Capítulo 2 Noções de conjuntos

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1 THE BRIDGEMAN/KEYSTONE Capítulo 2 Noções de conjuntos X SAIR

2 Para representar o conjunto A formado pelos números naturais de 0 a 10, podem-se utilizar três possibilidades: 1ª forma: pela citação dos elementos. A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 2ª forma: por uma propriedade: A={Xϵ IN/ 0 x 10} 3ª forma: pelo diagrama de venn:

3 Definição Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas; Ex: A = {1, 2, 3}, está entre chaves Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas. Ex: 1, 2, 3 não tem chaves

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11 Igualdade de conjuntos Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Ex: {1, 2} = {1, 1, 1, 2, 2, 2} OBS: A quantidade de vezes que os elementos dos conjuntos aparem não importa.

12 Qual a diferença entre os conjuntos citados abaixo: A C B D x x IN x IR / 0 x 10 / 0 x 10 IN */ 0 x 10 x IN / 0 x 10 E qual a diferença entre esses conjuntos aí: A x / 5 x 5 x * / 5 x 5 C x / 5 x 5 B

13 diz-se que o conjunto A é subconjunto do conjunto B se todos os elementos de A estiverem em B Observações: *todo conjunto é subconjunto dele mesmo. *o conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto.

14 Quais são os subconjuntos de A = {0,1} Ø,{0}, {1},{0,1} Quais são os subconjuntos de A = {0,1,2} Ø,{0}, {1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2} Quais são os subconjuntos de A = {0,1,2,3} Ø,{0}, {1},{2},{3},{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3}, {0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},{0,1,2,3}

15 CONJUNTO DAS PARTES O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de A, denotado por P(A) ou 2 A. Se S é o conjunto de três elementos {x, y, z} a lista completa de subconjuntos de S é: { } (conjunto vazio); {x}; {y}; {z}; {x, y}; {x, z}; {y, z}; {x, y, z}; e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8 elementos: P(S) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}.

16 e l e m e n t o, d e p o i s t o d o s o s s u b c o n j u n t o s c o m d o i s e l e m e n t o s, e a s s i m p o r d i a n t e. S e A = { 1, 2, 3 }, e n t ã o P ( A ) = {, S e o c o n j u n t o A Conjunto das partes ou potência Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, P(A), como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A). Uma maneira prática de determinar P(A) é pensar em todos os subconjuntos com um Exemplo: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }. Observação: tem n elementos, o conjunto P(A) terá 2 n elementos. Ou seja: P(A) = 2 n

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21 Operações com Conjuntos.

22 UNIÃO ENTRE CONJUNTOS Conjunto formado pelos elementos de outros conjuntos já pré-existentes. Ex: A = {1,2,3} B = {3,4,5} AUB = {1,2,3,4,5}

23 INTERSEÇÃO ENTRE CONJUNTOS Conjunto formado pelos elementos Comuns a outros conjuntos pré-existentes. Ex: A = {1,2,3} A = {1,2,3,4,5} B = {3,4,5} B = {7,8,9,10} A B = {3} A B = Ø

24 Conjuntos disjuntos: São conjuntos que não possuem interseção... n(aub) = n(a) + n(b)

25 Se houver interseção temos:... n(aub) = n(a) + n(b) n(a B)

26 SUBTRAÇÃO ENTRE CONJUNTOS Conjunto formado Pela retirada dos elementos comuns do Conjunto que está sendo subtraído. Ex: A = {1,2,3} A = {1,2,3} B = {3,4,5} B = {3,4,5} A-B = {1,2} B-A = {4,5} Em conjuntos disjuntos a subtração não altera o conjunto de referência... EX: A B =A

27 Conjunto complementar:dados dois conjuntos A e B, o complementar de B em relação a A é A- B,estabelecidas as seguintes condições: 1º) B deve ser subconjunto de A; 2º) CAB = A-B ex: A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6} CAB = {1,2,3,4}

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29 Representação de partes de conjuntos

30 Questões de vestibulares

31 (UFF) Os conjuntos S, T e P são tais que todo elemento de S é elemento de T ou P. O diagrama que pode representar esses conjuntos é: Solução: Como S é elemento de T ou P então S deve estar completamente inserido nos conjuntos T e P. A letra que descreve ela situação é a letra D.

