Lógica. Cálculo Proposicional. Introdução

Transcrição

1 Lógica Cálculo Proposicional Introdução

2 Lógica - Definição Formalização de alguma linguagem Sintaxe Especificação precisa das expressões legais Semântica Significado das expressões Dedução Provê regras que preservam a semântica 2

3 Cálculo Proposicional - CP Cálculo Proposicional Lógica Proposicional Apenas enunciados declarativos são permitidos Excluídas sentenças exclamativas, imperativas e interrogativas 3

4 Termo É usado para designar objetos Exemplos: Paula Um filme de terror Triângulo retângulo 4

5 Proposição É uma sentença declarativa que pode assumir os valores verdade (v) ou falso (f) Exemplos: Todo homem é mortal Meu carro é um fusca Está chovendo 5

6 Proposição Atômica Sentença que não contém conectivos (e, ou, se...então,...) Todo homem é mortal. Meu carro é um fusca. Está chovendo. 6

7 Proposição Composta Sentença que contém um ou mais conectivos (e, ou, se...então,...) Se Maria estuda então fará bons exames. Ele come e dorme. Pedro dança ou canta. 7

8 Proposição - Cuidado! A expressão: A distância entre Paraty e Ubatuba não é uma sentença pois não possui valor verdade verdadeiro (v) ou falso (f). 8

9 Conceitos Adicionais Proposição atômica átomo Proposições atômicas são designadas por letras latinas minúsculas (p, q, r,...) Literal é um átomo ou a negação de um átomo Conectivos ou Juntores: permitem a construção de proposições compostas 9

10 Conectivos Conectivos ou Juntores: e ou não condicional bicondicional 10

11 Conectivo: e ( ) A partir de duas proposições, obtém-se uma terceira denominada conjunção: Exemplo: (p) Maria estuda o problema. (q) José vai pescar. Conjunção de (p) e (q): p q Maria estuda o problema e José vai pescar. 11

12 Conectivo: ou ( ) A partir de duas proposições, obtém-se uma terceira denominada disjunção: Exemplo: (p) Maria estuda o problema. (q) José vai pescar. Disjunção de (p) e (q): p q Maria estuda o problema ou José vai pescar. 12

13 Conectivo: não ( ) Nega o valor-verdade de uma proposição Exemplo: (p) Maria estuda o problema. Negação de (p): p não (Maria estuda o problema). 13

14 Conectivo: condicional ( ) Conectivo condicional lido como se...então A partir de duas proposições, obtém-se uma terceira denominada condicional ou implicação Proposição à esquerda de denomina-se premissa ou antecedente Proposição à direita de denomina-se conclusão ou conseqüente 14

15 Conectivo: condicional ( ) Exemplo: (p) Eu como muito. (q) Eu engordo. Condicional de (p) e (q): p q Se eu como muito então eu engordo. 15

16 Conectivo: bicondicional ( ) Conectivo bicondicional lido como se e somente se A partir de duas proposições, obtém-se uma terceira denominada bicondicional 16

17 Conectivo: bicondicional ( ) Exemplo: (p) Um triângulo é retângulo (q) Um triângulo tem um ângulo reto. Bicondicional de (p) e (q): p q Um triângulo é retângulo se e somente se tem um ângulo reto. 17

18 Semântica dos Conectivos p q p q p q p p q p q v v v v f v v v f f v f f f f v f v v v f f f f f v v v 18

19 Fórmulas Bem Formadas (wff) Fórmulas construídas através da combinaçao válida de símbolos Fórmulas Bem Formadas = Well Formed Formula = wff Para representar wff são usadas metavariáveis proposicionais representadas pelas letras α, β, γ, etc Cada expressão envolvendo α, β, γ, etc é chamada de forma sentencial 19

20 Definição wff 1. um átomo é uma wff 2. se α e β são wff, então são também wff: wff lê-se α não α α β αe β α β αou β α β se α então β α β αse e somente se β 3. As únicas wff são definidas por (1) e (2). 20

21 Prioridade dos Conectivos (1 de 2) 21

22 Prioridade dos Conectivos (1 de 2) maior prioridade menor prioridade 22

23 Prioridade dos Conectivos (2 de 2) Exemplos: α β γ significa α (β γ) α β γ significa α (β γ) α β γ δ significa α ((β ( γ)) δ) A precedência pode ser alterada pelo uso de parênteses. 23

