Lógica Formal. Matemática Discreta. Prof. Vilson Heck Junior

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1 Lógica Formal Matemática Discreta Prof. Vilson Heck Junior

2 Objetivos Utilizar símbolos da lógica proposicional; Encontrar o valor lógico de uma expressão em lógica proposicional; Construir demonstrações formais em lógica proposicional; Usar símbolos formais da lógica predicada; Construir demonstração formais; [Talvez] Conhecer a linguagem de programação Prolog;

3 Lógica na MTD Discreta? Resolver problemas que envolvam raciocínio lógico; Construir, questionar, compreender e criticar argumentos; Reconhecer e trabalhar com símbolos formais que são utilizados na lógica proposicional; Usar a lógica proposicional para representar e avaliar argumentos; Construir demonstrações formais nas lógicas proposicionais e usá-las para determinar a validade de um argumento; Executar diversas técnicas de demonstração;

4 Conteúdo Proposições; Valores lógicos; Conectivos; Tabelas-verdade; Tautologias, Contradições e Contingências; Lógica proposicional; Predicados; Talvez: Programação Lógica.

5 Lógica Formal PROPOSIÇÕES

6 Proposições Em lógica, proposições são sentenças declarativas com valores comprovadamente e indiscutivelmente: verdadeiro ou falso; Nenhum outro possível valor! Proposições também são chamadas de declarações por diferentes autores ou contextos.

7 Proposições As seguintes sentenças são proposições: 1. Dez é menor do que sete. Matematicamente comprovado ser Falso. 2. Existe vida em outros planetas do universo. Por enquanto, não sabemos a resposta, mas conhecemos meios viáveis a longo prazo que nos darão está resposta. 3. Um triângulo tem três lados. Verdadeiro. 4. Madrid é a capital da Espanha. Verdadeiro

8 Proposições As seguintes sentenças não são proposições: 1. Como está você? Isto não contém uma declaração com significado V ou F. 2. Ela é muito talentosa. Apesar de ser uma frase declarativa, faltam informações sobre quem é ela para constatar V ou F. 3. Brócolis é saboroso. Isto não é nem verdade e nem falso absoluto, é uma questão de opinião, por tanto, não é uma proposição válida.

9 Proposições Algumas sentenças são, ainda, dignas de muito debate filosófico: 1. Fantasmas existem. Alguns filósofos defendem que é uma proposição, mas que é definitivamente falsa, pois não há provas contrárias; Outros defendem que a sentença nem se quer é uma proposição, mas sim parte de crendices ou folclores, da imaginação e, por tanto, impossível de ser verificada.

10 Negação de uma Proposição Qualquer proposição existente pode ser negada; Em escrita ou fala, utilizamos a partícula negativa não ; Ex. de Proposição: P : Está chovendo agora. Ex. de Proposição Negada: P, P, ~P ou P : Não está chovendo agora. Ao aplicar a negação, o valor lógico da proposição será invertido: P P P V F V F V F

11 Negação de uma Proposição P representado em conjunto P representado em conjunto

12 Lógica Formal CONECTIVOS LÓGICOS

13 Conectivos Lógicos Ao falar ou escrever, combinamos frases simples por meio de conectivos lógicos; Estas combinações formam sentenças compostas que enriquecem as informações trocadas; As informações como um todo, dependem de uma combinação dos valores lógicos das proposições e seus conectivos; Na Lógica Formal, chamaremos estas sentenças compostas de: Sistema Formal. Outros nomes utilizados são: Fórmulas Proposicionais; Fórmulas Bem Formuladas: FBFs.

14 Conectivos Lógicos Exemplos: 1. Fulano foi até a loja de esportes e foi até a casa de sua avó. 2. Fulano foi até a loja de esportes ou foi até a casa de sua avó. 3. Fulano ou foi até a loja de esportes, ou foi até a casa de sua avó. Há duas proposições: A. Fulano foi até a loja de esportes; B. Fulano foi até a casa de sua avó. Quais são as interpretações possíveis para os três exemplos?

15 Conectivos Lógicos Conectivo lógico E: Também conhecido como conjunção; Representado na lógica proposicional pelo símbolo ou. Presume que ambas as proposições conectadas devem ser verdadeiras. Exemplo: A ^ B Lê-se A e B Lê-se Fulano foi até a loja de esportes e foi até a casa de sua avó.

