Lógica para computação - Linguagem da Lógica de Predicados

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1 DAINF - Departamento de Informática Lógica para computação - Linguagem da Lógica de Predicados Prof. Alex Kutzke ( ) 13 de Outubro de 2015

2 Razões para uma nova linguagem Linguagem Proposicional não é capaz de representar todas as proposições; Linguagem de Predicados: Maior poder de representação; Representação de silogismos categóricos (Aristóteles); Todos os alunos são inteligentes ; Nenhum aluno é inteligente ; Alguns alunos são inteligentes ; Alguns alunos não são inteligentes ; Quais alunos? Não depende apenas da proposição; Quantificadores: todos, nenhum e algum.

3 Alfabeto da Lógica de Predicados Definição 6.1 (alfabeto da Lógica de Predicados) O alfabeto da Lógica de Predicados é constituído por (SOUZA, 2015, p. 210): 1. símbolos de pontuação: (, ); 2. um conjunto enumerável de símbolos para variáveis: x, y, z, w, x 1, y 1,...; 3. um conjunto enumerável de símbolos para funções: f, g, h, f 1, g 1,...; 4. um conjunto enumerável de símbolos para predicados: p, q, r, p 1, q 1,...; 5. conectivos:,,,. Associado a cada símbolo para função ou predicado, temos um número inteiro não negativo k. Esse número indica a aridade, ou seja, o número de argumentos da função ou predicado.

4 Variáveis Similar ao conceito de variável da matemática e da computação; x, y, w, z, x 1, y 1,....

5 Predicados Representam propriedades e relações entre objetos: Maria é bonita = p(x) p(x) é verdadeiro se, e somente se, x é bonita; Relações: Irmão = q(x, y); q(x, y) é verdadeiro se, e somente se, x é irmão de y; p, q, r, p 1, q 1,....

6 Funções Similar ao conceito de função da matemática e da computação; f, g, h, f 1, g 1,...; Símbolos para constantes: Quando aridade da função é igual a zero. a, b, c, a 1, b 1,...;

7 Símbolos proposicionais Simbolos proposicionais são predicados com aridade igual a zero; P, Q, R, S, P 1, Q 1,....

8 Conectivos e ; Quantificadores: Universal: ; Existencial: ; Ampliam o poder de representação e a complexidade da Lógica.

9 Quantificador universal Todo homem é mortal Todos os homens são mortais Os homens são mortais Homens são sempre mortais Somente mortais é que são homens x = homem; q(x) é verdade se x é mortal; ( x)q(x).

10 Quantificador existencial Existe homem inteligente Há um homem inteligente Há pelo menos um homem inteligente Há homens inteligentes Algum homem é inteligente Alguns homens são inteligentes x = homem; q(x) é verdade se x é inteligente; ( x)q(x).

11 Sobre fómulas da Lógica de Predicado Diferenças entre valor-verdade e objeto; A capital de Minas Gerais é Belo Horizonte Capital do Brasil Em geral, na Lógica de Predicados, objetos do domínio são termos; Fórmulas são sentenças declarativas (retornam um valor verdade);

12 Termo Definição 6.2 (termo) O conjunto de termos da linguagem da Lógica de Predicados é o menor conjunto que satisfaz as regras a seguir (SOUZA, 2015, p. 214): 1. as variáveis são termos; 2. se t 1, t 2,..., t n são termos e f é um símbolo para função n-ária, então f (t 1, t 2,..., t n ) é um termo.

13 Exemplo (Termos) 1. A variável x é um termo; 2. A constante a é um termo, pois é uma função zero-ária. Nesse caso, temos uma função aplicada a zero termos. 3. f (x, a) é um termo se, e somente se, f for uma função binária; 4. g(y, f (a, x), c) é um termo; 5. Exemplo: operadores aritméticos.

14 Átomo Definição 6.3 (átomo) O conjunto dos átomos da linguagem da Lógica de Predicados é o menor conjunto que satisfaz as regras a seguir (SOUZA, 2015, p. 215): 1. os símbolos proposicionais são átomos; 2. se t 1, t 2,..., t n são termos e p é um símbolo para predicado n-ário, então p(t 1, t 2,..., t n ) é um átomo.