24 Variações de Notação Item Adotada Outras e p q p&q p.q p,q ou p q p q p+q p;q não p ~p p condicional p q p q p q q p bicondicional p q p q p q 24

25 Semântica do CP Consiste na interpretação de suas fórmulas, ou seja, atribuição dos valoresverdade (v ou f) às formulas atômicas, por exemplo: (p v q) (p q) Como a fórmula possui 2 componentes atômicos ela admite 2 2 interpretações. Para uma fórmula de n componentes tem-se 2 n interpretações. 25

26 Validade e Inconsistência (1 de 5) Se uma fórmula β tem valor v numa interpretação I, então β é verdadeira na interpretação I. Ex: p q p q I1. v v v I2. v f f I3. f v f I4. f f f (p q) é verdadeira na interpretação I1 26

27 Validade e Inconsistência (2 de 5) Se uma fórmula β é verdadeira segundo alguma interpretação, então β é satisfatível (ou consistente). Ex: p q p q I1. v v v I2. v f f I3. f v f I4. f f f (p q) é satisfatível 27

28 Validade e Inconsistência (3 de 5) Uma fórmula β é válida (tautologia) quando for verdadeira em todas suas interpretações Ex: p p 28

29 Validade e Inconsistência (4 de 5) Se uma fórmula β tem valor f numa interpretação I, então β é falsa na interpretação I. Ex: p q p q I1. v v v I2. v f f I3. f v f I4. f f f (p q) é falsa nas interpretações I2, I3 e I4. 29

30 Validade e Inconsistência (5 de 5) Uma fórmula β é insatisfatível (ou inconsistente ou contradição) quando for falsa segundo qualquer interpretação I. Ex: p p Uma fórmula β é inválida quando for falsa segundo alguma interpretação I. Ex: p q Fórmulas que não são tautologias nem contradições são chamadas contingentes. 30

31 Exercícios Provar usando tabela verdade que: 1. (p p) é inconsistente e portanto inválida. 2. (p p)é valida e portanto consistente. 3. (p p)é inválida, ainda que consistente. 31

32 Conseqüência Lógica (1 de 2) Sejam α, β 1, β 2,..., β n wff. Diz-se que α é conseqüência lógica de β 1, β 2,..., β n se, e somente se, para qualquer interpretação em que β 1, β 2,..., β n forem simultaneamente verdadeiras, α é também verdadeira. Se α é conseqüência lógica de β 1, β 2,... β n,, diz-se que α segue-se logicamente de β 1, β 2,... β n,. Notação: β 1, β 2,..., β n α 32

33 Conseqüência Lógica (2 de 2) Teorema 2.7.1: α é conseqüência lógica de β 1, β 2,..., β n se e somente se: β 1 β 2... β n α é uma tautologia Teorema 2.7.2: α é conseqüência lógica de β 1, β 2,..., β n se e somente se: β 1 β 2... β n α é uma contradição 33

34 Equivalência Lógica Uma fórmula α é logicamente equivalente ( ) a uma fórmula β quando α for conseqüência lógica de β e β for conseqüência lógica de α: α β se e somente se α β é uma tautologia 34

35 Exercício Provar que (p q) é equivalente a ( p q) p q p q p q (p q) ( p q) v v v v v v f f f v f v v v v f f v v v 35

36 Argumento Argumento é uma sequência α 1, α 2,..., α n (n 1) de proposições, onde: α i (1 i n-1) são chamadas premissas e α n denomina-se conclusão. Notação: α 1, α 2,..., α n-1 α n. 36

37 Argumento Válido (1 de 2) Um argumento α 1, α 2,..., α n-1 α n é válido se e somente se: α 1 α 2... α n-1 α n for uma tautologia ou equivalentemente, α 1 α 2... α n-1 α n 37

38 Argumento Válido (2 de 2) Um argumento válido pode ser lido como: α 1, α 2,..., α n-1 acarretam α n ou α n decorre de α 1, α 2,..., α n-1 ou α n é conseqüência lógica de α 1, α 2,..., α n-1 Para n=1, o argumento é valido se e somente se α 1 for tautológica 38

