Matemática Computacional

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1 Matemática Computacional SLIDE V Professor Júlio Cesar da Silva [email protected] site: facebook: Google+:

2 Intuitivamente, conjunto é a coleção de objetos, que em geral, tem alguma propriedade em comum. NOTAÇÃO: Letras maiúsculas para conjunto Letras minúsculas para elementos do conjunto Para denotar pertinência usaremos o símbolo (pertence) ou (não pertence)

3 Exemplo 1: Se A = {violeta, verde, castanho} então, verde A e azul A.

4 Exercício 1 Sendo o conjunto A = {1,2,3,4} e B = {2, 4}, verifique se: A. 2 A e 2 B? B. 3 A ou 3 B? C. 5 A? D. 5 B?

5 Os elementos de um conjunto não precisam ser ordenados, {a,b,c,d,e} = { c,e,a,d,b}. Dois conjuntos são iguais se (se e somente se) contém os mesmos elementos. Notação lógica:

6 Conjunto finito - é conjunto que conseguimos identificar todos os elementos. Exemplo: Conjunto dos dias de semana. Q = { segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado, domingo} Conjunto infinito é o conjunto que não conseguimos identificar todos os elementos. Exemplo:Conjunto dos inteiros positivos pares. Z* + = {2,4,6,8,...}

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9 O que fazer com os números complexos? Faça computação gráfica 3D! Fonte:

10 Exercício 2 Liste os elementos dos seguintes conjuntos: A. F= {x IN / x < 9 } B. G = { X Z / x >2, x é impar} C. H = { x IN / x > 3, x é par }

11 RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS Para A = {2, 3, 5,12} e B = {2, 3, 4, 5, 9, 12}, todo elemento de A é elemento de B. Quando isso acontece dizemos que A é subconjunto de B. Escreve-se A B. Se A B e A= B (existe pelo menos um elemento de B que não pertence a A), então podemos dizer que A B (A está contido em B ). Usamos o para relacionar conjuntos, dizendo se um está ou não contundido no outro. Usamos o para uma relação de subjconjunto.

12 Exercício 3: Sejam os conjuntos: A={x/ x N e x 5}, B={10,12,16,20}, C={x/ ( y)(y N e x = 2y)} Quais das proposições a seguir são verdadeiras?

13 CONJUNTOS DE CONJUNTOS Para um conjunto S, podemos formar um novo conjunto cujos elementos são os subconjuntos de S. Esse novo conjunto é chamado de conjunto das partes de S e é denotado por (S).

14 Para S = {0, 1}, (S) = {, {0}, {1}, {0,1} }. Note que os elementos do conjunto das partes de um conjunto são conjuntos. Para qualquer conjunto S, como elementos. (S) sempre tem pelo menos, e S Observe que S tem 2 elementos, e (S) tem 4 elementos. Podemos encontrar o número de elementos de um conjunto das partes de S usando 2 n, onde n é o número de elementos de S.

15 Exercício 4 Sendo A = {1,2,3} e B = {x/ x>5 e x < 10} determine os conjuntos das partes ou, conjunto potencia de A e de B.

16 OPERAÇÕES BINÁRIAS E UNÁRIAS Quando subtraímos dois elementos de um conjunto encontramos um terceiro elemento, esta operação é conhecida como binária. A negação age em um inteiro, portanto é uma operação unária.

17 União entre conjuntos Se temos dois conjuntos A e B podemos combinar seus elementos de forma a unir os conteúdos: A = {1,2} e B = {2,3,5} A U B = {1,2,3,5} ou A U B = {x x A ou x B} A união (U) é obtida pela combinação de todos os elementos de A e B em um único conjunto.

18 A interseção de A e B, escrita como A B, é o conjunto e elementos que estão ambos. A={7,21} e B= {7,21,57} logo A B = {7,21} Qual a regra para A B = {x?} Caso A B = os dois conjuntos são ditos como disjuntos.

19 Diagrama de Venn Na matemática é frequente o uso de um desejo para ajudar a esclarecer um conjunto. Para conjuntos, usamos um tipo de desenho chamado diagrama de Venn. Ele representa os conjuntos como regiões delimitadas por linhas circulares.

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21 A A B B

22 Exercício 5 Sejam A = {1,3,5,7,9} e B = {3,5,6,10,11}. Defina: A B A B Represente as respostas anteriores no Diagrama de Venn

23 Complemento de um Conjunto

24 Subtração entre conjuntos Lógica dos Conjuntos

25 Exercício 7 Sejam os conjuntos abaixo subconjuntos de S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}: A = {1, 2, 3, 5, 10} B = {2, 4, 7, 8, 9} C = {5, 8, 10} Encontre: a. A B b. A C c. B (A C)

26 Lógica de conjuntos O Cálculo Proposicional e a Álgebra dos conjuntos possuem estruturas semelhantes. Toda fórmula do Cálculo Proposicional determina uma operação correspondente entre conjuntos: - Negação (~) corresponde à complementação ( ) - Conjunção ( ) corresponde à interseção ( ) - Disjunção ( V ) corresponde à união ( ) As variáveis proposicionais podem servir como variáveis simbolizando conjunto na nova expressão: - Exemplo: ((p V q) ~p) corresponde a ( (p q) p )

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28 Exercício 8 Identifique se o conjunto é finito ou infinito: A. Conjunto dos números maiores que cinco B. Conjunto dos números pares maiores que cinco C. Conjunto dos números pares maiores que cinco e menor que dez D. Conjunto dos números pares maiores que cinco e que sejam iguais ao conjunto dos números menores que 100.

