Descrevendo um conjunto

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1 Conjuntos Veja os seguintes exemplos: Jogadores de um time Lista de compras Números Inteiros Alfabeto Se você está familiarizado com estes exemplos, é claro que você tem a ideia do que é um conjunto, podemos dizer que: Um conjunto é uma coleção de objetos e tais objetos são chamados de elementos. Costumamos representar os conjuntos com letras maiúsculas letras minúsculas. e seus elementos com Se é um elemento de escrevemos, se não pertence à, escrevemos. Descrevendo um conjunto Se um conjunto possui poucos elementos, então o conjunto pode ser representado, simplesmente enumerando seus membros, logo é um conjunto cujos elementos são 1, 2 e 3. A ordem dos elementos não importa, portanto pode ser descrito como ou por exemplo. Alguns conjuntos possuem muitos elementos, como por exemplo, os naturais ímpares menores que 100 e podem ser representados desta forma } onde... indica os ímpares maiores que 3 e menores que 99, já outros conjuntos, como os naturais pares, que é infinito, pode ser representado como agora... significa que os elementos continuam infinitamente. Se o conjunto não possui elementos representamos por é tal conjunto é chamado de vazio. Frequentemente conjuntos consistem de elementos que satisfazem alguma condição ou possuem determinada propriedade, neste caso, podemos definir tais conjuntos como Exemplos

2 Na Matemática alguns conjuntos aparecem tão frequentemente que possuem uma notação especial, estes conjuntos são os dos números: Naturais representados por ; Inteiros representados por ; Racionais representados por ; Reais representados por ; Complexos representados por. Subconjuntos Um conjunto A é chamado de subconjunto de B, se todo elemento de A também pertencem a B. Se A é um subconjunto de B, escrevemos Se um conjunto C não é um subconjunto de D, escrevemos. Se e então temos. Qualquer que seja A, temos e. O conjunto que consiste de todos os subconjuntos de é chamado de conjunto das partes de. Por exemplo: Se }, então. Quando A possui elementos possuirá elementos. Operaço es entre Conjuntos A união de dois conjuntos A e B, denotada por pertencem à ou., é o conjunto de todos os elementos que

3 A intersecção de dois conjuntos A e B, denotada por pertencem a ambos A e B., é o conjunto de todos os elementos Se dois conjuntos A e B, não possuem elementos em comum, então de conjuntos disjuntos. e A e b são chamados A diferença de dois conjuntos A e B (também denotada por ) é definida por: Suponha que estejamos trabalhando com certo conjunto universo conjunto A, denotado por, é:. O complemento de um

4 A diferença simétrica de dois conjuntos A e B, denotada por, é definida por: Princí pio da Inclusa o-exclusa o A cardinalidade do conjunto, denotada por, é a quantidade de elementos que o elemento possui. Por exemplo Se, então, Temos que: e O princípio da Inclusão exclusão é uma fórmula para contar o número de elementos que pertencem à união de vários conjuntos. Veremos esta fórmula para dois e três conjuntos:

5 Sí mbolos

6 Questo es 01 - Num grupo de 120 pessoas sabe-se que 72 gostam de jogar basquete, 65 gostam de jogar futebol e 53 gostam dos dois. Nessas circunstâncias, é correto afirmar que: a) 21 pessoas gostam somente de jogar basquete. b) 14 pessoas gostam de jogar somente futebol. c) O total de pessoas que gostam de somente um dos dois é igual a 33. d) 36 pessoas não gostam nem de basquete e nem de futebol Um Órgão ofertou para seus funcionários cursos de Editor de Texto, Planilha Eletrônica e Editor de Imagem. O resultado das inscrições foi o seguinte: Quantos funcionários farão, apenas, um curso? a) 130 b) 149 c) 150 d) 217 e) De um grupo de 42 visitantes em um museu, 35 compraram pinturas, 20, esculturas, e 5 não compraram nem pintura nem escultura. Quantos compraram, apenas, pinturas? a) 2 b) 7 c) 15 d) 17 e) 30

7 04 - Considere os seguintes conjuntos: A = { pessoas que praticam esportes } B = { pessoas que são inteligentes } C = { pessoas que são saudáveis } A afirmação toda pessoa que pratica esporte é inteligente e saudável é mais bem representada pelo seguinte diagrama: a) b) c) d) 05 - Em relação aos conjuntos A, B e C e a um total de 58 elementos que pertencem a eles, sabe-se: que nenhum elemento pertence simultaneamente aos três conjuntos; que 13 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B; que 3 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos A e C; que 2 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos B e C; que o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto C é 5 unidades a mais do que aqueles que pertencem apenas ao conjunto B; que o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto A é 1 unidade a menos do que aqueles que pertencem apenas ao conjunto B. O número de elementos que pertencem apenas ao conjunto C é igual a a) 46. b) 31. c) 24. d) 17. e) 12.

