Fundamentos 1. Lógica de Predicados
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- Vinícius Freire
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1 Fundamentos 1 Lógica de Predicados
2 Predicados Estudamos até agora a lógica proposicional
3 Predicados Estudamos até agora a lógica proposicional A lógica proposicional têm possibilidade limitada de expressão.
4 Predicados Estudamos até agora a lógica proposicional A lógica proposicional têm possibilidade limitada de expressão. Exemplo: Todo computador conectado à rede da universidade está funcionando adequadamente Devemos usar a lógica de predicados para expressar adequada mente
5 Lógica de Predicados Expressa adequadamente o significado das proposições em matemática e em linguagem natural. Exemplo: Existe um computador na rede da universidade que está sob o ataque de um hacker.
6 Predicados A frase x>0 descreve uma propriedade da váriavel x.
7 Predicados A frase x>0 descreve uma propriedade da váriavel x. Propriedade: x é positivo.
8 Predicados A frase x>0 descreve uma propriedade da váriavel x. Propriedade: x é positivo. Uma propriedade também é denominada um predicado.
9 Predicados A frase x>0 descreve uma propriedade da váriavel x. Propriedade: x é positivo. Note que essa declaração não é Verdadeira nem Falsa quando o valor da variável não é especificado.
10 Predicados A frase x>0 descreve uma propriedade da váriavel x. Propriedade: x é positivo. A notação P(x) é usada para representar alguma propriedade, ou predicado, não explicitada que a variável x possa ter.
11 Predicados X > 3 Predicado P Variável / sujeito da declaração Também chamada de função proposicional P em x.
12 Predicados Uma vez que um valor é dado para a variável x, a declaração P(x) torna se uma proposição e tem um valor verdade. Exemplo: P(x) = x > 3 P(4) é Verdadeiro P(2) é Falso
13 Predicados Podemos ter predicados com mais de uma variável. Q(x,y) = x = y + 3 Q(1,2) é Falso Q(3,0) é Verdadeiro
14 Predicados Predicados ocorrem em programas if x>0 then x:= x + 1
15 Exercícios Rosen pg 46 1) Considere P(x) como o predicado x 4. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(0) b) P(4) c) P(6)
16 Exercícios Rosen pg 46 1) Considere P(x) como o predicado x 4. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(0) é Verdade b) P(4) c) P(6)
17 Exercícios Rosen pg 46 1) Considere P(x) como o predicado x 4. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(0) é Verdade b) P(4) é Verdade c) P(6)
18 Exercícios Rosen pg 46 1) Considere P(x) como o predicado x 4. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(0) é Verdade b) P(4) é Verdade c) P(6) é Falso
19 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere P(x) como o predicado a palavra x contém a letra a. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(orange) b) P(lemon) c) P(true) d) P(false)
20 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere P(x) como o predicado a palavra x contém a letra a. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(orange) é Verdade b) P(lemon) c) P(true) d) P(false)
21 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere P(x) como o predicado a palavra x contém a letra a. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(orange) é Verdade b) P(lemon) é Falso c) P(true) d) P(false)
22 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere P(x) como o predicado a palavra x contém a letra a. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(orange) é Verdade b) P(lemon) é Falso c) P(true) é Falso d) P(false)
23 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere P(x) como o predicado a palavra x contém a letra a. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(orange) é Verdade b) P(lemon) é Falso c) P(true) é Falso d) P(false) é Verdade
24 Conjuntos É uma estrutura na qual todas as outras estruturas são construídas. São usadas para agrupar objetos. Um conjunto é uma coleção não ordenada de objetos. (usar letras maiúsculas). Objetos de um conjunto são chamados de elementos, ou membros, do conjunto.