16 Conectivos Lógicos Conjunção, do ponto de vista de conjuntos: A ^ B

17 Conectivos Lógicos Conectivo lógico E: Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é necessária a construção da tabela-verdade; A tabela-verdade é um arranjo dos possíveis valores lógicos de cada proposição do sistema; Tabela-verdade E: A B A ^ B V V V F V F V F F F F F

18 Conectivos Lógicos Conectivo lógico OU: Também conhecido como disjunção; Representado na lógica proposicional pelo símbolo ou + Presume que ao menos uma proposição conectada deve ser verdadeira. Exemplo: A B Lê-se A ou B Lê-se Fulano foi até a loja de esportes ou foi até a casa de sua avó.

19 Conectivos Lógicos Disjunção, do ponto de vista de conjuntos: A B

20 Conectivos Lógicos Conectivo lógico OU: Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é necessária a construção da tabela-verdade; A tabela-verdade é um arranjo dos possíveis valores lógicos de cada proposição do sistema; Tabela-verdade OU: A B A B V V V F V V V F V F F F

21 Conectivos Lógicos Conectivo lógico OU Exclusivo: Também conhecido como disjunção exclusiva; Representado na lógica proposicional pelo símbolo ou Presume que somente uma proposição conectada deve ser verdadeira. Exemplo: A B Lê-se A ou exclusivo B Lê-se Ou Fulano foi até a loja de esportes ou foi até a casa de sua avó.

22 Conectivos Lógicos Disjunção exclusiva, do ponto de vista de conjuntos: A B

23 Conectivos Lógicos Conectivo lógico OU Exclusivo: Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é necessária a construção da tabela-verdade; A tabela-verdade é um arranjo dos possíveis valores lógicos de cada proposição do sistema; Tabela-verdade OU Exclusivo: A B A B V V F F V V V F V F F F

24 Exercícios do livro Parte A - Lista de questões do livro. GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação - um tratamento moderno de matemática discreta - 5 ed. Rio de Janeiro, LTC 2013.

25 Lógica Formal CONSTRUINDO TABELAS-VERDADE

26 Precedência dos Operadores Para construir uma tabela-verdade, será necessário resolver todas as possíveis combinações de valores lógicos das proposições existentes; A resolução de um sistema formal deve seguir uma ordem, assim como acontece nas equações matemáticas: 1. (), {} 2. 3., ^,

27 Tabelas-Verdade Assumindo o seguinte: Hoje irá chover ou nevar e não iremos caminhar. A. Hoje irá chover; B. Hoje irá nevar; C. Hoje iremos caminhar; (A B)^ C

28 Tabelas-Verdade Sistema Lógico: (A B)^ C Valores possíveis para proposição A: A V F

29 Tabelas-Verdade Sistema Lógico: (A B)^ C Arranjo de valores entre proposições A B: A B V F V F V V F F

30 Tabelas-Verdade Sistema Lógico: (A B)^ C Arranjo de proposições incluindo C: A B C V V V F V V V F V F F V V V F F V F V F F F F F

31 Tabelas-Verdade Sistema Lógico: (A B)^ C Inclusão da primeira parte do sistema: A B C (AvB) V V V V F V V V V F V V F F V F V V F V F V F V V F F V F F F F

32 Tabelas-Verdade Sistema Lógico: (A B)^ C Inclusão da segunda parte do sistema: A B C (AvB) C V V V V F F V V V F V F V V F F F V F F V V F V V F V F V V V F F V V F F F F V

33 Tabelas-Verdade Sistema Lógico: (A B)^ C Solução final do sistema: A B C (AvB) C (A B)^ C V V V V F F F V V V F F V F V V F F F F V F F F V V F V V V F V F V V V V F F V V V F F F F V F

34 Lógica Formal CONECTIVOS LÓGICOS (PARTE - 2)

35 Conectivos Lógicos Exemplos: 1. Se Fulano foi até a loja de esportes então foi até a casa de sua avó. 2. Fulano foi até a loja de esportes se e somente se foi até a casa de sua avó. Há duas proposições: A. Fulano foi até a loja de esportes; B. Fulano foi até a casa de sua avó. Quais são as interpretações possíveis para os dois exemplos?

