Teoria dos Conjuntos FBV. Prof. Rossini Bezerra

Transcrição

1 Teoria dos onjuntos FV Prof. Rossini ezerra

2 Os resultados do trabalho de Georg Ferdinand Ludwing Phillip antor estabeleceram a teoria de conjuntos como uma disciplina matemática completamente desenvolvida e de profundos efeitos de ensino. Esta teoria baseia-se em três noções primitivas que são: onjuntos, Elementos e Relação de pertinência. Introdução

3 Noções Primitivas 2.1. ONJUNTOS: oleções, classes ou agrupamentos de objetos. Obs: devemos indicar um conjunto por uma letra maiúscula de nosso alfabeto (,,, D, E,...) 2.2. ELEMENTOS: é cada objeto de uma coleção. Obs: devemos indicar um elemento por uma letra minúscula de nosso alfabeto (a, b, c, d, e,...) 2.3. RELÇÃO DE PERTINÊNI: (Pertence) Obs: Os símbolos ao lado, são usados para relacionar apenas elementos com conjuntos. (Não pertence)

4 Representação de onjuntos 3.1. Forma Tabular ou Enumerativa: Escrevemos os elementos entre chaves e separados por vírgulas. Exemplo: a) onjunto V das vogais. V {a, e, i, o,u} (conjunto finito) b) onjunto P dos números primos positivos. P {2, 3, 5, 7, 11,...} (conjunto infinito) c) onjunto U dos números pares primos positivos. U {2} d) onjunto G das cores da bandeira brasileira que começam com a letra m. G { }

5 Representação de onjuntos 3.2. Diagrama de Venn: Escrevemos os elementos no interior de uma figura geométrica. Exemplo: a) onjunto V das vogais. V a e o u i b) onjunto P dos números primos positivos. P

6 Representação de onjuntos 3.3. Propriedade aracterística: Representamos o conjunto através de uma propriedade característica de seus elementos. Exemplo: a) onjunto V das vogais. V { x x é vogal} { a, e, i, o, u} b) onjunto P dos números primos positivos. P { x xé número primo positivo} {2,3,5,7,11,...} c) onjunto U dos números pares primos positivos. U { x x é número par primo positivo} {2} d) onjunto Solução S da equação do 1º grau 5x S { x R 5x 10 0} S {2}

7 Dizemos que dois ou mais conjuntos são iguais se eles possuem os mesmos elementos. Exemplo: onjuntos Iguais U { x x é número par primo positivo} {2} S { x R 5x 10 0} S {2} repetição de elementos não altera um conjunto. ssim: {b, c, c, c, d, e, e} {b, c, d, e} ordem dos elementos não altera um conjunto. ssim: {g, o, l} {l, o, g, o} e {f, i, a, t} {f, a, t, i, a}

8 5.1. onjunto Unitário: Tipos de onjuntos É aquele que apresenta um único elemento. Exemplo: a ) V { x R 3x 12 0} {4} b ) U { x x é número par positivo e primo} {2} 5.2. onjunto Vazio: É aquele que não apresenta elemento algum e é indicado por { } ou

9 Tipos de onjuntos Exemplo: D { x N x > 0 e x < 0} { } Um conjunto vazio sempre é dado por uma propriedade logicamente falsa. O conjunto { } representa um conjunto unitário e não um conjunto vazio.

10 onjuntos Universo É aquele que limita os elementos que podem ser soluções de um determinado problema. Exemplo: 2 2 Verifique se os conjuntos { x R 2x 5x + 2 0} e { x N 2x 5x + 2 são iguais. 0}

11 Subconjuntos Dados dois conjuntos e, dizemos que é um subconjunto de se, e somente se, para todo elemento x pertencente ao conjunto, x pertence também a. Podemos dizer a mesma coisa de quatro maneiras diferentes. é subconjunto de. é parte de. está contido em. contém.

12 Subconjuntos Exemplo: Escrever todos os subconjuntos do conjunto {0, 5, 7, 9}. -Subconjunto com nenhum elemento: -Subconjuntos com um elemento: {0}; {5}; {7}; {9} -Subconjuntos com dois elementos: {0,5}; {0,7}; {0,9}; {5,7}; {5,9}; {7;9} -Subconjuntos com três elementos: {0,5,7}; {0,5,9}; {0,7,9}; {5,7,9} -Subconjuntos com quatro elementos: {0,5,7,9} O número total de subconjuntos é igual a 16.

