Teoria dos Conjuntos. Prof. Jorge

Transcrição

1 Teoria dos Conjuntos

2 Conjuntos Conceitos iniciais Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto. Exemplos - Conjunto I. O conjunto dos alunos do 9º ano do Motiva. II. O conjunto de todos os números inteiros. III. O conjunto de todos os números reais que é solução da equação x 2 16 = 0. Em geral, utilizamos letras latinas maiúsculas para representar conjuntos. A, B, C,..., Z.

3 Conjuntos Conceitos iniciais Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto. Exemplos Elemento I. Pedro é um elemento do conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega. II. 7 é um elemento do conjunto dos números inteiros. III. +4 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x 2 16 = 0. Em geral, utilizamos letras latinas minúsculas para representar elementos. a, b, c,..., z.

4 Conjuntos Conceitos iniciais Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto. Exemplos Pertinência I. Pedro pertence ao conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega. II. 7 pertence ao conjunto dos números inteiros. III. +4 pertence ao conjunto dos números reais que satisfaz à equação x 2 16 = 0. Utilizamos o símbolo pertence e não pertence para relacionar elemento e conjunto.

5 Notações de Conjuntos Um conjunto pode ser representado: Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas; Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos; Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. Diagrama de Venn-Euler.

6 Exemplo Representar o conjunto V das vogais. V = {a, e, i, o, u} V = {x; x é vogal} como no diagrama ao lado a e V i o u No caso a V, mas m V.

7 Observação Há conjuntos com apenas: Um único elemento, chamados conjuntos unitários; Nenhum elemento, chamados conjunto vazio; Infinitos elementos, chamados conjuntos infinitos. O conjunto vazio pode ser representado pelos símbolos { } e Ø.

8 Exemplos A = {x; x é inteiro positivo, par e primo} A = {2} B = {x; x é inteiro, ímpar e divisível por 2} B = { } = Ø C = {a; a é número natural ímpar e primo} C = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...}

9 Observação Se dois conjuntos possuem exatamente os mesmos elementos (não importando a ordem em que eles aparecem), dizemos que eles são conjuntos iguais. A = {x; x é inteiro positivo e x < 4} B = {2, 3, 1} A = {1, 2, 3} = B. A = B Se x A Se x B x B x A

10 Exemplo A = Conjunto das letras da palavra TRATOR B = Conjunto das letras da palavra ATOR A = {t, r, a, o} B = {a, t, o, r} A = B

11 Subconjuntos Se todo elemento de um conjunto A é também elemento de um conjunto B, dizemos que: A está contido em B (símbolo: A B); B contém A (símbolo: B A); A é subconjunto de B; A é parte de B. B A

12 Exemplo A = {x N; x < 4} B = {x R; x(x 1) = 0} A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1} Podemos afirmar que B é um subconjunto de A (B A). A 2 B 0 1 3

13 Observação subconjuntos Se um conjunto A é igual a um conjunto B (A = B), então A B e B A. Se A B, A Ø e A B, dizemos que A é subconjunto próprio de B. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (Ø A, para todo A) O vazio é subconjunto de qualquer conjunto; Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

14 Exemplo Encontrar todos os subconjuntos de A = {1, 2, 3}. Com 0 elemento Ø Com 1 elemento {1}, {2}, {3} Com 2 elementos {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} Com 3 elementos {1, 2, 3} Dizemos que Ø e A = {1, 2, 3} são subconjuntos triviais de A. Os outros são os subconjuntos próprios de A.

15 Observação subconjuntos Chamamos de conjunto das partes do conjunto A e representamos por P(A), o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. Exemplo A = {1, 2, 3} Subconjuntos de A: Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} n(p(a)) = 2 n(a)

16 Exemplo Se um conjunto A tem n elementos e 128 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A? 2 n = n = 2 7 n = 7 Logo, o conjunto A tem 7 elementos.

17 Operações com Conjuntos

18 Operações com Conjuntos A partir de dois conjuntos conhecidos, A e B, podemos obter outros conjuntos, operando com os conjuntos dados. Definimos as operações a seguir: I. União; II.Interseção; III.Diferença;

19 União dos Conjuntos A e B (A B) É o conjunto dos elementos que pertencem ou a A, ou a B ou a ambos os conjuntos. A B = {x; x A ou x B} A B Podemos generaliza a operação união para três ou mais conjuntos.

20 Exemplo Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter: a) A B. b) A B C. a) A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7} b) A B C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} No caso de três ou mais conjuntos, podemos escrever A B C = (A B) C = A (B C).

21 Interseção dos Conjuntos A e B (A B) É o conjunto dos elementos que pertencem a A e B. A B = {x; x A e x B} A B Também a operação interseção pode ser generalizada para três ou mais conjuntos.

22 Exemplo Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter: a) A B. b) A C. c) A B D. a) A B = {0, 5} b) A C = Ø Logo, A e C são disjuntos c) A B D = {0}

23 Diferença dos Conjuntos A e B (A B e B A ) É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. A B = {x; x A e x B} A B

24 Diferença dos Conjuntos A e B (A B e B A ) É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. B A = {x; x B e x A} A B

25 Exemplos Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, vamos obter: a) A B. b) B A. a) A B = {1, 2, 3, 4, 5} {2, 4, 6} = {1, 3, 5} b) B A = {2, 4, 6} {1, 2, 3, 4, 5} = {6} Em geral A B B A.

26 Exemplos Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} e B = {x natural, menor que 10 / x é primo}. Determine A B, A B, A B e B A. A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7} A B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A B = {2} A B = {0, 4, 6, 8} A B B A = {3, 5, 7} 8 7

27 Complemento de um Conjunto No caso em que o conjunto B está contido no conjunto A (B A), a diferença A B pode ser chamada, também, complementar de B em relação a A ( A B). A B A B B A A B = A B O complementar de A em relação a um dado universo pode ser representado, simplesmente por A.

28 Exemplos Dados os conjuntos X = {1, 2, 4}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}, X Y. Obter Y X. Y X = Y X = {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 4} = {3, 5} Se A = {x R; x > 2}, A está contido no universo R. Obter A. A = A = {x R; x 2}

29 Exemplos Se A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g} estão contidos no universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, determinar o conjunto A B. A = U A = {f, g, h} A B = {f, g, h} {d, e, f, g} = {f, g}

30 Número de elementos da união de conjuntos

31 Número de elementos da união de conjuntos Existe uma relação importante que envolve a quantidade de elementos dos seguintes conjuntos finitos: A, B, A B e A B. Observe: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) n(a) = número de elementos do conjunto A n(b) = número de elementos do conjunto B n(a B) = número de elementos da interseção n(a B) = número de elementos da união

32 Exemplos Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, temos: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A B = {4, 5, 6} Podemos comprovar que: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) 8 = A B

33 Exemplos O conjunto A tem 8 elementos; o conjunto B, 13 elementos; o conjunto A B, 5 elementos. Determinar o número de elementos do conjunto A B. A B 8 5 = = 8 (A B) (B A) A B n(a B) = = 16

34 Exemplos Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: Quem é torcedor do Grêmio? 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: Quem é nascido em Porto Alegre? 28 levantaram o braço. Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos determinar quantos alunos são gremistas e Portoalegrenses. G P 36 x x 28 x (G P) G P (G P) 36 x + x + 28 x = x = 42 x = 22