25 Conjuntos Diz se que os elementos pertencem ao conjunto. Notação de pertinência: a A a A
26 Conjuntos Importantes N = {0, 1, 2, 3,...} Conjunto dos números naturais Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Conjunto dos números inteiros Z + = {1, 2, 3,...} R Conjunto dos números inteiros positivos Conjunto dos números reais
27 Descrever um conjunto 1. Listar todos os seus elementos. 1. A = {a,b,c,d} 2. V = {a, e, i, o, u} 2. Usar... quando for obvio os elementos. 1. A = { 1, 2, 3, 4,..., 99} 3. Usar notação de construção de conjunto (quando não dá para listar) Estabelece uma propriedade
28 Descrever um conjunto 1. Usar notação de construção de conjunto (quando não dá para listar) Estabelece uma propriedade O = {x x é um número inteiro positivo e impar menor que 10} O = {x Z + x é impar e x < 10}
29 Conjunto Verdade Um predicado é verdadeiro para um conjunto de elementos, este conjunto é chamado de conjunto verdade. Exemplo: P(x) = x + 1 > 8 Domínio: conjunto dos números naturais Conjunto Verdade: { x x pertence a N ^ x + 1 > 8} {8, 9, 10,...}
30 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 P(x) = x 1 < 4 P(x) = 5x + 6 = 0
31 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 CV={3} P(x) = x 1 < 4 P(x) = 5x + 6 = 0
32 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 CV={3} P(x) = x 1 < 4 CV={0,1,2,3,4} P(x) = 5x + 6 = 0
33 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 CV={3} P(x) = x 1 < 4 CV={0,1,2,3,4} P(x) = 5x + 6 = 0 CV={ }
34 Operações Lógicas Sobre Predicados As operações lógicas que usamos para proposições estendem se a predicados. M(x) = x é médico P(x) = x é professor M(x) ^ P(x) x é médico e professor
35 Operações Lógicas sobre Predicados Conjunção P(x) = x>2 Q(x) = x<8 P(x) ^ Q(x) = 2 < x < 8 CV =??? em N
36 Operações Lógicas sobre Predicados Conjunção P(x) = x > 2 Q(x) = x < 8 P(x) ^ Q(x) = 2 < x < 8 CV = {3,4,5,6,7}
37 Operações Lógicas sobre Predicados Disjunção P(x) = x < 2 Q(x) = x > 8 P(x) v Q(x) = x < 2 ou x > 8 CV em N??? 0? 1? 2? 5?
38 Operações Lógicas sobre Predicados Negação P(x) = x é par ~P(x) =??? O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.
39 Operações Lógicas sobre Predicados Negação P(x) = x é par ~P(x) = x é impar O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.
40 Operações Lógicas sobre Predicados Negação P(x) = x é par ~P(x) = x é impar Q(x) = x < y ~Q(x) =??? O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.
41 Operações Lógicas sobre Predicados Negação P(x) = x é par ~P(x) = x é impar Q(x) = x < y ~Q(x) = x y O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.
42 Operações Lógicas sobre Predicados Condicional Temos: P(x) = x 2 5x + 6 = 0 Q(x) = x 2 9 = 0 P(x) Q(x) Lê se: Se x 2 5x + 6 = 0 então x 2 9 = 0
43 Condicional Seja: P(x) = x é divisível por x Quais são os valores verdades de P(x)?
44 Condicional Seja: P(x) = x é divisível por x Quais são os valores verdades de P(x)? 12/1 = 12 12/2 = 6 12/3 = 4 12/4 = 3 12/6 = 2 12/12 = 1
45 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x é divisível por x Quais são os valores verdades de Q(x)?
46 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x é divisível por x Quais são os valores verdades de Q(x)? 45/1 = 45 45/3 = 15 45/5 = 9 45/9 = 5 45/15 = 3 45/45 = 1
47 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(1) Q(1)?
48 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(1) Q(1)? P(1) = V Q(1) = V P(1) Q(1) = V V P(1) Q(1) = V
49 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(5) Q(5)?
50 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(5) Q(5)? P(5) = F Q(5) = V P(5) Q(5) = F V P(5) Q(5) = V
51 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(7) Q(7)?
52 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(7) Q(7)? P(7) = F Q(7) = F P(7) Q(7) = F F P(7) Q(7) = V
53 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(2) Q(2)?
54 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(2) Q(2)? P(2) = V Q(2) = F P(2) Q(2) = V F P(2) Q(2) = F
55 Propriedade da Condicional Sabemos que: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N?
56 Propriedade da Condicional Sabemos que: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N? Dica: P(x) Q(x) ~P(x) v Q(x)
57 Condicional P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N? ~P(x) Conjunto Verdade é o complemento do Conjunto Verdade de P(x)
58 Condicional P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N? ~P(x) Conjunto Verdade é o complemento do Conjunto Verdade de P(x) ~P(x) CV= N {1,2,3,4,6,12}
59 Condicional P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N? ~P(x) CV= N {1,2,3,4,6,12} Q(x) CV = {1,3,5,9,15,45} P(x) Q(x) ~P(x) v Q(x) O que podemos concluir?
60 Condicional P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N? ~P(x) CV= N {1,2,3,4,6,12} Q(x) CV = {1,3,5,9,15,45} P(x) Q(x) ~P(x) v Q(x) CV = N {1,2,3,4,6,12} {1,3,5,9,15,45} Resumindo...
61 Condicional P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N? ~P(x) CV= N {1,2,3,4,6,12} Q(x) CV = {1,3,5,9,15,45} P(x) Q(x) ~P(x) v Q(x) CV = N {1,2,3,4,6,12} {1,3,5,9,15,45} CV = N {2,4, 6,12}
62 Perguntas????
63 Exercícios Rosen pagina a,b,c 12 a,b,c
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