LÓGICA PROPOSICIONAL

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1 LÓGICA PROPOSICIONAL Prof. Cesar Tacla/UTFPR/Curitiba Slides baseados no capítulo 1 de DA SILVA, F. S. C.; FINGER M. e de MELO A. C. V.. Lógica para Computação. Thomson Pioneira Editora, 2006.

2 Conceitos básicos PROPOSIÇÃO Enunciado/sentença ao qual se pode atribuir um valor-verdade, i.e. verdadeiro ou falso. acreditar/desacreditar; concordar/discordar; afirmar/negar Exemplos: Chove em Curitiba agora. João gosta de jogar futebol. Tweety é um pássaro. Contraexemplos Feche a porta! Sentença imperativa, não podemos dizer se é F ou V Que horas são? Sentença interrogativa, idem.

3 Conceitos básicos Proposição: restrições Uma sentença se refere a uma só proposição SEM AMBIGUIDADES DA LINGUAGEM NATURAL Ex. todo homem ama uma mulher (todos amam a mesma mulher?) ou o homem viu a mulher com o binóculo (que segura o binóculo ou por meio de um binóculo?) O contexto deve estar definido para atribuirmos valorverdade a uma proposição Não há proposições autorreferentes na lógica clássica proposicional Ex: esta sentença é falsa // o que ocorre se ela for V?

4 Conceitos básicos Construção de proposições complexas Chove em Curitiba E uso guarda-chuva Piu-piu é um pássaro OU Piu-piu é um mamífero Se Piu-piu é um pássaro ENTÃO Piu-piu tem asas É falso que Piu-piu é um mamífero E = conjunção OU = disjunção SE ENTÃO* = implicação É FALSO QUE = negação *implicação não é necessariamente uma relação causal

5 LINGUAGEM PROPOSIONAL SÍMBOLOS PROPOSICIONAIS E DE CONECTIVOS Chove em Curitiba E uso guarda-chuva p q Tweety é um pássaro OU Tweety é um mamífero r s Se Tweety é um pássaro ENTÃO Tweety tem asas r u É falso que Tweety é um mamífero u E = = conjunção OU = = disjunção SE-ENTÃO = = implicação É FALSO QUE = = negação

6 Linguagem proposicional LINGUAGEM Alfabeto: símbolos da linguagem Gramática: para construir fórmulas bem formadas Semântica: significado das fórmulas

7 Linguagem Proposicional Alfabeto é composto por: Um conjunto infinito e contável de símbolos proposicionais (ou átomos): P = {p, q, r, s, t, u,...} Conectivo unário da negação: Conectivos binários: Pontuação: ( )

8 Linguagem proposicional Gramática: regras de formação de fbf fbf = fórmulas bem-formadas L lp =conjunto das fórmulas proposicionais [fonte: (Silva, Finger e Melo, 2006)]

9 Linguagem proposicional Exemplos de geração de FBF Fórmula atômica A A A (A B) p A A A p q A q q ( q p)

10 Linguagem proposicional Exemplos de geração de FBF (A B) (A B) p (A p) (A B) q ((A q) p) A p ((( A p) q) p) r ((( r p) q) p)

11 Linguagem proposicional Exemplos de geração de FBF (A B) p (A B) q (A B) A p r (p (q ( r p)))

12 Linguagem proposicional A gramática não permite gerar UMA FÓRMULA MAL-FORMADA (A B) p (A B) (A B) A p r (p ( ( r p)))

13 Linguagem proposicional Omissão de parênteses (1/2) Parênteses mais externos podem ser omitidos (p (q ( r p))) p (q ( r p)) Uso repetido de IMPLICAÇÃO: parênteses aninham-se à direita r p q p ( r (p (q s)))

14 Linguagem proposicional Omissão de parênteses (2/2) Uso repetido de E: parênteses aninham-se à esquerda r p q s (( r p) q) s) Uso repetido de OU: parênteses aninham-se à esquerda r p q s (( r p) q) s) Precedência dos operadores: NEG > E > OU > IMPLICAÇÃO r p s q p (((( r) p) s) (q p))

15 Linguagem proposicional Prioridade dos operadores ou conectivos NEG > E > OU > IMPLICAÇÃO Exemplo r p s q p (((( r) p) s) (q p))

16 Linguagem Proposicional SUBFÓRMULAS Exemplos p = {p} p = { p, p} p q = {p, q, p q} p q r = {p, q, r, p, q, p q, p q r}

17 Subfórmulas CASOS Básico: A=p subf(a) = {p} para toda fórmula atômica p A A = B subf(a) = { B} subf(b) A = B C subf(a) = {B C} subf(b) subf(c) A = B C subf(a) = {B C} subf(b) subf(c) A = B C subf(a) = {B C} subf(b) subf(c)

18 Subfórmulas Exemplo de aplicação dos casos indutivos do slide anterior A = ( p q) r Subf(A) = {( p q) r} subf(( p q) ) subf(r) = {( p q) r} {( p q)} subf( p) subf( q) {r} = {( p q) r} {( p q)} { p} subf(p) { q} subf(q) {r} = {( p q) r} {( p q)} { p} {p} { q} {q} {r} = {( p q) r, ( p q), p, p, q, q, r}

