Proposições. Belo Horizonte é uma cidade do sul do Brasil = 4. A Terra gira em torno de si mesma. 5 < 3

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1 Proposições Lógicas

2 Proposições O principal conceito usado nos estudos da lógica matemática é o de uma proposição. Uma proposição é essencialmente uma afirmação, transmite pensamentos completos, afirmando fatos que podem ser verdadeiros ou falsos. Exemplos: Belo Horizonte é uma cidade do sul do Brasil = 4. A Terra gira em torno de si mesma. 5 < 3

3 Princípios da Lógica Matemática A Lógica matemática adota dois princípios como regras fundamentais do raciocínio: Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo (paradoxos). Princípio do terceiro excluído Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca algum terceiro. (Não nos interessam frases mais ou menos certas.)

4 Valores Lógicos Atribuiremos a todas as proposições um valor lógico. Utilizaremos os valores lógicos Verdadeiro (Verdade) para proposições verdadeiras e Falso (Falsidade) para proposições falsas. Representaremos estes valores pelas letras V e F.

5 Exercício Quais das frases abaixo são proposições? Atribua o valor verdade (quando possível): Pague suas contas em dia. 50 < 10. Prevenir é melhor que remediar. Por que prevenir é melhor que remediar? Como vai você? Há vida em Europa, uma das luas de Júpiter. Existem mulheres ruivas e existem homens altos. Existe vida em Marte?

6 Proposições Simples e Compostas Proposições podem ser simples ou compostas. Proposições simples (ou atômicas) são aquelas que não contêm outras proposições dentro de si: p: Saturno tem anéis. q: A Terra é um planeta. Proposições compostas (ou moleculares) são formadas por outras proposições: P: Saturno tem anéis e a Terra é um planeta.

7 Conectivos Conectivos são as palavras usadas para formar novas proposições a partir de outras proposições: P: Saturno tem anéis e a Terra é um planeta. Q: A Terra gira em torno do Sol ou o Sol gira em torno da Terra. R: Não estamos na Europa. S: Se estamos em Belo Horizonte então estamos em Minas Gerais.

8 Tipos de Conectivos Negação: não (, ~, ) Conjunção: E (., ) Disjunção: OU (+, ) Implicação: se...então ( ) Equivalência: se e somente se ( )

9 Exercício Identifique as proposições simples e os conectivos nas seguintes proposições compostas: O número 7 é impar e o número 3 é um número primo. Mercúrio é o planeta mais quente do Sistema Solar e Plutão o mais frio. Não chove no verão.

10 Tabela Verdade Recurso utilizado para determinar todos os possíveis valores lógicos que uma proposição pode assumir. Contém todos os possíveis valores dos constituintes de uma proposição composta. Apresenta o valor lógico de cada combinação dos valores de seus constituintes (proposições simples). O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes.

11 Operações Lógicas sobre Proposições

12 Lógica proposicional Quando pensamos, normalmente efetuamos operações sobre proposições. Tais operações são chamadas operações lógicas e são regidas pelo cálculo proposicional. É semelhante ao cálculo aritmético sobre números, no entanto os operandos são as proposições e os operadores são os conectivos. Estudaremos as operações lógicas fundamentais em função dos conectivos vistos.

13 Negação (NÃO) Se p for igual a V, então p é igual a F. Se p for igual a F, então p é igual a V. Exemplo: p: O sol é uma estrela. p = V p : O sol não é uma estrela p = F p p V F F V

14 Conjunção (E) Se p e q forem iguais a V, então p. q é igual a V. Caso contrário, p. q é igual a F. Exemplo: p: O sol é uma estrela. q: Júpiter é um planeta. r: Saturno é o maior planeta do Sistema Solar. p. q: O sol é uma estrela e Júpiter é um planeta. p. r: O sol é uma estrela e Saturno é o maior planeta do Sistema Solar. p q. V V V V F F F V F F F F

15 Disjunção (OU) Se p ou q forem iguais a V, então p + q é igual a V. Caso contrário, p + q é igual a F. Exemplo: p: O sol é uma estrela. q: Júpiter é um planeta. r: Saturno é o maior planeta do Sistema Solar. p + q: O sol é uma estrela ou Júpiter é um planeta. p + r: O sol é uma estrela ou Saturno é o maior planeta do Sistema Solar. p q + V V V V F V F V V F F F

16 Disjunção Exclusiva (outro sentido de OU) Se ou p ou q (mas não ambos) forem iguais, então p q é igual a V. Caso contrário, p q é igual a F. Exemplo: p: Mário é alagoano. q: Mário é pernambucano. p q: Mário ou é alagoano ou é pernambucano. p q V V F V F V F V V F F F

17 Implicação ou Condicional Se p for igual a V e q for igual a F, então p q é igual a F. Caso contrário, p q é igual a V. Exemplo: p: Concluo o curso no fim do ano. q: Vou viajar para o Rio de Janeiro. Q:Se eu concluir o curso no final do ano então vou viajar para o Rio de Janeiro. Se o mês de maio tem 31 dias então a Terra é plana. p q V V V V F F F V V F F V