36 Conectivos Lógicos Conectivo lógico Se... Então...: Também conhecido como implicação ou condicional; Representado na lógica proposicional pelo símbolo Assume a existência de uma proposição antecedente e uma consequente; Sempre que a proposição antecedente for verdadeira, há a implicação da consequente também ser verdadeira Exemplo: A B Lê-se A implica em B Lê-se Se Fulano foi até a loja de esportes, então Fulano foi até a casa de sua avó.

37 Conectivos Lógicos Implicação, do ponto de vista de conjuntos: A B

38 Conectivos Lógicos Conectivo lógico Se... Então...: Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é necessária a construção da tabela-verdade; A tabela-verdade é um arranjo dos possíveis valores lógicos de cada proposição do sistema; Tabela-verdade Implicação: A B A B V V V F V V V F F F F V

39 Atividade Prática Escreva o antecedente e o consequente de cada uma das sentenças a seguir: (sugestão: reescreva as sentenças colocandoas na forma se/então): 1. Se a chuva continuar, então o rio vai transbordar. 2. Uma condição suficiente para a falha de uma rede elétrica é que a chave central desligue. 3. Os abacates só estão maduros quando estão escuros e macios. 4. Uma boa dieta é uma condição necessária para uma saúde saudável.

40 Conectivos Lógicos Agora imagine um cenário onde há uma implicação dupla. Neste caso, ambas proposições dependeriam uma da outra mutuamente; Construa a tabela-verdade para: (A B)^(B A) A V F V F B V V F F

41 Conectivos Lógicos Agora imagine um cenário onde há uma implicação dupla. Neste caso, ambas proposições dependeriam uma da outra mutuamente; Construa a tabela-verdade para: (A B)^(B A) A B A B B A V V V V F V V F V F F V F F V V

42 Conectivos Lógicos Agora imagine um cenário onde há uma implicação dupla. Neste caso, ambas proposições dependeriam uma da outra mutuamente; Construa a tabela-verdade para: (A B)^(B A) A B A B B A (A B)^(B A) V V V V V F V V F F V F F V F F F V V V

43 Conectivos Lógicos Conectivo lógico se e somente se: Também conhecido como bi-implicação (bicondicional ou equivalência); Representado na lógica proposicional pelo símbolo Assume que ambas proposições devem ter valores iguais; Exemplo: A B Lê-se A se e somente se B Lê-se Fulano foi até a loja de esportes se e somente se foi até a casa de sua avó.

44 Conectivos Lógicos Bi-implicação, do ponto de vista de conjuntos: A B

45 Conectivos Lógicos Conectivo lógico... se e somente se...: Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é necessária a construção da tabela-verdade; A tabela-verdade é um arranjo dos possíveis valores lógicos de cada proposição do sistema; Tabela-verdade Bi-implicação: A B A B V V V F V F V F F F F V

46 Atividade Prática Utilizando apenas os operadores/conectivos lógicos: E, OU, Não; Construa sistemas lógicos equivalentes aos seguintes conectivos: 1. Ou exclusivo; 2. Se... Então Se e somente se

47 Precedência dos Operadores Para construir uma tabela-verdade, será necessário resolver todas as possíveis combinações de valores lógicos das proposições existentes; A resolução de um sistema formal deve seguir uma ordem, assim como acontece nas equações matemáticas: 1. (), {} 2. 3., ^, 4. 5.

48 Precedência dos Operadores 1. (), {} 2. 3., ^, Equação Original Certo Errado A v B ( A) v B (A v B) A v B C (A v B) C A v (B C) A ^ B C D ((A ^ B) C) D A ^ (B (C D))

49 Não A. É falso que A... Não é verdade que A... Expressões em Português Português Conectivo Lógico Expressão Lógica Negação A E; mas; também; além disso Conjunção A ^ B Ou Disjunção A v B Ou A, Ou B. Se A, então B. A implica B. A, logo B. A só se B; A somente se B. B segue A A é uma condição suficiente para B; basta A para B. B é uma condição necessária para A. A se e somente se B. A é condição necessária e suficiente para B. Disjunção exclusiva Condicional Bicondicional A v B A B A B