32 (PUC) Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: N = { 0,1,2,3,4,...} P = { x N / 6 x 20 } A = { x P / x é par } B = { x P / x é divisor de 48 } C = { x P / x é múltiplo de 5 } O número de elementos do conjunto (A - B) C é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Solução: Primeiramente devemos descreve os conjuntos A,B e C: A B 6,8,12,16 10,15,20 C A B 6,8,10,12,14,16,18,20 Observe que: 10,14,18,20 Sendo assim: ( A B) C 10,20

33 (MACKENZIE) A e B são dois conjuntos tais que A-B tem 30 elementos, A B tem 10 elementos e A B tem 48 elementos. Então o número de elementos de B-A é: a) 8 b) 10 c) 12 d) 18 e) 22 Observe que: Como AUB tem 48 elementos é fácil Concluir que n(a B) = 48 (30+10) = A B A B B A

34 Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Matemática, 210 estudam Física e 90 deles estudam as duas matérias. Pergunta-se: a) Quantos alunos estudam apenas Matemática? b) Quantos alunos estudam apenas Física? c) Quantos alunos estudam Matemática ou Física? d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias? U=630 M F x = x = 630 x x = 160 Logo: a) 260 b) 120 c) 470 d)160

35 (UFPB-07) Os 40 alunos de uma turma da 4ª série de uma escola de Ensino Fundamental foram a um supermercado fazer compras. Após 30 minutos no supermercado, a professora reuniu os alunos e percebeu que exatamente: 19 alunos compraram biscoitos. 24 alunos compraram refrigerantes. 7 alunos não compraram biscoitos nem refrigerantes. O número de alunos que compraram biscoitos e refrigerantes foi: a) 17 b) 15 c) 12 d) 10 e) 7 Utilizando o diagrama de venn temos: B 19-x x 24-x R Somando todos os termos e igualando A 40 temos: 19 x x 24 x x 40 x 10 7

36 Numa escola há n alunos. Sabe-se que : 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem aos jornais A e B, 106 lêem apenas um dos jornais, 66 não lêem o jornal B Determine o valor de n 35 + x = 106 x = y = 66 y = 31 U= n n = A B n = x 71 y 31 LOGO : Há na escola 158 alunos

37 Feito um exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas têm sangue com fator Rh negativo, 65 têm sangue tipo O e 25 têm tipo O com fator Rh negativo. Determine o número de pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator Rh positivo. U=200 Rh _ Tipo O x = x = 200 X = 80 (Resposta) x

38 Na comunidade universitária são lidos dois jornais A e B. Verificou-se que exatamente 75 % dos alunos lêem o jornal A e 60 % o jornal B. Sabendo-seque todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine quantos por cento dos alunos lêem ambos. 75% - x + x + 60% - x = 100% U=100% 135% - x = 100% A B -x = -35% x 75% - x 60% - x X = 35% (Resposta)

39 De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferâncias em assistir aos campeonatos de corrida pela televisão, foram colhidos os seguintes dados: 55 dos entrevistados não assistem. 101 assistem às corridas de Fórmula 1 27 assistem às corridas de Fórmula 1 e motovelocidade. Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, Às corridas de motovelocidade x+55 = 200 U= x = 200 F M x = x X = 44 pessoas 55

40 Numa pesquisa, sobre a preferência entre 2 produtos, foram, entrevistadas 320 pessoas e chegou-se ao seguinte resultado: 210 preferiam o produto A 190 preferiam o produto B 45 nenhum dos dois. Portanto o total de entrevistados que preferiam somente um dos produtos foi de: a) 150 b) 125 c) 35 d) 85 U=320 A B x + x x + 45= x x 190- x x = 320 X = =150 pessoas

41 Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos: A,B e C. Os resultados indicaram que: Produto A B C A e B A e C B e C A,B e C nenhum Pessoas U Total = A 100 Total = 610 pessoas 40 B C 100 Logo: 610 pessoas foram entrevistadas

42 (Ufersa) A coordenação de esportes da UFERSA numa pesquisa entre seus alunos que praticavam futebol, vôlei, ou basquete, verificou que 110 alunos praticavam basquete; 130 praticavam vôlei; 150 praticavam futebol; 30 praticavam basquete e vôlei; 40 praticavam basquete e futebol; 50 praticavam vôlei e futebol e 10 praticavam os três esportes. Qual o número de alunos que praticam apenas futebol? A) 70 B) 50. C) 30. D) 10 F 70 V B Logo 70pessoas praticam apenas futebol.

43 Um instituto de opinião pública pesquisou 800 alunos de uma faculdade sobre a preferência pela leitura das revistas A, B e C, obtendo o seguinte resultado: O número de leitores das três revistas é a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 Utilizando o diagrama de venn temos: A 90 x Como B tem 3500 elementos Temos que Essa parte equivale a: 350 (x+100-x+90-x) B x x Somando todos os termos e Igualando a 800 temos: 730 x 800 x x x 190 x 110 x C x 110 x 100 x 90 x 80 x 190 x 160 x x

44 (PUC) O diagrama em que está sombreado o conjunto (A C)-(A B) é:

45 O diagrama Abaixo representa o conjunto: A) (B A) C.. B) [(A B) (AU C)]. C) (A U C) B. D) (A U B) (A U C)

46 (F.M. Itajubá-MG) Com relação a parte sombreada do diagrama, é correto afirmar que: a) A (B C) b) A (B C) c) A (B C) d) A (C B) e) Nenhuma das respostas anteriores.

47 É um passaro?

48 É um avião?

49 É o superman?

50 Não!!!!

51 É o EudesMan!

52 OBRIGAD0 PELA ATENÇÃO!!!

53 FUI 127