19 Tamanho ou Complexidade das Fórmulas Quantidade de símbolos proposicionais e conectivos Exemplos: p = 1 p = 2 p q = 3 ( p q) r = 7

20 Tamanho ou Complexidade das fórmulas p = 1 para toda fórmula atômica p P A = 1 + A A B = 1 + A + B tal que {,, }

21 EXPRESSÃO DE IDEIAS Para computar com símbolos lógicos, temos que transformar fatos e regras em proposições Exemplos: Pessoas podem ser crianças, adolescentes, adultas ou idosas p q r s Idosos são adultos: s t Adultos e Empregados t u Crianças e adolescentes vão para escola (p q) e

22 SEMÂNTICA Na lógica proposicional clássica consiste em atribuir valores verdade às fórmulas: verdadeiro ou falso. V: P {0, 1} ou {F, V} ou {F, T} // 0 = FALSO Em seguida, estende-se a valoração para todas as fórmulas da LP: V: L lp {0, 1} ou {T, F} ou {V, F}

23 SEMÂNTICA V( A) = 1 sse V(A) = 0 V(A B) = 1 sse V(A) = 1 e V(B) = 1 V(A B) = 1 sse V(A) = 1 ou V(B) = 1 V(A B) = 1 sse V(A) = 0 ou V(B) = 1 Primeiro valora-se as subfórmulas e, então, a fórmula

24 SEMÂNTICA A B (A B) A B (A B) A B (A B) A A

25 SEMÂNTICA Valoração de uma fórmula complexa: inicia pela valoração das subfórmulas mais internas Exemplo: ( p q) r Valoração dos átomos: V(p) = 1 V(q) = 0 V(r) = 1 V(( p)) = 0 V(( q)) = 1 V(( p q)) = 1 V(( p q) r) = 1

26 SEMÂNTICA Satisfazibilidade e Validade para uma fórmula A Satisfazível se existe ao menos uma valoração V de seus átomos tal que V(A) = 1; Insatisfazível se para toda valoração V de seus átomos V(A) = 0; Válida ou tautológica se toda valoração V de seus átomos é tal que V(A) = 1; Falsificável se existe pelo menos uma valoração V de seus átomos tal que V(A) = 0. Contingente se é satisfazível e falsificável

27 SEMÂNTICA Relações entre as definições satisfazibilidade e validade Válida satisfazível Insatisfazível falsificável A é válida A é insatisfazível A é insatisfazível A é válida A é satisfazível A é falsificável A é falsificável A é satisfazível Há fórmulas que são tanto satisfazíveis como falsificáveis = contingentes Ex: p q p q p q

28 TABELAS-VERDADE Método exaustivo para verificar satisfazibilidade das fórmulas: Construa uma tabela com uma coluna para cada subfórmula de A, colocando os átomos nas colunas mais a esquerda e a fórmula A mais a direita (na última coluna) Para cada valoração possível para os átomos de A, inserir uma linha Fazer a valoração para cada átomo e calculá-la para cada subfórmula segundo as regras de valoração

29 Consequência Lógica Representa-se A B Lê-se: a fórmula B é consequência lógica da fórmula A, se toda valoração V que satisfaz A também satisfaz B Observe que V(A) = 1 implica em V(B) =1 V(B) pode ser 1 e V(A)=0, ainda assim A acarreta B

30 Consequência Lógica Para verificarmos se A B, basta verificar se A B é válida. Exercício: com o método dedutivo da tabelaverdade verifique se p q r p r

31 Consequência Lógica Considere um conjunto de fórmulas Γ (gama maiúsculo): ={ A 1, A 2 A n } Queremos saber se acarreta A A Para isto, toda valoração V que satisfaz todas as fórmulas de deve satisfazer A.

32 Consequência Lógica Exemplo: verificar Modus Ponens Modus (método) que afirma o Ponens (consequente) ou, alguns dizem, Método que afirma o consequente afirmando o antecedente = Modus ponendo ponens. p q, p q

33 Teorema da dedução Γ, A B sse Γ A B Exemplo p q, p q pelo teorema da dedução tem-se: p q p q!!!

34 Equivalência lógica A B sse A B B A Tabela-verdade é um método que permite a verificação de equivalências: basta que as colunas das valorações de A e B sejam idênticas. outra forma, é verificar se (A B ) (B A ) é válida

35 Equivalências notáveis Dupla Negação (DN) p p Idempotente (IP) p p p Comutativa (COM) p q q p Associativas (ASS) p (q r ) ( p q ) r Leis De Morgan (DM) (p q) p q p p p p q q p p (q r ) ( p q ) r (p q) p q Leis Distributivas (DIS) p (q r ) (p q) (p r) p (q r ) (p q) (p r) Contrapositiva da implicação ou da condicional (CP) p q q p Reescrita da implicação ou condicional (COND) p q p q Reescrita da Bicondicional (BI) p q (p q) (q p) Identidade (ID) p 0 p p 0 0 p 1 1 p 1 p Complementares (COMPLE) p p 1 p p 0