50 Negações corretas e incorretas Proposições Correta Incorreta Vai chover amanhã. Pedro é alto e magro. O rio é raso ou está poluído. É falso que vá chover amanhã. Não vai chover amanhã É falso que Pedro seja alto e magro. Pedro não é alto ou não é magro. Pedro é baixo ou gordo. É falso que o rio seja raso ou esteja poluído. O rio não é raso nem está poluído. O rio é fundo e não está poluído. Pedro é baixo e gordo. (Pode ser que Pedro não tenha apenas 1 das propriedades) O rio não é raso ou não está poluído. (Ambas devem ser falsas!)

51 Atividade Prática Sendo A: Júlia gosta de manteiga mas detesta creme. Qual das alternativas representa A? 1. Júlia detesta manteiga e creme. 2. Júlia não gosta de manteiga nem de creme. 3. Júlia não gosta de manteiga mas adora creme. 4. Júlia odeia manteiga ou gosta de creme.

52 Lógica Formal TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS

53 Tautologia É dita tautológico todo sistema lógico cuja tabela-verdade resulta apenas em valores Verdadeiros: A ^ B B ^ A: (comutatividade) A B A ^ B B ^ A V V V V V F V F F V V F F F V F F F F V

54 Tautologia É dita tautológico todo sistema lógico cuja tabela-verdade resulta apenas em valores Verdadeiros: (A ^ B) ^ C A ^ (B ^ C): (associatividade) A B C A ^ B B ^ C ^ C A ^ V V V V V V V V F V V F V F F V V F V F F F F V F F V F F F F V V V F V F F F V F V F F F F F V V F F F F F F V F F F F F F F V

55 Tautologia É dita tautológico todo sistema lógico cuja tabela-verdade resulta apenas em valores Verdadeiros: A ^ (B v C) (A ^ B) v (A ^ C): (distributividade) A B C A ^ B B v C A ^ C A ^ ) v ( V V V V V V V V V F V V F V F F F V V F V F V V V V V F F V F V F F F V V V F V V F V V V F V F F V F F F V V F F F F F F F V F F F F F F F F V

56 Contradição É dita contradição todo sistema lógico cuja tabela-verdade resulta apenas em valores Falsos: A ^ A A A A ^ A V F F F V F

57 Contradição É dita contradição todo sistema lógico cuja tabela-verdade resulta apenas em valores Falsos: (A B) ^ (A ^ B) A B A B A ^ B (A B) ^ (A ^ B) V V V F F F V V F F V F F V F F F V F F

58 Contingências Todo e qualquer sistema lógico que não seja Tautologia e Contradição, será considerado contingência.

59 Questões Poscomp (1/2) Poscomp[2013, q11]: seguir: Considere as sentenças a P: Pedro faz as tarefas todos os dias. Q: Pedro terá boas notas no final do ano. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a tradução em linguagem simbólica sentença composta a seguir: da negação da Se Pedro faz as tarefas todos os dias, então Pedro terá boas notas no final do ano. 1. P Q 2. P Q 3. P ^ ~Q 4. ~P ^ ~Q 5. ~P ^ Q

60 Questões Poscomp (2/2) P Q P Q V V F V F V F V F F F F Poscomp[2013, q13]: Admita que um novo conectivo binário, rotulado pelo símbolo, seja definido pela tabela-verdade ao lado. Com base nessa definição e nas operações usuais com os conectivos v, ^ e ~, considere as afirmativas a seguir. I. P Q é equivalente a Q P. II. III. IV. (P Q) v (Q P) não é uma contingência. (Q P) ^ (P Q) é uma contradição. ~[(Q P) ^ (P Q)] é uma tautologia. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e II são corretas. b) Somente as afirmativas I e IV são corretas. c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas. e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

61 Exercícios do livro Parte B Lista de questões do livro. GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação - um tratamento moderno de matemática discreta - 5 ed. Rio de Janeiro, LTC 2013.

62 Lógica Formal PROPRIEDADES, SUBSTITUIÇÕES, DEDUÇÕES E VALIDADE

63 Validade de Argumentos A argumentação de um advogado é válida? Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. A faca não estava na gaveta ou Jason Pritchard viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que Jason Pritchard não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do Júri, meu cliente é inocente.