15 Exemplo (Átomos) 1. O símbolo proposicional P é um átomo, pois é um predicado zero-ário; 2. p(x, a) é um átomo se, e somente se, p for um predicado binário; 3. p(f (a, x), c) é um átomo; 4. Termos não são átomos; 5. Átomos não são termos; 6. Exemplo: operadores lógicos.

16 Fórmulas Definição 6.4 (fórmula) O conjunto de fórmulas da linguagem da Lógica de Predicados é o menor conjunto que satisfaz as regras a seguir (SOUZA, 2015, p. 216): 1. todo átomo é uma fórmula; 2. se H é uma fórmula, então ( H) é uma fórmula; 3. se H é uma fórmula, então (H G) é uma fórmula; 4. se H é uma fórmula e x é uma variável, então (( x)h) e (( x)h) são fórmulas.

17 Exemplo (Fórmulas) 1. Os átomos p(x), R e q(x, a, z) são fórmulas; 2. (( p) R) é uma fórmula; 3. (( x)(p(x) R)) é uma fórmula; 4. (( x)(p(x) R)) q(x, a, z)) é uma fórmula; Definição 6.5 (expressão) Uma expressão da Lógica de Predicados é um termo ou uma fórmula (SOUZA, 2015, p. 217).

18 Correspondência entre Quantificadores Definição 6.6 (correspondência entre quantificadores) Considere uma fórmula H e uma variável x. Os quantificadores existencial e universal se relacionam pelas correspondências (SOUZA, 2015, p. 218): 1. (( x)h) denota (( x) H); 2. (( x)h) denota (( x) H). 1. ( x)p(x), é interpretada como: existe aluno de computação que é inteligente ; 2. ( x) p(x), é interpretada como: é falso que todo aluno de Computação não é inteligente.

19 Ordem de precedência Definição 6.7 (ordem de precedência) Na Lógica de Predicados, a ordem de precedência dos conectivos é a seguinte (SOUZA, 2015, p. 218): 1. maior precedência: ; 2. precedência intermediária superior:, ; 3. precedência intermediária inferior:, ; 4. precedência inferior:,.

20 Subtermo, subfórmula, subexpressão Definição 6.8 (subtermo, subfórmula, subexpressão) Os elementos a seguir definem as partes de um termo ou fórmula E (SOUZA, 2015, p. 219): 1. se E = x, então a variável x é um subtermo de E; 2. se E = f (t 1, t 2,..., t n ), então f (t 1, t 2,..., t n ) e t i, para todo i, são subtermos de E; 3. se t 1 é subtermo de t 2 e t 2 é subtermo de E, então t 1 é subtermo de E; 4. se E = H então H e ( H) são subfórmulas de E; 5. se E é uma das fórmulas (H G), (H G), (H G) ou (H G), então H, G e E são subfórmulas de E; 6. se E = (( x)h), então H e (( x)h) são subfórmulas de E; 7. se E = (( x)h), então H e (( x)h) são subfórmulas de E; 8. se H 1 é subfórmula de H 2 e H 2 é subfórmula de E, então H 1 é subfórmula de E; 9. todo subtermo ou subfórmula é também uma expressão.

21 Exemplo (Subfórmulas) H = ((( x)p(x)) (p(x)) (( y)r(y)))

22 Exemplo (Subfórmulas) H = ((( x)p(x)) (p(x)) (( y)r(y))) São subfórmulas de H: p(x); ( x)p(x); r(y); ( y)r(y); ( x)p(x) (p(x)); ((( x)p(x)) (p(x)) (( y)r(y))).

23 Comprimento de fórmula Definição 6.9 (comprimento de uma fórmula) Dada um fórmula H da Lógica de Predicados, o comprimento de H, denotado por comp[h], é definido como se segue (SOUZA, 2015, p. 220): 1. se H é um átomo, então comp[h] = 1; 2. comp[ H] = comp[h] + 1; 3. comp[h G] = comp[h] + comp[g] + 1; 4. comp[h G] = comp[h] + comp[g] + 1; 5. comp[h G] = comp[h] + comp[g] + 1; 6. comp[h G] = comp[h] + comp[g] + 1; 7. se H = ( x)g, então comp[( x)g] = 1 + comp[g]; 8. se H = ( x)g, então comp[( x)g] = 1 + comp[g].

