3.3 Cálculo proposicional clássico

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1 Cálculo proposicional clássico Estrutura dedutiva Neste parágrafo serão apresentados, sem preocupação com excesso de rigor e com riqueza de detalhes, alguns conceitos importantes relativos à parte dedutiva da lógica clássica. (i) O primeiro conceito diz respeito à regra (de inferência) de modus ponens, que permite, a partir das fórmulas A e A B, inferir B, ou seja, se A e A B, então B. Essa regra de inferência é de extrema importância no estudo da lógica e é representada da seguinte maneira: A, A B. B Se A e A B serem verdadeiras, B também o será. (ii) Outro conceito que se destaca é o de demonstração (ou prova), definido como sendo uma seqüência finita de fórmulas (A 1, A 2,..., A n ) (n 1), tal que, para todo k, 1 k n: a) ou A k é um axioma; b) ou A k foi obtido de A i e A j, com i < k e j < k, pela aplicação da regra de modus ponens. A i, Aj ou Ai, Ai A k, onde Ai é A j (iii) Diz-se que uma fórmula A da linguagem é um teorema, se existir uma demonstração (A 1, A 2,..., A n ) (n 1), tal que A n = A. A seqüência (A 1, A 2,..., A n ) chama-se demonstração de A. Representa-se: A. (iv) Seja Γ um conjunto de fórmulas (Γ = {BB1, B 2B,..., BBm}, por exemplo). Uma dedução, a partir de Γ, é qualquer seqüência finita de fórmulas (A 1, A 2,..., A n ) (n 1), tal que, para todo k, 1 k n:

2 82 a) ou A k é um axioma; b) ou A k é um elemento de Γ; ponens. c) ou A k foi obtido de A i e A j, com i < k e j < k, pela aplicação da regra de modus A i, Aj ou Ai, Ai A k, onde, evidentemente, Ai é Aj. Os elementos de Γ são chamados de hipóteses (ou premissas). (v) Uma fórmula A diz-se uma conseqüência sintática de um conjunto de fórmulas Γ, se existir uma dedução (A 1, A 2,..., A n ) (n 1), a partir de Γ, tal que A n = A. Representa-se por Γ A ou por BB1, B 2B,..., BBm A (sem as chaves de representação de conjunto), se Γ for um conjunto finito {B 1B, BB2,..., B mb }. Observe-se que, se Γ = φ, Γ A φ A A, ou seja, um teorema é uma conseqüência sintática do conjunto vazio. (vi) Uma sentença (ou fórmula) é chamada de tautologia (ou sentença logicamente válida) quando ela é sempre verdadeira, quaisquer que sejam os valores de verdade de suas sentenças (ou fórmulas) componentes. Quando ela for sempre falsa, ela é chamada de contradição. (vii) Teorema da dedução: Sejam Γ um conjunto de fórmulas e A e B duas fórmulas. a) Se Γ, A B, então Γ A B (ou seja, se de Γ e A se deduz B, então de Γ se deduz que A B). Em particular, tem-se: b) Se A B, então A B (ou seja, se de A se deduz B, então A B é teorema).

3 Uma axiomática do cálculo proposicional clássico Uma axiomática de um cálculo é constituída pelos seus postulados (esquemas de axiomas e regras de inferência). Aqui, será apresentada a axiomática de Stefhen C. Kleene (KLEENE, 1952, p. 82). Sejam A, B e C fórmulas quaisquer. a) Esquemas de axiomas e regra de inferência da implicação: A1) A (B A) A2) (A B) ((A (B C)) (A C)) A3) A, A B B (regra de modus ponens) Os esquemas de axiomas de A1 e A2 e a regra de inferência A3 constituem a chamada lógica implicativa intuicionista: L [ ]. b) Esquemas de axiomas da conjunção: A4) (A B) A A5) (A B) B A6) A (B (A B)) Os postulados dos grupos a) e b) constituem a chamada lógica implicativa conjuntiva intuicionista: L [, ]. c) Esquemas de axiomas da disjunção: A7) A (A B) A8) B (A B) A9) (A C) ((B C) ((A B) C)) Os postulados dos grupos a) e c) constituem a chamada lógica implicativa disjuntiva intuicionista: L [, ].

4 84 Os postulados dos grupos a), b) e c) constituem a chamada lógica proposicional positiva (conjuntiva e disjuntiva) intuicionista: L [,, ]. d) Esquemas de axiomas da negação: A10) A A (princípio do terceiro excluído) A11) (A A) B ou A ( A B) A12) (A B) ((A B) A) (princípio da redução ao absurdo) Os postulados dos grupos a), b), c) e d) constituem a chamada lógica (ou cálculo) proposicional clássica: L [,,, ]. Observações. 1) Uma proposição do tipo A A (que é falsa na lógica clássica) diz-se uma contradição ou inconsistência. 2) A lógica (ou cálculo) proposicional clássica é decidível por meio das tabelasverdade (Tabela 3.1) ou matrizes. 3) Os postulados de A1 a A9 acrescidos de A12 constituem o cálculo minimal ou lógica intuicionista de Johanssen-Kolmogorov; se a esta for acrescentado o esquema de axiomas A11, obtém-se a lógica intuicionista de Brouwer-Heyting. 4) O cálculo proposicional clássico L [,,, ] pode ser estendido ao cálculo de predicados clássico: L [,,,,, ] (MORTARI, 2001). e) Esquemas de axiomas e regras de inferência da quantificação: A13) x A(x) A(c) A15) A(c) x A(x) A14) A B(x) A xb(x) A16) A(x) B xa( x) B com as restrições usuais. São válidas as seguintes equivalências:

5 85 x A(x) x A(x) e x A(x) x A(x) x A(x) x A(x) e x A(x) x A(x) O cálculo de predicados clássico não é decidível, exceto em alguns casos particulares (HILBERT; ACKERMANN, 1950) Exemplos importantes de tautologias A seguir, são destacadas algumas tautologias mais conhecidas e de uso freqüente no estudo da lógica proposicional clássica (MENDELSON, 1997) e (ABE; SCALZITTI; DA SILVA FILHO, 2002, p.80). a) (A (B C)) (B (A C)) (comutatividade) b) (A (B C)) ((A B) (A C)) (distributividade) c) (A (B C)) ((A B) (A C)) (distributividade) d) ((A B) (B C)) (A C) (transitividade) e) (A B) (( B) ( A)) (contrapositiva) f) ((A B) C) (A (B C)) (exportação e importação) g) (A B) (( A) ( B)) (lei de De Morgan) h) (A B) (( A) ( B)) (lei de De Morgan) i) ((A B) (A C) (B C)) C (prova por casos) j) (A B) (( A) B) (equivalência para e ) k) (A B) (A ( B)) (negação da implicação) l) ((A B) ( B)) A (modus tollens) m) ((A B) A) A (lei de Peirce)