8 06 - Os doutores de Barsan são médicos, advogados ou engenheiros, mas nunca são os três ao mesmo tempo. São 8 os engenheiros que também são advogados, e um a menos do que esses 8 são os médicos que também são engenheiros. Três doutores são especialistas em apenas uma das áreas, um em cada uma das áreas. Sabendo-se que em Barsan há 27 doutores, o número de advogados supera o número de engenheiros em a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) Uma pesquisa sobre o acesso à informação, feita com 999 pessoas de uma cidade, identificou que 700 usavam rádio, 400, jornal e 250, internet. Entre as pessoas que usavam duas dessas três fontes de acesso, foi identificado que o número delas era igual nas três combinações possíveis. Sabendo-se que 50 dessas pessoas não utilizam nenhum dos meios citados, e que 70 pessoas dessa pesquisa usam os três meios, o número dessas pessoas que acessam informação pelo rádio, mas não a acessam nem pela internet e nem pelo jornal, é igual a a) 456. b) 460. c) 474. d) 488. e) Em um colégio com 300 alunos, 180 estudam inglês e 160 estudam espanhol. Quantos alunos estudam simultaneamente os dois idiomas? a) 20. b) 40. c) 60. d) Em uma pequena cidade, circulam apenas dois jornais diferentes. O jornal A e o jornal B. Uma pesquisa realizada com os moradores dessa cidade mostrou que 33% lê o jornal A, 45% lê o jornal B, e 7% leem os jornais A e B. Sendo assim, quantos por cento não leem nenhum dos dois jornais? a) 15% b) 25% c) 27% d) 29% e) 35%

9 10 - Em uma escola de 100 alunos, há três recuperações durante o ano, sendo uma em cada trimestre. Em certo ano, 55 alunos ficaram em recuperação no 1º trimestre, 48 no 2º e 40 no 3º. Somente com esses dados, é correto concluir que naquele ano, necessariamente, a) pelo menos 3 alunos ficaram em recuperação no 1º e também no 2º trimestre. b) todos os alunos da escola ficaram em recuperação em, pelo menos, um trimestre. c) 40 alunos ficaram em recuperação em dois trimestres e os demais em um único. d) pelo menos um aluno da escola ficou em recuperação em somente dois trimestres. e) no mínimo 5 e no máximo 40 alunos ficaram em recuperação nos três trimestres O total de alunos de uma escola é igual a 1500, que, em uma pesquisa, afirmaram gostar de matemática ou geografia. Qual é o número de alunos que gostam de matemática, sabendo-se que 800 alunos gostam apenas de geografia e 200 alunos gostam das 2 disciplinas (matemática e geografia) ao mesmo tempo? a) 700 b) 500 c) 900 d) 1300 e) Em uma entrevista para saber se as pessoas utilizariam os produtos A, B ou C, chegou-se a seguinte conclusão: 229 pessoas utilizariam o produto A, 223 utilizariam o produto B, 196 utilizariam o produto C, 79 utilizariam os produtos A e B, 89 os produtos A e C, 69 os produtos B e C, 37 os três produtos e 53 nenhum dos três. Nessas condições, é correto afirmar que: a) 275 pessoas utilizariam somente um dos produtos. b) 112 pessoas utilizariam somente o produto C. c) 225 pessoas utilizariam os produtos A e C, mas não utilizariam o produto B d) 500 pessoas foram entrevistadas

