n. 5 Implicações Lógicas Def.: Diz-se que uma proposição P (p, q, r, ) implica V V V V F F F V V F F V

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1 n. 5 Implicações Lógicas A implicação lógica trata de um conjunto de afirmações, proposições simples ou compostas, cujo encadeamento lógico resultará em uma conclusão, a ser descoberta. Tal conclusão deverá ser necessariamente verdadeira para o conjunto de afirmações dadas. Def.: Diz-se que uma proposição P (p, q, r, ) implica logicamente uma proposição Q (p, q, r, ), se Q (p, q, r, ) é verdadeira todas as vezes que P (p, q, r, ) é verdadeira. P Q P Q V V V V F F F V V F F V Indicamos a implicação de proposições, com o símbolo. é símbolo de operação lógica aplicada as proposições P e Q. estabelece uma relação entre as proposições P e Q. Uma proposição P implica uma proposição Q, se e somente se P Q é tautológica. Propriedades da implicação Lógica Reflexiva (R): P (p, q, r, ) P (p, q, r, ) Transitiva (T):

2 Se P (p, q, r, ) Q (p, q, r, ) e Q (p, q, r, ) R (p, q, r, ) então P (p, q, r, ) R (p, q, r, ) Exemplos: 1. P Q, P Q, P Q P Q P Q P Q P Q V V V V V V F F V F F V F V F F F F F V A proposição P Q é verdadeira (V) somente na 1ª linha e, nesta linha, as proposições P Q e P Q também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições: P Q P Q P Q P Q 2. P Q, P Q, Q P P Q P Q P Q Q P V V V V V V F F F V F V F V F F F V V V A proposição P Q é verdadeira (V) nas linhas 1 e 4, e nestas linhas, as proposições P Q e Q P também são

3 verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições. P Q P Q P Q Q P Regras de inferência Existem certas relações que permitem deduzir fatos a partir de outros desde que estes satisfaçam formatos específicos. Estas relações são conhecidas como regras de inferência. a. Lei de adição: P P Q e Q P Q P Q P Q P P Q Q P Q V V V V V V F V V V F V V V V F F F V V b. Lei de simplificação: P Q P e P Q Q P Q P Q P Q P P Q Q V V V V V V F F V V F V F V V F F F V V

4 c. Regra do Silogismo disjuntivo: (P Q) ~P Q Silogismo é um modelo de raciocínio baseado na ideia da dedução, composto por duas premissas que geram uma conclusão. Silogismo disjuntivo é uma forma de argumento onde uma das premissas é a disjunção de duas afirmações e a outra é a negação de uma dessas afirmações. P Q P Q ~P (P Q) ~P (P Q) ~P Q V V V F F V V F V F F V F V V V V V F F F V F V A proposição (P Q) ~P é verdadeira (V) somente na 3ª linha e, nesta linha, a proposição Q também é verdadeira. Logo, vale a implicação lógica: (P Q) ~P Q Exemplo: Pedro foi à escola na quarta-feira ou na sexta-feira e Pedro não esteve na escola na quarta-feira implicam logicamente Pedro esteve na escola na sexta-feira. É definida como logicamente verdadeiro: Se Pedro foi à escola na quarta-feira ou na sextafeira e Pedro não esteve na escola na quartafeira, então Pedro esteve na escola na sexta-feira. A sentença pode ser formalizada como:

5 Se p ou q e Não é o caso que p, então q. (P Q) ~P Q Por definição: Pedro foi à escola na quarta-feira ou na sextafeira e Pedro não esteve na escola na quarta-feira implicam logicamente Pedro esteve na escola na sexta-feira. Outra forma desta Regra de Inferência é: (P Q) ~Q P P Q P Q ~Q (P Q) ~Q (P Q) ~Q P V V V F F V V F V V V V F V V F F V F F F V F V d. Regra Modus ponens: (P Q) P Q Se uma declaração ou proposição implica uma segunda, e a primeira declaração ou proposição é verdadeira, então a segunda também é verdadeira. Se P implica Q e P é verdadeira, então Q é verdadeira. Tautologia também denominada: modus ponendo ponnes, que significa o modo pelo qual, afirmando, se afirma. P Q P Q (P Q) P (P Q) P Q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V