39 Princípio da Substituição (1 de 2) Subfórmulas: dada a fórmula α: (p q) r, então p q, p, q, r, são as subfórmulas de α. O princípio afirma que uma subfórmula de uma fórmula α, ou toda a fórmula α, pode ser substituída por uma fórmula equivalente e que a fórmula resultante é equivalente a α. 39

40 Princípio da Substituição (2 de 2) Exemplo: pelo princípio da substituição, a fórmula α: (p v q) (p v r) é equivalente a: ϒ: ( p q) ( p r). 40

41 Propriedades (1 de 5) Existem várias propriedades da negação, conjunção e disjunção. Estas propriedades podem ser verificadas como equivalências lógicas. Para demonstrar cada uma, basta utilizar as tabelas-verdade, constatando a tautologia. 41

42 Propriedades (2 de 5) Propriedades da Conjunção associativa comutativa idempotente propriedade de v(erdade) propriedade de f(also) α (β ϒ) (α β) ϒ α β β α α α α α v α α f f 42

43 Propriedades (3 de 5) Propriedades da Disjunção comutativa α v β β v α associativa α v (β v ϒ) (α v β) v ϒ idempotente α v α α propriedade α v v v de v(erdade) propriedade α v f α de f(also) 43

44 Propriedades (4 de 5) Distributivas α (β ϒ) (α β) (α ϒ) α (β ϒ) (α β) (α ϒ) Negação ( α) α Absorção α (α β) α α (α β) α 44

45 Propriedades (5 de 5) De Morgan (α β) α β (α β) α β Equivalência da Implicação α β α β 45

46 Fórmulas Proposicionais Equivalentes (1 de 2) Nome da Regra Regra modus ponens α, α β = β modus tollens α β, β = α silogismo hipotético α β, β γ = α γ (ou regra da cadeia) silogismo disjuntivo α β, α = β dilema construtivo α β, γ δ, α γ = β δ dilema destrutivo α β, γ δ, β γ = α γ simplificação α β = α conjunção α, β = α β adição α = α β contraposição α β = β α exportação α (β γ) = (α β) γ importação (α β) γ = α (β γ) 46

47 Fórmulas Proposicionais Equivalentes (2 de 2) Exemplo da forma de leitura modus ponens: α, α β β caso α seja verdade e α β seja verdade, obrigatoriamente β será verdade. 47

48 Verificação de Validade de Argumentos (1 de 2) Sejam α 1, α 2,..., α n, β fórmulas do Cálculo Proposicional. Uma sequência finita de proposições C 1, C 2,..., C κ é uma prova ou dedução de β, a partir das premissas α 1, α 2,..., α n, se e somente se: 48

49 Verificação de Validade de Argumentos (2 de 2) cada C ι é uma premissa α j (1 j n), ou C ι provém das fórmulas precedentes, pelo uso de um argumento válido das regras de inferência, ou C ι provém do uso do princípio de substituição numa fórmula anterior, ou C κ é β Diz-se então que β é dedutível de α 1, α 2,..., α n ou que β é um teorema. 49

50 Exemplo (1 de 3) Se as uvas caem, então a raposa as come. Se a raposa as come, então estão maduras. As uvas estão verdes ou caem. Logo, A raposa come as uvas se e só se as uvas caem. 50

51 Exemplo (2 de 3) Se as uvas caem, então a raposa as come. (C 1 ) Se a raposa as come, então estão maduras. (C 2 ) As uvas estão verdes ou caem. (C 3 ) Logo, A raposa come as uvas se e só se as uvas caem. p: as uvas caem Premissas: q: a raposa come as uvas C 1 : p q r: as uvas estão maduras C 2 : q r ( r: as uvas estão verdes) C 3 : r p 51

52 Exemplo (3 de 3) Premissas: C 1 : p q C 2 : q r C 3 : r p Provar que: p q, q r, r p = p q Deduz-se que: C 4 : r p C 5 : q p C 6 : p q q p C 7 : p q (C 3 : equivalência) (C 2 + C 4 : regra da cadeia) (C 1 + C 5 : conjunção) (C 6 : equivalência) 52