18 Equivalência ou Bicondicional p q é igual a V somente se p e q forem iguais. Exemplo: p: O Sol é uma estrela. q: Júpiter é um planeta. R: O sol é uma estrela se e somente se Júpiter é um planeta. p q V V V V F F F V F F F V

19 Ordem de precedência dos conectivos Permite a identificação da forma da proposição composta, que corresponde sempre ao conectivo de maior precedência. Segue a ordem de conectivos apresentada abaixo: 1.Negação: não (,, ~) 2.Conjunção e Disjunção : E (.), OU (+) 3.Implicação ou condicional: se...então ( ) 4.Equivalência ou bicondicional: se e somente se ( ) p q r é da forma bicondicional.

20 Ordem de precedência dos conectivos Parênteses modificam a ordem de precedência dos conectivos. Em casos de ambiguidade, o uso de parênteses é fundamental: p. q + r é uma conjunção (.)... ou uma disjunção (+)???? (p. q) + r é diferente de p. (q + r )!!!

21 Ordem de precedência dos conectivos Exercícios: Classifique as proposições compostas abaixo, como conjunção, disjunção, condicional, bicondicional ou negação: 1.(p. q ) 2.p + (q. r ) 3.p. (q r) 4.p. q r 5.p q r 6.p (q r ) 7.(p q ) r

22 Tabelas-Verdade

23 Construção de Tabelas Verdade Para uma proposição composta, devemos construir a sua tabela verdade para saber em quais casos a proposição é verdadeira ou falso. Cada linha contém uma combinação dos valores V e F para todas as proposições simples que a compõem (consideradas variáveis). Se a proposição composta contém n variáveis, então o número de linhas da tabela-verdade será igual a 2 n. Usa-se sempre a tabela verdade de cada conectivo visto.

24 Construção de Tabelas Verdade Exemplo: p. ~(p.q) p q p.q (p.q) p. (p.q) V V F F V F V F

25 Exemplos Construir a tabela verdade para as seguintes proposições: P(a,b) = a. b P(a,b) = (a + b) P(a,b) = (a b) a P(a,b) = (a + ~b) (a + b) P(a,b) = (a b) (a + b)

26 Construção de Tabelas Verdade Valor Lógico de uma proposição composta: P(p,q) = (p + q) p. q V(p) = F; V(q) = V Ordem de precedência : (1) ; (2)., + ; (3) ; (4) Uso de parêntesis (p. q) + r p. (q + r) V(p) = F; V(q) = F; V(r) = V

27 Álgebra de Proposições

28 Motivação A Linguagem natural permite expressar a mesma idéia de várias maneiras... e na lógica matemática também; Na lógica o significado de uma proposição depende dos seus símbolos (proposições e conectivos),ou seja, da sua tabela verdade. Duas proposições têm o mesmo significado somente se forem equivalentes logicamente, e neste caso, podemos usá-las indistintamente dentro de um mesmo contexto.

29 Álgebra das Proposições A álgebra das proposições reúne propriedades (regras) que retratam algumas equivalências lógicas Tais propriedades serão apresentadas nos seguintes grupos: Propriedades da Conjunção; Propriedades da Disjunção; Propriedades da Conjunção e da Disjunção; Propriedades da Implicação (Condicional); Propriedades da Equivalência (Bicondicional).

30 Propriedades da Conjunção Idempotente: p. p p Comutativa: p. q q. p Associativa: (p. q). r p. (q. r) Identidade: p. V p (elemento neutro) p. F F (elemento absorvente)

31 Propriedades da Disjunção Idempotente: p + p p Comutativa: p + q q + p Associativa: (p + q) + r p + (q + r) Identidade: p + F p (elemento neutro) p + V V (elemento absorvente)

32 Propriedades da Conjunção e da Disjunção Distributivas: p. (q + r) (p. q) + (p. r) p + (q. r) (p + q). (p + r) Absorção: p. (p + q) p p + (p. q) p Leis de DE MORGAN: (p. q) p + q (p + q) p. q

33 Implicação (Condicional ) Lei da Implicação (Implicação/Disjunção) p q p + q Negação da Implicação (p q) p. q Implicação e valores verdade F p V p V V p F p V p p

34 Equivalência (Bicondicional ) Lei da Equivalência (Equivalência/Implicação) p q (p q). (q p) Negação da Equivalência (p q) p q (p q) p q Equivalência e valores verdade: p V p p F p

35 Exercícios Aplique as seguintes propriedades nas seguintes proposições: Distributiva: s. (s + r) (p t) + (q. r) Absorção: (p + q). ((p + q) + s) Leis de DE MORGAN: (p. (p t) ) Lei da Implicação (Implicação/Disjunção) s. p q

36 Exercícios Simplificar as expressões abaixo: ((p. q) r) (p. q. r ) (p (q r)) (p. (p q )) (p (p q )). p. q