6 A proposição (P Q) P é verdadeira (V) somente na linha 1, e nesta linha, a proposição Q também é verdadeira. Logo, vale a implicação lógica: (P Q) P Q P Q, P Q e. Regra Modus tollens: (P Q) ~Q ~P Regra Modus tollens: é a negação do consequente, é o nome formal para a prova indireta. Tautologia também denominada: modus tollendo tollens, que significa o modo pelo qual, negando-se, nega-se. A Regra Modus tollens pode ser vista como uma aplicação da Regra Modus ponens por contraposição. A contraposição diz-nos que: P Q é equivalente a ~Q ~P Então a Regra Modus ponens permite inferir: ~Q ~P, ~Q ~P Esta regra está assim ligada a demonstrações por contraposição, ou ainda a demonstrações por contradição/redução ao absurdo.

7 P Q P Q ~Q (P Q) ~Q ~P (P Q) ~Q ~P V V V F F F V V F F V F F V F V V F F V V F F V V V V V A proposição (P Q) ~Q é verdadeira (V) somente na linha 4, e nesta linha, a proposição ~P também é verdadeira. Logo, vale a implicação lógica: (P Q) ~Q ~P Tabela-verdade na Lógica Binária Na tabela-verdade da implicação na lógica binária, em que 1 = Verdade e 0 = Falso temos: Afirmar (P Q) significa que é verdade, ou seja: (P Q) = 1 seja: Por outro lado, afirmar ~Q Q = 0 significa que Q é falso, ou Assim: (P Q) ~Q Corresponde a: 1 1 Na tabela-verdade da implicação:

8 P Q P Q ~Q (P Q) ~Q Com a afirmação da proposição: (P Q) E, a afirmação da proposição: ~Q A única linha que temos: 1 1 É a linha em que: P = 0 e Q = 0 Métodos de resolução: a. Quando houver, nas premissas do enunciado da questão, uma proposição simples ou uma conjunção. b. Quando não houver, entre as premissas do enunciado da questão, uma proposição simples ou uma conjunção. Para o caso (a) em que nas premissas do enunciado da questão HÁ uma proposição simples ou uma conjunção usamos o método do Argumento: 1º considerar as premissas verdadeiras e, por meio das tabelas-verdade dos conectivos, descobrir os valores lógicos das proposições simples presentes nas premissas. 2º substituir os valores lógicos das proposições simples, encontradas no primeiro passo, em cada uma das opções de resposta. Assim, aquela que for necessariamente verdadeira é a opção correta da questão.

9 Exemplo: 1. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 218) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo: a) Caio e Beto são inocentes. b) André e Caio são inocentes. c) André e Beto são inocentes. d) Caio e Dênis são culpados. e) André e Dênis são culpados. Resolução: Proposições simples: A = André é inocente B = Beto é inocente C = Caio é inocente D = Dênis é inocente Tradução para a forma simbólica: André é inocente ou Beto é inocente: A B Se Beto é inocente, então Caio é culpado: B ~C Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado: C ~D Ora, Dênis é culpado: ~D Premissas: P1: A B P2: B ~C P3: C ~D P4: ~D

10 1º passo: considerar as premissas verdadeiras e, por meio das tabelas-verdade dos conectivos, descobrir os valores lógicos das proposições simples presentes nas premissas. Em P4, ~D é uma proposição simples, logo se ~D é V, então D = F. Assim, substituindo ~D = V em P4 e em P3: P1: A B P2: B ~C P3: C V P4: V Em P3, uma proposição que implica se e somente se outra proposição que é verdadeira, só pode ser verdadeira. Logo, C = V. Substituindo C = V em P3 e ~C = F em P2: P1: A B P2: B F P3: V V P4: V Em P2, uma proposição que implica outra proposição que é falsa, só pode ser verdadeira se ela for falsa. Logo, B = F. Substituindo B = F em P2 e em P1: P1: A F P2: F F P3: V V P4: V Em P1, para que uma disjunção seja verdadeira, podemos ter: VV, VF, FV e neste caso como já temos que B = F, então A = V. Substituindo A = V em P1: P1: V F

11 P2: F F P3: V V P4: V Assim: A = V, B = F, C = V, D = F Logo, A = André é inocente B = Beto é culpado C = Caio é inocente D = Dênis é culpado 2º passo: substituir os valores lógicos das proposições simples, encontradas no primeiro passo, em cada uma das opções de resposta. Assim, aquela que for necessariamente verdadeira é a opção correta da questão. Retornando ao exercício: a) Caio e Beto são inocentes. b) André e Caio são inocentes. c) André e Beto são inocentes. d) Caio e Dênis são culpados. e) André e Dênis são culpados.