64 Outras equivalências A ^ F F A^ V A A ^ A F A ^ A A B v F B B v V V B v B V B v B B A v (B ^ C) (A v B) ^ (A v C) A v B (A ^ B) v ( A ^ B) A B (A ^ B) A v B A B (A ^ B) v ( A ^ B)

65 Leis de De Morgan O matemático inglês Augusto De Morgan ( ) foi o primeiro a enunciar algumas equivalências lógicas (e de conjuntos). Estas equivalências convertem operações lógicas E em OU e vice-versa e são amplamente utilizadas na construção de sistemas lógicos: (A v B) A ^ B (A ^ B) A v B

66 Leis de De Morgan Na prática, não importa o número de proposições. Ex.: (A v B v C v D) A ^ B ^ C ^ D (A ^ B ^ C ^ D ^ E) A v B v C v D v E

67 Substituições e Deduções As substituições e as deduções lógicas são utilizadas para a verificação da validade em argumentos lógicos: Através do Cálculo Proposicional! Ver as tabelas de equivalência e de inferência. Modus ponens: modus ponendo ponens - em Latim significa a maneira que afirma afirmando. Modus tollens: em Latim significa modo que nega.

68 Validade de Argumentos Alguns argumentos lógicos precisam ser interpretados para terem suas validades lógicas verificadas; Nem sempre é possível constatar a validade de uma argumento de maneira objetiva, às vezes é necessário aplicar algumas substituições, ou realizar um cálculo proposicional; Um argumento pode ser representado em forma simbólica como: P 1^P 2^P 3^ ^P n Q Neste caso: P 1, P 2,, P n são proposições dadas, chamadas de hipóteses do argumento, enquanto Q é a conclusão do argumento.

69 Ex. 1: Validade de Argumentos Argumento: P 1 ^ P 2 Q P 1 : Se está chovendo, então há nuvens. P 2 : Está chovendo. Q: Há nuvens. Proposições: A: Está chovendo. B: Há nuvens Dedução/validação: P 1 : A B P 2 : A Q: B Válido? Argumentos fortes!

70 Ex. 1: Validade de Argumentos Iniciamos pelas hipóteses, assumindo-as como verdadeiras: 1. A B (V) 2. A (V) Agora iniciamos um processo de verificação da lógica. Geralmente iniciamos a análise pela hipótese mais simples. A hipótese 2 nos diz que A deve ser V. Sabendo que A é V, podemos verificar quais os possíveis valores para B que garantam que a hipótese 1 seja V. Para isto, consultaremos a tabela verdade da implicação: A B A B V V V F V V V F F F F V

71 Ex. 1: Validade de Argumentos Neste caso, tínhamos duas opções: Analisar toda a tabela verdade da implicação; ou Aplicar alguma regra de inferência ou equivalência que nos indicasse a resposta. A primeira regra de inferência da tabela entregue: Modus Ponens diz: sempre que o antecedente em uma implicação for verdadeiro, seu consequente também deverá ser verdadeiro. Portanto, A sendo verdade, resta a B apenas ser verdade. Logo, nossa conclusão é B! Desta forma o argumento é válido!

72 Ex. 1: Validade de Argumentos Argumento original: P 1 : A B P 2 : A Q: B Foi possível chegar à mesma conclusão Validade? 1. A B (hip, V) 2. A (hip, V) 3. B (mp, 1,2) O argumento é válido!

73 Ex. 2: Validade de Argumentos Argumento: P 1 ^ P 2 Q P 1 : Se está chovendo, então há nuvens. P 2 : Não há nuvens. Q: Não está chovendo. Proposições: A: Está chovendo. B: Há nuvens Dedução/validação: P 1 : A B P 2 : B Q: A Válido?