24 Escopo de um quantificador Definição 6.10 (escopo de um quantificador) Seja E uma fómula da Lógica de Predicados (SOUZA, 2015, p. 221): 1. se ( x)h é subfórmula de E, então o escopo de ( x) em E é a subfórmula H; 2. se ( x)h é subfórmula de E, então o escopo de ( x) em E é a subfórmula H.

25 Exemplo (escopo de um quantificador) E = ( x)( y)(( z)p(x, y, w, z) ( y)q(z, y, x, f (z 1 ))) 1. o escopo do quantificador ( x) em E é: ( y)(( z)p(x, y, w, z) ( y)q(z, y, x, f (z 1 ))) 2. o escopo do quantificador ( y) em E é: (( z)p(x, y, w, z) ( y)q(z, y, x, f (z 1 ))) 3. o escopo do quantificador ( z) em E é: p(x, y, w, z) 4. o escopo do quantificador ( y) em E é: q(z, y, x, f (z 1 ))

26 Ocorrência livre e ligada Definição 6.11 (ocorrência livre e ligada) Sejam x uma variável e E uma fómula da Lógica de Predicados (SOUZA, 2015, p. 222): 1. uma ocorrência de x em E é ligada se x está no escopo de um quantificador ( x) ou ( x) em E; 2. uma ocorrência de x em E é livre se não for ligada.

27 Exemplo (ocorrência livre e ligada) E = ( x)( y)(( z)p(x g, y g, w v, z g ) ( y)q(z v, y g, x g, f (z 1v ))) 1. A variável z ocorre ligada em p(x, y, w, z), pois z está no escopo de ( z); 2. A variável z ocorre livre em q(z, y, x, f (z 1 )), pois, nesse caso, z não está no escopo de nenhum quantificar de z; 3. A ocorrência de y em q(z, y, x, f (z 1 )) é ligada, pois y está no escopo de ( y) e ( y); 4. A ocorrência de y em q(z, y, x, f (z 1 )) é ligada ao quantificador mais próximo, ( y); 5. As variáveis que ocorrem nos quantificadores não são livres e nem ligadas.

28 Variável livre e ligada Definição 6.12 (variável livre e ligada) Sejam x uma variável e E uma fómula da Lógica de Predicados que contém x (SOUZA, 2015, p. 223): 1. a variável x é ligada em E, se existe pelo menos uma ocorrência ligada de x em E; 2. a variável x é livre em E, se existe pelo menos uma ocorrência livre de x em E.

29 Exemplo (variável livre e ligada) E = ( x)( y)(( z)p(x g, y g, w v, z g ) ( y)q(z v, y g, x g, f (z 1v ))) 1. as variáveis x, y, e z são ligadas em E; 2. as variáveis w, z, e z 1 são livres em E; 3. a variável z é livre e ligada em E, pois há uma ocorrência livre e outra ligada.

30 Símbolos livres Definição 6.13 (símbolos livres) Dada uma fórmula E, os seus símbolos livres são as variáveis que ocorrem livres em E, os símbolos de função e os símbolos de predicado (SOUZA, 2015, p. 223). E = ( x)( y)(( z)p(x, y, w, z) ( y)q(z, y, x, f (z 1 ))) O conjunto {w, z, z 1, p, q, f } é formado pelos símbolos livres de E. Apenas variáveis que ocorrem ligadas não são símbolos livres.

31 Fórmula fechada Definição 6.14 (fórmula fechada) Uma fórmula é fechada quando não possui variáveis livres (SOUZA, 2015, p. 224). E = ( x)( y)(( z)p(x, y, w, z) ( y)q(z, y, x, f (z 1 ))) Não é fechada, pois contém variáveis livres.

