Cálculo de Predicados

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1 Cálculo de Predicados (Lógica da Primeira Ordem) Prof. Tiago Semprebom, Dr. Eng. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Santa Catarina - Campus São José [email protected] 18 de maio de 2013 Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 18 de maio de / 11

2 Predicados e variáveis Em nossas aulas anteriores examinamos uma parte da Lógica chamada Lógica das Proposições (ou Cálculo Proposicional). Cálculo proposicional possibilita verificar se um determinado argumento é válido ou inválido. Nos argumentos estudados, os enunciados simples eram combinados através de conectivos, formando enunciados compostos. A validade dos argumentos dependia da forma pela qual os enunciados compostos se apresentavam. Não é difícil, no entanto, encontrar argumentos de um tipo distinto: Todos os humanos são mortais Sócrates é um humano Logo, Sócrates é mortal Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 18 de maio de / 11

3 Predicados e variáveis A validade do argumento não depende da forma pelo qual os enunciados simples se compõem: neste argumento não há enunciados compostos. A validade do argumento depende da estrutura interna dos enunciados que constituem o argumento. Precisamos, então definir técnicas para descrever e simbolizar a estrutura interna dos enunciados. Considere a premissa Sócrates é humano. Esse enunciado é uma declaração de que determinado sujeito (Sócrates) possui uma propriedade específica (é humano). Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 18 de maio de / 11

4 Predicados e variáveis Em Lógica, representamos o predicado por sua inicial maiúscula, e o sujeito a seguir entre parênteses Assim, Sócrates é humano fica representado por: H (Sócrates) A linguagem natural permite ainda a construção de um outro tipo de sentença, como: Ele foi presidente do Brasil. Em Lógica Simbólica, também existem termos que ocupam lugar dos nomes: são as variáveis, e costumam ser representadas pela letras: x, y, z, w, etc. x foi presidente do Brasil ou então: P(x) Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 18 de maio de / 11

5 Predicados e variáveis Os enunciados são chamados sentenças fechadas ou abertas: Sócrates é humano pode ser V ou F, então tem-se enunciado fechado. y escreveu os Lusíadas não é V nem F, então tem-se enunciados abertos. exemplos: x gosta de y, temos: Gxy João é casado com Maria, temos: C(João, Maria) x está entre y e z, temos: Exyz Camões é o autor de Os Lusíadas, temos: A (Camões, Os Lusíadas) Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 18 de maio de / 11

6 Operações Lógicas Também no Cálculo de Predicados podemos definir as operações de conjunção, disjunção, negação, condicional e bicondicional. Considere os abertos a seguir: conjunção: x é engenheiro e professor por: Ex Px disjunção: x é engenheiro ou professor por: Ex Px negação: x não é engenheiro por: Ex condicional: se x é engenheiro então x fica cansado por: Ex Cx bicondicional: x trabalha se e somente se ganha dinheiro por: Tx Gx Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 18 de maio de / 11

7 Quantificadores Dado um aberto Px em um universo U, pode ocorrer: todos os x em U satisfazem P; isto é, V p = U alguns x em U satisfazem P; isto é, V p Ø nenhum x em U satisfaz P; isto é, V p = Ø Considere U = 2, 4, 6, 8 : Px representa x é par, temos: V p = U Px representa x é múltiplo de 3, temos: V p Ø Px representa x é maior que 10, temos: V p = Ø Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 18 de maio de / 11

8 Quantificadores Quantificador Universal No primeiro caso dizemos que para todo x em U, Px é verdadeiro simbolicamente: x Px para todo x, qualquer que seja x, cada x Quantificador Existencial No segundo caso dizemos que existe um x em U, tal que Px é verd. simbolicamente: x Px existe pelo menos um x, algum (ou alguns) x, para algum x Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 18 de maio de / 11

9 Negação de expressões quantificadas Seja a expressão: Todos são alunos x é um aluno por Ax, temos: x Ax nem todos são alunos: x Ax existe alguém que não é aluno: x Ax não existem alunos: x Ax todos não são alunos: x Ax Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 18 de maio de / 11

10 Exemplos de expressões quantificadas Não existem marcianos: x Mx Nem todos são sábios: x Sx Algumas senhoras estão presentes: x (Sx Px) Os morcegos são mamíferos: x (Cx Mx) Existe um mamífero que voa: x (Mx Vx) Os cavalheiros não são sempre ricos: x (Cx Rx) João é casado com alguém: xc(joao, x) Todos têm pai: x y P(y, x) Todas as pessoas têm pai: x(px y F (x, y)) Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 18 de maio de / 11

11 Resolução de execícios Exercícios sobre Cálculo de Predicados Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 18 de maio de / 11