Interruptores e Conjuntos

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1 aula 03 (Lógica) Sistemas Dicotômicos, Interruptores e Conjuntos Professor: Renê Furtado Felix [email protected] Site:

2 Sistemas Dicotômicos Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 2

3 Sistemas Dicotômicos O mundo em que vivemos apresenta situações com dois estados apenas, que naturalmente se excluem, algumas das quais tabelamos a seguir: Há situações como morno e tépido, diferentes tonalidades de vermelho, etc. 1 0 Sim Não Que não apresentam como estritamente dicotômicos, ou seja, com dois estados excludentes bem definidos. Preto Ligado Branco Desligado Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 3

4 Interruptores Sistemas Dicotômicos Chamamos interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um circuito elétrico, que pode assumir dois estados: fechado (1) ou aberto (0). Quando fechado o interruptor permite que a corrente passe através do ponto, enquanto aberto nenhuma corrente pode passar pelo ponto. Condutor por onde passa corrente elétrica. Um interruptor aberto quando a está fechado e fechado quando a está aberto chama-se complemento (inverso ou negação) de a, e denota-se por a. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 4

5 Interruptores Sistemas Dicotômicos Sejam a e b dois interruptores ligados em paralelo. Numa ligação em paralelo, só passará corrente se pelo menos um dos interruptores estiver fechado. Denotaremos a ligação de dois interruptores a e b em paralelo por a + b. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 5

6 Interruptores Sistemas Dicotômicos Sejam a e b dois interruptores ligados em série. Numa ligação deste tipo, só passará corrente se ambos os interruptores estiverem fechado, isto é, se a = b = 1. Denotaremos a ligação de dois interruptores a e b em série por a * b, ou simplesmente ab. Então: Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 6

7 Sistemas Dicotômicos Interruptores Assim, considerando os estados possíveis de serem assumidos pelos interruptores nas ligações em série e em paralelo, podemos notar que: = 0 0 * 0 = = 1 0 * 1 = = 1 1 * 0 = = 1 1 * 1 = 1 a + b = b + a a * b = b * a a + a = 1 a * a = 0 a + 0 = a a * 0 = 0 a + 1 = 1 a * 1 = a Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 7

8 Interruptores Sistemas Dicotômicos Todas estas equações podem ser verificadas desenhando-se o circuito apropriado. As ligações de: São a * (b + c) e (a * b) + (a * c), respectivamente. Os circuitos estão ambos abertos se a = 0 ou b = c = 0, e estão ambos fechados se a = 1 e (b = 1 ou c = 1); logo suas ligações são iguais. Então: a * (b + c) = (a * b) + (a * c). Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 8

9 Interruptores Sistemas Dicotômicos Todas estas equações podem ser verificadas desenhando-se o circuito apropriado. As ligações de: São a + (c * c) e (a + b) * (a + c), respectivamente. Os circuitos estão ambos abertos se a = 0 e (b = 0 ou c = 0), e ambos fechados se a = 1 ou b = c = 1; logo, suas ligações são iguais. Então: a + (b * c) = (a + b) * (a + c). Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 9

10 Interruptores Sistemas Dicotômicos Exemplos: Determinar a ligação do seguinte circuito: Solução: (a + b) * c + (n * p) Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 10

11 Sistemas Dicotômicos Interruptores Desenhar os circuitos cujas ligações são: p * (p + q * p) (x + y ) * (x + y) Solução a) Solução b) Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 11

12 Interruptores - Pratique!!!!! Sistemas Dicotômicos a) a (b + c) d c) a (b + c d) b) (a b + c d) + p q d) a + b c d Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 12

13 C.O.N.J.U.N.T.O.S. A Noção de Conjunto Sistemas Dicotômicos Em todas as fontes consultadas, a definição de CONJUNTO não é assertiva, mas partem da noção intuitiva do ser humano. Sendo assim, entendemos que a noção de conjunto parte da concepção que: a) os itens que compõem um conjunto são chamados de elementos. b) os elementos, ainda que mais diferentes entre si, possuem, ao menos, uma característica similar que os una e faça pertencer a este conjunto. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 13

14 C.O.N.J.U.N.T.O.S. Sistemas Dicotômicos A teoria dos conjuntos foi estabelecida por Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor ( ). Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 14

15 C.O.N.J.U.N.T.O.S. Teoria dos Conjuntos Sistemas Dicotômicos Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo pertence ou não pertence. Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves {e}. Ex.: A = {a,e,i,o,u}. Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. Ex.: A = {x/x é uma vogal}. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 15

16 Conjuntos de Venn - Euler: Propriedades dos conjuntos Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 16

17 Propriedades dos conjuntos Conjuntos de Venn - Euler: Representação de conjunto único Números Naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6). Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 17

18 Propriedades dos conjuntos Conjuntos de Venn: Relação entre dois conjuntos: A e B. A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) B = (5, 6, 7, 8, 9, 10) Símbolos U = União. = intersecção AUB = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) A B = (5, 6) Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 18

19 Subconjuntos: Propriedades dos conjuntos Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por AB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o super conjunto que contém A. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 19

20 Propriedades dos conjuntos Alguns conjuntos especiais: Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 20

21 Propriedades dos conjuntos Reunião dos conjuntos: A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então AB={a,e,i,o,3,4}. Interseção de conjuntos A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então AB=Ø. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 21

22 Propriedades dos conjuntos Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que: A υ A = A e A A = A Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 22

23 Propriedades dos conjuntos Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 23

24 Propriedades dos conjuntos Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, temse que: Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 24

25 Propriedades dos conjuntos Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 25

26 Propriedades dos conjuntos Os gráficos abaixo mostram a distributividade. Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 26

27 Propriedades dos conjuntos Conjuntos de Venn: Exercícios em sala de aula. Numa pesquisa feita com 1000 famílias para verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 assistem ao programa C. Sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C e 10 assistem aos três programas. a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas? b)quantas famílias assistem somente ao programa A? c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B? Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 27

28 Propriedades dos conjuntos Começa-se o diagrama pela intercecção dos três conjuntos, colocando o número de famílias que assistem aos três programas no centro do diagrama. A partir desse passo, inserem-se os valores que completam o total de famílias que assistem a dois dos programas e, por fim, completam-se os valores de cada conjunto individualmente. Vê-se o diagrama de Venn-Euler: Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 28

29 Explica-se o Diagrama de Venn-Euler: Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 29

30 Resolução do exercício Conclui-se que 54 famílias das entrevistadas, não assistem a nenhum dos programas. Percebe-se, facilmente, a seguinte Lei: Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 30

31 LÓGICA Aula de Lógica - Professor Renê F Felix 31

32 Lógica "Se a escravatura não é má, nada é mau. Abraham Lincoln Aula de lógica - Professor Renê F Felix 32