12 Outra forma de resolução: A B C D ~C ~D A B B ~C C ~D ~D V V V V F F V F F F V V V F F V V F V V V V F V V F V V V F V V F F V V V V F V V F V V F F V V F F V F V F F V V V V V V F F V V F V V V F V F F F V V V V F V F V V V F F V F F F F V V F F V V F V V F V F V V F V V V F F V F F V V V V F V F F V V F F F V F F F F V F F V F V V V F F F V V F F V V F F F F F V V F V F V Interessam-nos os casos em que ~D = V, e nesses casos, aqueles em que as premissas são todas verdadeiras. Para o caso (b) em que nas premissas do enunciado da questão NÃO HÁ nenhuma proposição simples ou uma conjunção: Exemplo: 1. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 259) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo: a) Não durmo, estou furioso e não bebo. b) Durmo, estou furioso e não bebo. c) Não durmo, estou furioso e bebo. d) Durmo, não estou furioso e não bebo.

13 e) Não durmo, não estou furioso e bebo. Resolução: Proposições simples: D = Durmo B = Bebo F = Estou Furioso Tradução para a forma simbólica: Se não durmo, bebo: ~D B Se estou furioso, durmo: F D Se durmo, não estou furioso: D ~F Se não estou furioso, não bebo: ~F ~B D B F ~D ~B ~F ~D B F D D ~F ~F ~B V V V F F F V V F V V V F F F V V V V F V F V F V F V V F V V F F F V V V V V V F V V V F F V F V V F V F V F V V V V F F F V V V F F F V V F F F V V V F V V V Exercícios: 1. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 220) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo, a. Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. b. Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. c. Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol.

14 d. Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. e. Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. 2. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 222) Se a professora de Matemática foi à reunião, nem a professora de Inglês nem a professora de Francês deram aula. Se a professora de Francês não deu aula, a professora de Português foi à reunião. Se a professora de Português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um problema não foi resolvido. Logo, a. A professora de Matemática não foi à reunião e a professora de Francês não deu aula. b. A professora de Matemática e a professora de Português não foram à reunião. c. A professora de Francês não deu aula e a professora de Português não foi à reunião. d. A professora de Francês não deu aula ou a professora de Português foi à reunião. e. A professora de Inglês e a professora de Francês não deram aula. 3. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 262) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo, a. Fulano é inocente, Beltrano é inocente, Sicrano é inocente. b. Fulano é culpado, Beltrano é culpado, Sicrano é inocente. c. Fulano é culpado, Beltrano é inocente, Sicrano é inocente.

15 d. Fulano é inocente, Beltrano é culpado, Sicrano é culpado. e. Fulano é culpado, Beltrano é culpado, Sicrano é culpado. 4. Mostre que: a. (P Q) (~P ~Q) não é implicação. b. ( x 0 x = y ) x y x = 0 Resoluções: 1. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 220) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo, a. Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. b. Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. c. Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. d. Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. e. Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. Proposições: I = Carina é amiga de Carol E = Carmem é cunhada de Carol O = Carina é cunhada de Carol Tradução para a forma simbólica: Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol: I E Carmem não é cunhada de Carol. ~E

16 Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. ~O I Premissas: P1: I E P2: ~E P3: ~O I I E O ~E ~O I E ~O I V V V F F V V V V F F V V V V F V V F F V V F F V V F V F V V F F V V F V F F V V F F F V V F V V F F F V V V F Portanto, I = Carina é amiga de Carol é falso, Carina não é amiga de Carol. E = Carmem é cunhada de Carol é falso, Carmem não é cunhada de Carol. O = Carina é cunhada de Carol é verdadeiro. (b) = V: Carina não é amiga de Carol (V) ou não é cunhada de Carmem (V). 2. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 222) Se a professora de Matemática foi à reunião, nem a professora de Inglês nem a professora de Francês deram aula. Se a professora de Francês

17 não deu aula, a professora de Português foi à reunião. Se a professora de Português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um problema não foi resolvido. Logo, a. A professora de Matemática não foi à reunião e a professora de Francês não deu aula. b. A professora de Matemática e a professora de Português não foram à reunião. c. A professora de Francês não deu aula e a professora de Português não foi à reunião. d. A professora de Francês não deu aula ou a professora de Português foi à reunião. e. A professora de Inglês e a professora de Francês não deram aula. Proposições: M = a professora de Matemática foi à reunião P = a professora de Português foi à reunião R = a professora de Francês deu aula I = a professora de Inglês deu aula T = todos os problemas foram resolvidos Tradução para a forma simbólica: Se a professora de Matemática foi à reunião, nem a professora de Inglês nem a professora de Francês deram aula. M (~I ~R) Se a professora de Francês não deu aula, a professora de Português foi à reunião. ~R P Se a professora de Português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos.