10 13 - No diagrama, observe os conjuntos A, B e C, as intersecções entre A e B e entre B e C, e a quantidade de elementos que pertencem a cada uma das intersecções. Sabe-se que pertence apenas ao conjunto A o dobro do número de elementos que pertencem à intersecção entre A e B. Sabe-se que pertence, apenas ao conjunto C, o dobro do número de elementos que pertencem à intersecção entre B e C. Sabe-se que o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto B é igual à metade da soma da quantidade de elementos que pertencem à intersecção de A e B, com a quantidade de elementos da intersecção entre B e C. Dessa maneira, pode-se afirmar corretamente que o número total de elementos dos conjuntos A, B e C é igual a a) 90. b) 108. c) 126. d) 162. e) O diagrama a seguir apresenta três conjuntos, A, B e C, assim como suas respectivas intersecções. Todas as regiões do diagrama estão numeradas e possuem elementos. A região I possui 5 elementos, a região II possui 10 elementos, a região III possui 15 elementos, a região IV possui 20 elementos, a região V possui 25 elementos, a região VI possui 30 elementos e a região VII possui 35 elementos. O número de elementos de C, que não são elementos de A, supera o número de elementos de A, que não são elementos de B, em uma quantidade igual a a) 25. b) 20. c) 15. d) 10. e) 5.

11 15- O diagrama mostra a distribuição dos amigos de Leônidas, dos amigos do Friaça e dos amigos do Almir. São 3 os amigos apenas do Almir. São 6 os amigos do Almir que também são amigos do Friaça. Amigos apenas do Friaça são 3 a mais que todos os amigos do Almir. Amigos do Friaça e do Leônidas são o dobro daqueles que só são amigos do Friaça. Amigos apenas do Leônidas são a metade dos amigos que são apenas amigos do Friaça. Veja a figura. Com base nessas informações, pode-se afirmar corretamente que a) Leônidas é o que tem mais amigos. b) os amigos que Friaça tem a mais do que Leônidas são 6. c) a quantidade total desses amigos é de 81. d) a quantidade de amigos apenas do Leônidas é o dobro da quantidade de amigos apenas do Almir. e) a quantidade de todos os amigos do Almir somada com a quantidade de todos os amigos do Leônidas equivale exatamente à metade de todos os amigos do Friaça Considere verdadeiras todas as afirmações a seguir sobre os grupos A, B e C de profissionais de um estabelecimento bancário: I. O Grupo A tem 12 elementos. II. O Grupo B tem 11 elementos. III. O grupo C tem 10 elementos. IV. Apenas Ana Lúcia faz parte dos três Grupos, e todos os demais profissionais fazem parte exatamente de um Grupo. Decorre dessas afirmações que o número total de elementos da união desses três Grupos é a) 31. b) 33. c) 32. d) 30. e) 34.

12 17 - Observe os conjuntos abaixo: A = {1,5,6,7} B = {2,5,6,8} C = {1,5,6} Os conjuntos (A B) e (A a) {5,6} e {1,5,6,7} b) {1,5,6} e {1,2,5,6,7} c) {7} e {1,5,6,7} d) {1,5,6,7} e {1,5,7} e) {1,2,5,6,7,8} e {1,5,6} C) valem, respectivamente: 18 - Foi realizada uma pesquisa, com um grupo de pessoas, envolvendo a preferência por até duas marcas de carros dentre as marcas C 1, C 2 e C 3. A pesquisa apresentou os seguintes dados: - 59 preferem a marca C preferem a marca C preferem a marca C preferem as marcas C 1 e C preferem as marcas C 1 e C 3-23 preferem as marcas C 2 e C 3-49 não preferem nenhuma das três marcas. O número de pessoas que preferem apenas a marca C 2 é igual a: a) 0. b) 15. c) 25. d) 40.

13 19 - Considere-se que os livros X, Y, Z e W foram indicados como referência bibliográfica para a matéria de raciocínio lógico em determinado concurso. Uma pesquisa realizada com 500 candidatos que se preparavam para esse concurso mostrou que: 40 candidatos usaram apenas o livro X 60 candidatos usaram apenas o livro Y 75 candidatos usaram apenas o livro Z 20 candidatos usaram apenas o livro W 70 candidatos usaram os livros X e Y 70 candidatos usaram os livros X e Z 100 candidatos usaram os livros Y e Z 5 candidatos usaram os livros Y e W 100 candidatos não usaram nenhum dos 4 livros Sabendo-se que os candidatos que usaram o livro W não usaram os livros X e Z, então o número de candidatos que se prepararam utilizando os três livros X, Y e Z é de: a) 10 b) 15 c) 20 d) Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, - 20 alunos praticam vôlei e basquete; - 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; - 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; - o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; - 17 alunos praticam futebol e vôlei; - 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a a) 93. b) 110. c) 103. d) 99. e) 114.

14 Gabarito 01:d 02:c 03:d 04:a 05:d 06:b 07:a 08:b 09:d 10:a 11:a 12:c 13:c 14:d 15:d 16:a 17:a 18:a 19:c 20:d