32 Fórmula fechada 1. Adicionar ( z 1 ): E 1 = ( z 1 )( x)( y)(( z)p(x, y, w, z) ( y)q(z, y, x, f (z 1 ))) 2. Adicionar ( z): E 2 = ( z)( z 1 )( x)( y)(( z)p(x, y, w, z) ( y)q(z, y, x, f (z 1 ))) 3. Adicionar ( w): E 3 = ( w)( z)( z 1 )( x)( y)(( z)p(x, y, w, z) ( y)q(z, y, x, f (z 1 )))

33 Fecho de uma fórmula Definição 6.15 (variável livre e ligada) Sejam H uma fómula da Lógica de Predicados e {x 1, x 2,..., x n } o conjunto das variáveis livres em H (SOUZA, 2015, p. 224): 1. o fecho universal de H, indicado por ( )H, é dado pela fórmula ( x 1 )... ( x n )H; 2. o fecho existencia de H, indicado por ( )H, é dado pela fórmula ( x 1 )... ( x n )H.

34 Exemplo (fecho de uma fórmula) E 3 = ( w)( z)( z 1 )( x)( y)(( z)p(x, y, w, z) ( y)q(z, y, x, f (z 1 ))) É o fecho unviversal de E. Logo E 3 = ( )E. E 4 = ( w)( z)( z 1 )( x)( y)(( z)p(x, y, w, z) ( y)q(z, y, x, f (z 1 ))) É o fecho existencial de E. Logo E 4 = ( )E. H = ( x)p(x) H não possui variáveis livres, então o seu fecho universal, ou existencial, é igual a H. Nesse caso: ( )H = ( )H = H.

35 Literal Definição 6.16 (literal na Lógica de Predicados) Um literal na Lógica de Predicados é um átomo ou a negação de um átomo. Um átomo é um literal positivo. A negação de um átomo é um literal negativo (SOUZA, 2015, p. 225). 1. Como P é um átomo, então P e P são literais; 2. Como p(f (x, a), x) é um átomo, p(f (x, a), x) é um literal; 3. q(x, y, z) e q(x, y, z) são literais.

36 Forma normal Definição 6.17 (forma normal) Seja H uma fórmula de Lógica de Predicados (SOUZA, 2015, p. 225): 1. H está na forma normal conjuntiva, fnc, se é uma conjunção de disjunções de literais; 2. H está na forma normal disjuntiva, fnd, se é uma disjunção de conjunções de literais.

37 Cláusula de programa Definição 6.18 (cláusula de programa) Uma cláusula de programa, na Lógica de Predicados, é uma cláusula do tipo C = ( )G, onde G está na forma normal disjuntiva e contém exatamente um literal positivo (SOUZA, 2015, p. 226). C 1 = ( x)( y)(p(x) q(x) r(x, y))

38 Cláusula de Programa C 1 = ( x)( y)(p(x) q(x) r(x, y)) Não são cláusulas de programa: C 2 = ( x)( y)( p(x) r(x, y)) C 3 = ( y)( z)( p(y) q(z) r(z))

39 Cláusula de Programa C 1 = ( x)( y)(p(x) q(x) r(x, y)) É igual a C 1 = ( )((q(x) r(x, y)) p(x))?

40 Cláusula de Programa C 1 = ( x)( y)(p(x) q(x) r(x, y)) É igual a C 1 = ( )((q(x) r(x, y)) p(x))? Notação: Uma cláusula de programa ( )(B A 1... A n ) É denotada por: B A 1,..., A n

41 Cláusula unitária Definição 6.19 (cláusula unitária) Uma cláusula de programa unitária é uma cláusula do tipo B. Nesse caso, a cláusula não contém literais negativos (SOUZA, 2015, p. 227). Uma cláusula unitária é denominada fato.

42 Programa lógico Definição 6.20 (programa lógico) Um programa lógico é um conjunto de cláusulas de programa (SOUZA, 2015, p. 227). 1. p(a, b) 2. p(f (x), y) p(x, z), q(g(f (x), z), y)

43 Referências utilizadas na apresentação I SOUZA, J. Lógica para Ciência da Computação, 3 a Edição. [S.l.]: Elsevier Brasil, 2015.