18 P T Ora, pelo menos um problema não foi resolvido ~T 2 5 = 32 linhas... Portanto não é viável construir a tabela-verdade. M P R I T ~I ~T ~R ~I ~R M (~I ~R) ~R P P T Premissas: P1: P2: P3: P4: M (~I ~R) ~R P P T ~T Se é uma implicação lógica, então ~T = V T = F Se T = F então numa implicação: P F = V, somente se P = F Se P = F então numa implicação: ~R F = V, somente se ~R = F R = V Como R = V substituindo em (~I ~R) temos: (~I F) Como (~I F) só é verdadeiro se VV, então ~I = F Como é uma implicação, então: M (~I ~R) = V Como ~I = F e ~R = F (~I ~R) = F Portanto, M F = V se e somente se M = F. Voltando as Proposições: M = a professora de Matemática foi à reunião é falso. Logo: ~M P = a professora de Português foi à reunião é falso. Logo: ~P R = a professora de Francês deu aula é verdadeiro. Logo: R I = a professora de Inglês deu aula. Logo:? indeterminado

19 T = todos os problemas foram resolvidos é falso. Logo: ~T 3. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 262) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo, a. Fulano é inocente, Beltrano é inocente, Sicrano é inocente. b. Fulano é culpado, Beltrano é culpado, Sicrano é inocente. c. Fulano é culpado, Beltrano é inocente, Sicrano é inocente. d. Fulano é inocente, Beltrano é culpado, Sicrano é culpado. e. Fulano é culpado, Beltrano é culpado, Sicrano é culpado. Proposições: U = Fulano é inocente B = Beltrano é inocente S = Sicrano é inocente Tradução para a forma simbólica: Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. ~U ~B Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. U (~B ~S) (~B ~S) Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. S B Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado.

20 ~S ~U Premissas: P1: ~U ~B P2: U (~B ~S) (~B ~S) P3: S B P4: ~S ~U U B S ~U ~B ~S ~B ~S ~B ~S (~B ~S) (~B ~S) U (~B ~S) (~B ~S) ~S ~U S B ~U ~B V V V F F F F F F F V V V V V F F F V V F V V F V V V F V F V F V F V V V F V V F F F V V V V V V F V V F V V V F F F F F V V V F F V F V F V V F V V V V F F F V V V F V F V V V F V F F F V V V V V V V V V V Fulano é culpado, Beltrano é culpado, Sicrano é culpado. 4. Mostre que: a. (P Q) (~P ~Q) não é implicação. P Q ~P ~Q P Q ~P ~Q (P Q) (~P ~Q) V V F F V V V V F F V F F V F V V F V F F F F V V V V V Não é implicação lógica porque na tabela-verdade, na última coluna, a condicional não é uma tautologia. b. ( x 0 x = y ) x y x = 0 x = 0 x = y x 0 x y x 0 x = y ( x 0 x = y ) x y ( x 0 x = y ) x y x = 0 V V F F V F V V F F V V V V F V V F V F V

21 F F V V F F V É implicação lógica porque na tabela-verdade, na última coluna, a condicional é uma tautologia. Referências Bibliográficas ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo, Nobel, BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à Lógica Matemática. São Paulo: Cengage Learning, CARVALHO, Sérgio; CAMPOS, Weber. Raciocínio Lógico Simplificado. V. 1. Rio de Janeiro: Elsevier CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6 ed. São Paulo: Nobel, DIAS, Carlos Magno Corrêa. Lógica matemática: introdução ao cálculo proposicional. 3 ed. Curitiba: C. M. C. Dias, GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, MORTARI, Cezar A. Introdução à Lógica. São Paulo: Editora UNESP: Imprensa Oficial do Estado, 2001.