29 DESAFIOS1: Considere os conjuntos M e N tais que M N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M N = {1, 2} e N M = {3, 4}. Assinale a alternativa correta. a) M = {1, 2, 3} b) M = {1, 2, 5, 6} c) N = {1, 2, 4} d) N = {1, 2} e) M = {1, 2, 3, 4}

30 DESAFIOS: Considere os conjuntos M e N tais que M N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M N = {1, 2} e N M = {3, 4}. Assinale a alternativa correta. a) M = {1, 2, 3} b) M = {1, 2, 5, 6} (RESPOSTA) c) N = {1, 2, 4} d) N = {1, 2} e) M = {1, 2, 3, 4}

31 Os muçulmanos sequer se limitam aos países de etnia árabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a maior concentração de muçulmanos do mundo encontra-se na Indonésia, que não é um país de etnia árabe. (Adaptado da Superinteressante, Ed. 169) Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M o conjunto de todas aquelas que são muçulmanos e A o conjunto de todas aquelas que são árabes. Sabendo que nem toda pessoa que é muçulmana é árabe, pode-se representar o conjunto de pessoas do mundo que não são muçulmanas nem árabes por: a) T (A M) b) T A c) T (A M) d) (A M) (M A) e) M A

32 Os muçulmanos sequer se limitam aos países de etnia árabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a maior concentração de muçulmanos do mundo encontra-se na Indonésia, que não é um país de etnia árabe. (Adaptado da Superinteressante, Ed. 169) Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M o conjunto de todas aquelas que são muçulmanos e A o conjunto de todas aquelas que são árabes. Sabendo que nem toda pessoa que é muçulmana é árabe, pode-se representar o conjunto de pessoas do mundo que não são muçulmanas nem árabes por: a) T (A M) b) T A c) T (A M) (RESPOSTA) d) (A M) (M A) e) M A

33 Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, verificou-se o seguinte: têm casa própria: 38 / têm curso superior: 42 / têm plano de saúde: 70 têm casa própria e plano de saúde: 34 / têm casa própria e curso superior: 17 / têm curso superior e plano de saúde: 24 têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15 Qual a porcentagem dos empregados que não se enquadram em nenhuma das situações anteriores? (Sugestão: utilize o diagrama de VENN) a) 25% b) 30% c) 35% d) 40% e) 45%

34 Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, verificou-se o seguinte: têm casa própria: 38 / têm curso superior: 42 / têm plano de saúde: 70 têm casa própria e plano de saúde: 34 / têm casa própria e curso superior: 17 / têm curso superior e plano de saúde: 24 têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15 Qual a porcentagem dos empregados que não se enquadram em nenhuma das situações anteriores? (Sugestão: utilize o diagrama de VENN) a) 25% (RESPOSTA) b) 30% c) 35% d) 40% e) 45%

35 João e Maria formam um casal muito estranho. Maria mente aos domingos, segundas e terças- feiras, dizendo verdade nos demais dias. Já João mente às quartas, quintas e sextas-feiras, dizendo verdade nos outros dias. Em certo dia, ambos declararam: ontem foi dia de mentir. Qual foi o dia da semana dessa declaração? A) segunda-feira B) terça-feira C) quarta-feira D) quinta-feira E) sábado

36 João e Maria formam um casal muito estranho. Maria mente aos domingos, segundas e terças- feiras, dizendo verdade nos demais dias. Já João mente às quartas, quintas e sextas-feiras, dizendo verdade nos outros dias. Em certo dia, ambos declararam: ontem foi dia de mentir. Qual foi o dia da semana dessa declaração? A) segunda-feira B) terça-feira C) quarta-feira (RESPOSTA) D) quinta-feira E) sábado

37 João não estudou para a prova de matemática; por conta disso, não entendeu o enunciado da primeira questão. A questão era de múltilpla escolha e tinha as seguintes opções: A) O problema tem duas soluções, ambas positivas. B) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra negativa. C) O problema tem mais de uma solução. D) o problema tem pelo menos uma solução. E) o problema tem exatamente uma solução positiva. João sabia que só havia uma opção correta. Ele pensou um pouco e cravou a resposta certa. Determine a escolha feita por João. Justifique sua escolha.

38 João não estudou para a prova de matemática; por conta disso, não entendeu o enunciado da primeira questão. A questão era de múltilpla escolha e tinha as seguintes opções: A) O problema tem duas soluções, ambas positivas. B) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra negativa. C) O problema tem mais de uma solução. D) o problema tem pelo menos uma solução. E) o problema tem exatamente uma solução positiva. João sabia que só havia uma opção correta. Ele pensou um pouco e cravou a resposta certa. Determine a escolha feita por João. Justifique sua escolha. Resposta: D, pois existe apenas uma opção correta e qualquer opção diferente da D sendo verdadeira, outra (a D) também será verdadeira. O problema tendo uma só solução e negativa, somente a opção D

39 Paradoxos Considere o conjunto Z = {x/ x x}. É verdade que Z Z? Este é o paradoxo do barbeiro de Bertrand Russel para analisar a teoria de conjuntos de Bertrand Russel. Podemos escrever assim também: numa vila mora um barbeiro que barbeira todos e somente aqueles moradores que não barbeiam a si mesmos. O barbeiro se barbeia?

40 Leia a carta de Fermat a René Descartes que se encontra no site do professor. A. Analise os argumentos e defina a sua posição diante do fato sugerido por Fermat. B. Pesquise qual foi a isenção de Fermat ao sugerir que a carta fosse apresentada a Blaise Pascal.

41 Bibliografia