos 5 ; 23 4;5;10; 23 0 ;11 10,2; 20;1 F g 9/44

10 Relação de inclusão 2 Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto ou superconjunto do outro: B contém A Simbologia: B A B A A B NÃO contém A Simbologia: B A B A Exemplos A 5 ; 23; 4;10 4; 5;10 0 ;11; 3;15 10;18;11; 3 F g 10/44

11 Conjuntos: operações União: A B (lê-se: A união B ) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A ou a B. A A B xu; xaxb B Interseção: A B (lê-se: A interseção a B ) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A e a B. A B xu; x A xb A B /44

12 Conjuntos: operações DIFERENÇA: A - B (lê-se: A menos B ) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A, mas NÃO a B. A A-B B 12/44

13 Conjunto complementar Definição: Seja B um conjunto qualquer (portanto subconjunto do universo U), o complementar de B em relação ao conjunto universo, é simbolizado por: B ou O que é equivalente a: c B B x U; xb B U B B U U-B B 13/44

14 Dicas!!! Elemento neutro para a união: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a união de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: 14/44

15 Exemplos (PUC) Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? R= 69% 15/44

16 Exemplos Vamos Praticar! 1. Julgue as proposições como verdadeira ou falsa: Falso Falso Verdadeiro Verdadeiro 16/44

17 Os Conjuntos Numéricos 17/44

18 Conjunto dos números naturais Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza. A representação matemática deste conjunto é dada da seguinte forma: Subconjunto: (Conjuntos dos números naturais não-nulos) 18/44

19 Conjunto dos números inteiros A subtração de 1-4 era impossível. A ideia do número negativo, apareceu na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas. O número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada. A representação matemática dos números inteiros é dada da seguinte forma: 19/44

20 Conjunto dos números inteiros Subconjuntos: (Conjunto dos números inteiros não-nulos) (Conjunto dos números inteiros não-negativos) (Conjunto dos números inteiros positivos não-nulos) 20/44

21 Conjunto dos números inteiros (continuação) Subconjuntos: (Conjuntos dos números inteiros não-positivos) (Conjuntos dos números inteiros negativos não-nulos) 21/44

22 Vamos praticar! 1. Classifique como verdadeiro ou falso: a) A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural. Verdadeiro b) A diferença entre dois números naturais quaisquer é um número natural. Falso c) O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural. Verdadeiro 22/44

23 Vamos praticar! 2. Classifique como verdadeiro ou falso: Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Falso 23/44

24 Como dividir 3 ovelhas para 2 herdeiros?

25 Conjunto dos números racionais Para resolver problemas de divisões de números inteiros (3/2), foram criados os números fracionários que unidos aos inteiros (Z), formam os números racionais (Q). A representação matemática deste conjunto é: Q = Z {números fracionários} Assim, a b Q= { x/x,coma Z, bzeb 0} Será que existe uma forma mais compacta para Q? Q {x/x a b,com a Z, b Z * } 25/44

26 Conjunto dos números racionais - Todo número que pode ser escrito na forma de fração entre dois inteiros é um número racional. Na forma decimal podem ser representados por: - Decimal Exata Ex.: 3/4 = 0,75 25/8 = 3,125-2/5 = -0,4 - Decimal Periódica Ex.: 17/6 = 2, /99 = 0, Onde, 17/6 e 23/99 são as geratrizes das dízimas periódicas, que tem, respectivamente, períodos 3 e /67 26/44

27 Conjunto dos números racionais Demonstração! - Obtendo a fração irredutível equivalente a dízima periódica: a) 0, Solução: Seja x = 0, Multiplicando os membros de 1 10x = 2, x = 217, por 10 e por 1000, temos: Subtraindo 2 de 3, obtemos: 990x = 215 x = 215/990 x = 43/198 x = 43/198 = 0, /44

28 Conjunto dos números racionais Vamos Praticar! - Obtendo a fração irredutível equivalente a dízima periódica: a) 0, b) 0, b) Solução : Seja x = 0, Multiplicando os membros de 1 100x = 35, x = 351, x = 316 x = 316/900 x = 79/225 por 100 e por 1000, temos: Subtraindo 2 de 3, obtemos: 0, = 79/225 28/44

29 Conjunto dos números irracionais Representam os números decimais infinitos e não-periódicos. π = 3, /2 = 1, CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Formado a partir da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. A representação matemática deste conjunto é: R QIr {x/x Q ou xir} 29/44

30 Intervalos reais Notações intuitivas: É numa reta real onde todos os infinitos números representados de maneira crescente. reais são , ,5-1,8 O 2 5 1,5 1,8 2,7 Do menos infinito ao mais infinito 30/67 30/44

31 Intervalos reais Um intervalo é um pedaço da reta real representado por: Bolinha aberta fechada A extremidade está incluída Bolinha aberta A extremidade está excluída (ou seja, dentro) do intervalo. (ou seja, fora) do intervalo O intervalo vai do -4 até o 4 O intervalo inclui o -4 mas não inclui o 4 31/44

32 Intervalos reais 4 x S x/ x 4 5 x S x / x x S x / 5 x x S x / 6 x 3 32/44

33 Intervalos reais INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA x S x / 4 x 4 ou x 3 33/44

34 Intervalos reais INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA x S x/ 4 x 4 4 x 3 S [ 4,4) (4,3) 34/44

35 INTERVALOS REAIS UNIÃO DE INTERVALOS A B A B x x x S x / 4 x 4 AB [4,4) 35/44

36 INTERVALOS REAIS INTERSECÇÃO DE INTERVALOS A B A B x x x S x / 2 x 2 A B [2,2) 36/44

37 Intervalos reais DIFERENÇA DE INTERVALOS A B A B x x x S x / 4 x 2 A B [ 4, 2) 37/44

38 Intervalos reais Vamos Praticar! 1. Dados A = [0,3] e B = [1,5[, calcule: 38/44

39 Referências OLIVEIRA, A. Pré-Enem Comunitário DANTE, L.R. Matemática Volume Único. 1 ed. Ática, /44

40 Obrigada pela atenção! /44