OFICINA DA PESQUISA APOSTILA 3 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL. Autor do Conteúdo: Prof. Msc. Júlio Cesar da Silva

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1 OFICINA DA PESQUISA DISCIPLINA: LÓGICA MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL APOSTILA 3 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Autor do Conteúdo: Prof. Msc. Júlio Cesar da Silva juliocesar@eloquium.com.br Alterações eventuais e acréscimos: Prof. Msc. Carlos José Giudice dos Santos carlos@oficinadapesquisa.com.br

2 Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições, chamadas operações lógicas. Estas operações obedecem a regras de um cálculo, denominado cálculo proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números. Estudaremos a seguir as operações lógicas fundamentais.

3 NEGAÇÃO Definição: chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por não p, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p é falsa e a falsidade (F) quando p é verdadeira. Assim não p tem o valor lógico oposto de p. Simbolicamente: ~p, que se lê não p Tabela Verdade:

4 EXEMPLOS DE NEGAÇÃO p: 2+3 = 5 (V) e ~p: (F) r: Roma é a capital da França (F) e ~r: Roma não é a capital da França. q: Carlos é mecânico e ~q: Não é verdade que Carlos é mecânico ou É falso que Carlos é mecânico. s: Nem todos os homens são elegantes e ~s: Todos os homens são elegantes v: Nenhum homem é elegante: e ~v: Algum homem é elegante

5 CONJUNÇÃO Definição: chama-se de conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p e q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras e a falsidade (F) quando nos demais casos. O E também se usa como mas. Simbolicamente: p q que se lê p e q Tabela Verdade:

6 EXEMPLOS DE CONJUNÇÃO p: A neve é branca (V) q: 2 < 5 (V) p q: A neve é branca e 2 < 5 (V) p: F q: V p q: F

7 DISJUNÇÃO Definição: chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade (F) quando as proposições p e q são ambas falsas. Simbolicamente: p q, que se lê p ou q Tabela Verdade

8 EXEMPLOS DE DISJUNÇÃO p: Paris é a capital da França (V) q: 9-4 = 6 (F) p q: Paris é a capital da França ou 9-4=6 (V) p: F q: F p q: F

9 DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (V) Na linguagem comum a palavra ou tem dois sentidos. Veja os exemplos: P: Carlos é médico ou professor Q: Mario é alagoano ou gaúcho Nos exemplos acima pelo menos uma das proposições é verdadeira. No segundo exemplo, porém, apenas uma pode ser verdadeira (ou seja, ele é alagoano ou gaúcho, é impossível ser as duas).

10 DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (V) De um modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q, a proposição representada simbolicamente por p q, que se lê ou p ou q ou ainda p ou q, mas não ambas. Tabela Verdade

11 CONDICIONAL ( ) Definição: chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por se p então q, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e que é falada e a verdade (V) nos demais. Simbolicamente: p q que se lê p é condição suficiente para q e q é condição necessária para p. O p é o antecedente e q o consequente.

12 Tabela Verdade OPERAÇÕES LÓGICAS CONDICIONAL ( )

13 Exemplos de Condicional p: Amanhã é domingo (V) q: Hoje é sábado (V) p q: Se amanhã é domingo, então hoje é sábado. (V) p: V q: V p q: V

14 Observação sobre a condicional: Uma condicional p q não afirma que o consequente q se deduz ou é consequência do antecedente p. O que uma condicional afirma é unicamente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do consequente de acordo com a Tabela Verdade anterior.

15 Outro exemplo sobre a condicional: Se uma semana possui 8 dias então Fernando Collor não foi presidente do Brasil. p: uma semana possui oito dias (F) q: Fernando Collor não foi presidente do Brasil (F) A proposição é verdadeira, porque as duas proposições p e q são falsas.

16 BICONDICIONAL ( ) Definição: chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma proposição representada por p se e se somente q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas faladas, e a falsidade (F) nos demais casos. Simbolicamente: p q, que se lê p é condição necessária e suficiente para q ou q é condição necessária e suficiente para p.

17 Tabela Verdade OPERAÇÕES LÓGICAS BICONDICIONAL ( )

18 EXERCÍCIOS Sejam as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: A. ~p B. p q C. p q D. p q E. p q F. p ~q p

19 EXERCÍCIOS Sejam as proposições p: Paulo é paulista e q: Carlos é carioca. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: A. ~p B. p q C. p q D. p q E. p q

20 EXERCÍCIOS Sejam as proposições p: Roberto fala inglês e q: Ricardo fala italiano. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: A. Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano. B. Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano. C. Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês. D. Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano.

21 EXERCÍCIOS A negação de hoje é segunda-feira e amanhã não choverá é a) hoje não é segunda-feira e amanhã não choverá b) hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá c) hoje não é segunda-feira então amanhã choverá d) hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá e) hoje é segunda-feira ou amanhã choverá

22 EXERCÍCIOS BB 2011 Fundação Carlos Chagas Um jornal publicou a seguinte manchete: Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários. b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários. d) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil. e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo.

23 EXERCÍCIOS BB 2010 Cesgranrio A proposição funcional Para todo e qualquer valor de n, tem-se 6n < n² + 8 será verdadeira, se n for um número real (A) menor que 8. (B) menor que 4. (C) menor que 2. (D) maior que 2. (E) maior que 3.

24 EXERCÍCIOS Três homens, Luís, Carlos e Paulo, são casados com Lúcia, Patrícia e Maria, mas não sabemos quem é casado com quem. Eles trabalham com Engenharia, Advocacia e Medicina, mas também não sabemos quem faz o quê. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir o nome de cada esposa e a profissão de cada um. a) O médico é casado com Maria. b) Paulo é advogado. c) Patrícia não é casada com Paulo d) Carlos não é médico.