74 Ex. 2: Validade de Argumentos Iniciamos pelas hipóteses, assumindo-as como verdadeiras: 1. A B (V) 2. B (V) Agora iniciamos um processo de verificação da lógica. Geralmente iniciamos a análise pela hipótese mais simples. A hipótese 2 nos diz que B deve ser F. Sabendo que B é F, podemos verificar quais os possíveis valores para A que garantam que a hipótese 1 seja V. Para isto, consultaremos a tabela verdade da implicação: A B A B V V V F V V V F F F F V

75 Ex. 2: Validade de Argumentos Neste caso, tínhamos duas opções: Analisar toda a tabela verdade da implicação; ou Aplicar alguma regra de inferência ou equivalência que nos indicasse a resposta. A segunda regra de inferência da tabela entregue: Modus Tollens diz: sempre que o consequente em uma implicação for falso, seu subsequente também deverá ser falso. Portanto, B sendo falso, resta a A apenas ser falso. Logo, nossa conclusão é A! Desta forma o argumento é válido!

76 Ex. 2: Validade de Argumentos Argumento original: P 1 : A B P 2 : B Q: A Foi possível chegar à mesma conclusão Validade? 1. A B (hip, V) 2. B (hip, V) 3. A (mt, 1,2) O argumento é válido!

77 Ex. 3: Validade de Argumentos Argumento: P 1 ^ P 2 Q P 1 : Se está chovendo, então há nuvens. P 2 : Há nuvens. Q: Está chovendo. Proposições: A: Está chovendo. B: Há nuvens Dedução/validação: P 1 : A B P 2 : B Q: A Válido?

78 Ex. 3: Validade de Argumentos Iniciamos pelas hipóteses, assumindo-as como verdadeiras: 1. A B (V) 2. B (V) Agora iniciamos um processo de verificação da lógica. Geralmente iniciamos a análise pela hipótese mais simples. A hipótese 2 nos diz que B deve ser V. Sabendo que B é V, podemos verificar quais os possíveis valores para A que garantam que a hipótese 1 seja V. Para isto, consultaremos a tabela verdade da implicação: A B A B V V V F V V V F F F F V

79 Ex. 3: Validade de Argumentos Neste caso, tínhamos duas opções: Analisar toda a tabela verdade da implicação; ou Aplicar alguma regra de inferência ou equivalência que nos indicasse a resposta. Não encontramos uma regra de inferência ou substituição que possa nos resultar em um único valor lógico aceitável para A. Na prática, A pode ser tanto V quanto F, não há garantias lógicas para apenas um resultado. Portanto, B sendo verdadeiro, A não tem um único valor definido. Logo, nossa conclusão A v A! Desta forma o argumento é inválido!

80 Ex. 3: Validade de Argumentos Argumento original: P 1 : A B P 2 : B Q: A Não foi possível chegar à mesma conclusão Validade? 1. A B (hip, V) 2. B (hip, V) 3. A v A (tab. verd., 1,2) O argumento é inválido!

81 Ex. 4: Validade de Argumentos ( A v B) ^ (B C) (A C) 1. A v B (hip) 2. B C (hip) 3. A (hip da conclusão) 4. B (1, 3, silogismo disjuntivo) 5. C (2, 4, modus ponens)

82 Ex. 5: Validade de Argumentos A argumentação de um advogado: Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. A faca não estava na gaveta ou Jason Pritchard viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que Jason Pritchard não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do Júri, meu cliente é inocente.

83 Ex. 5: Validade de Argumentos Proposições: A. O cliente é inocente. B. A faca estava na gaveta. C. Jason viu a faca. D. A faca estava lá no dia 10 de outubro. E. O martelo estava no celeiro. Equação: ( A -> B) ^ ( B v C) ^ ( D -> C) ^ [D -> (B ^ E)] ^ E -> A

84 Ex. 5: Validade de Argumentos ( A -> B) ^ ( B v C) ^ ( D -> C) ^ [D -> (B ^ E)] ^ E -> A Prova: 1. A B (hip) 2. B v C (hip) 3. D C (hip) 4. D (B ^ E) (hip) 5. E (hip) 6. E v B (5, adição) 7. (E ^ B) (6, De Morgan) 8. (B ^ E) (7, comutatividade) 9. D (4, 8, modus tollens) 10. C (3, 9, modus ponens) 11. B (2, 10, silogismo disjuntivo) 12. A (1, 11, modus tollens) 13. A (12, dupla negação)

85 Exercícios do livro Parte C Lista de questões do livro. GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação - um tratamento moderno de matemática discreta - 5 ed. Rio de Janeiro, LTC 2013.