13 onjuntos das Partes onjunto das partes de um conjunto, indicado por P(), é aquele formado por todos subconjuntos que se pode formar a partir do conjunto. Exemplo: Escrever o conjunto das partes de cada conjunto a seguir. a) {a, b, c}. b) F

14 Exercícios Sendo {{1}, {2}, {1,2}} podemos afirmar que: ( ) {1}. ( ) {1}. ( ) {1} {2}. ( D) 2. ( E){1} {2}.

15 ) ( ) ( ) ( } { ) ( ) ( : E D então Temos y x y x sistema do soluções das conjunto o e y x y x sistema do soluções das conjunto o Seja Exercícios

16 Operações entre onjuntos 9.1. União: Dados dois conjuntos e chama-se união (ou reunião) entre e ao conjunto formado pelos elementos de ou. { x x ou x } Exemplo: {0, 2, 4, 6, 7, 8} {3, 4, 6, 9} {0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}

17 Operações entre onjuntos Diagramas de Venn representativos da união entre e. log o, log o,

18 Operações entre onjuntos 9.2. Intersecção: Dados dois conjuntos e chama-se intersecção entre e ao conjunto formado pelos elementos comuns entre e, isto é, pelos elementos que Pertencem ao conjunto e ao conjunto. { x x e x } Exemplo: {0, 2, 4, 6, 7, 8} {3, 4, 6, 9} {4, 6}

19 Operações entre onjuntos Diagramas de Venn representativos da intersecção entre e. log o, log o,

20 Operações entre onjuntos 9.3. Diferença: Dados dois conjuntos e chama-se diferença entre e ao conjunto formado pelos elementos do conjunto que não pertencem ao conjunto. { x x e x } { x x e x } Exemplo: {0, 2, 4, 6, 7, 8} {3, 4, 6, 9} {0, 2, 7, 8} {3, 9}

21 Operações entre onjuntos Diagramas de Venn representativos de -. log o,

22 Operações entre onjuntos Diagramas de Venn representativos de -. log o,

23 Operações entre onjuntos omplementar: Sejam dois conjuntos e tais que, chama se complementar de em relação a ao conunto., se Exemplo: {0, 2, 4, 6, 7, 8} {4, 6, 7} {0, 2, 8}

24 Operações entre onjuntos Exemplo: {3, 5, 7, 9} {5, 6, 7} omo o conjunto não está contido no conjunto dizemos que o complementar de em relação a não existe. Se Se, dizemos que o complementar, o complementar é vazio : não existe. { }. Se, podemos indicar o complementar de em relação a por..

25 Operações entre onjuntos Diagrama de Venn para

26 Problema envolvendo onjuntos ardinal de um onjunto Fórmula para a Resolução de Problemas. n( ) n( ) + n( ) n( )

27 Problema envolvendo onjuntos Problemas Envolvendo onjuntos. Exemplos: s provas de recuperação em matemática e física de uma escola foram feitas no mesmo dia e durante a prova, observou-se a presença de 42 alunos. Sabendo-se que 25 alunos fizeram a prova de matemática e 32 fizeram a de física, determine: a) O número de alunos que fizeram as duas provas; b) O número de alunos que fizeram apenas a prova de matemática; c) O número de alunos que fizeram apenas a prova de física.

28 Problema envolvendo onjuntos Numa pesquisa sobre a qualidade dos serviços oferecidos pelas empresas de fornecimento de água (), energia elétrica (E) e TV por assinatura (T) de um bairro, obteve-se um grande número de reclamações. tabela a seguir expressa o número de reclamações de 300 entrevistados durante a pesquisa. om base na tabela, determine: a) O número de pessoas que não reclamaram de nenhum serviço; b) O número de entrevistados que reclamaram apenas do serviço oferecido pela empresa de fornecimento de água; c) O número de entrevistados que reclamaram de apenas um serviço; d) O número de entrevistados que reclamaram de pelo menos dois serviços.