Lógica Proposicional Semântica e Tabelas Verdade

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1 Lógica Proposicional Semântica e Tabelas Verdade Prof. Marcos A. Schreiner Disciplina de Introdução à Lógica 30 de março de 2015 Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

2 1 Introdução 2 Lógica Proposicional Semântica Tabela-verdade Exercícios Propriedades da Semântica Proposicional Exercícios 3 Referências Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

3 Introdução O que é semântica? Como interpretar as fórmulas lógicas? Qual a influência da precedência de operadores na interpretação das fórmulas lógicas? Como construir uma Tabela-verdade? Quais as possíveis valorações que tornam uma fórmulas verdadeira? E além desta aula, como verificar se um Argumento é Válido? Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

4 Semântica da Lógica Proposicional Segundo Souza (2008), a definição da interpretação dos símbolos do alfabeto da Lógica Proposicional segue a definição de função binária e função total. Função binária Uma função é binária se o seu contradomínio possui apenas dois elementos. Função total Uma função é total se é definida para todos os elementos de seu domínio. Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

5 Semântica da Lógica Proposicional Segundo Souza (2008), a definição da interpretação dos símbolos do alfabeto da Lógica Proposicional é dada pela seguinte definição: Função Interpretação Uma interpretação I é uma função binária e total na qual: o domínio de I é contituido pelo conjunto de fórmulas; o contradomínio de I é o conjunto V, F. Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

6 Semântica da Lógica Proposicional Como dizer se uma fórmula é verdadeira ou falsa? Princípio da composicionalidade A interpretação de uma fórmula Lógica é função da interpretação de suas partes e do modo como elas se combinam. Em outras palvras, Função verdade O valor de uma fórmula lógica é obtido a partir dos valores verdade de suas subfórmulas. Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

7 Semântica da Lógica Proposicional Por exemplo, seja as seguintes fórmulas, onde: I(p)=F, I(q)=V, I(r)=V: p q r; p q r; p (q r); p (q r); (p q) q ( p r s). Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

8 Semântica da Lógica Proposicional Ordem de Precedência de Operadores A ordem de precedência dos conectivos é definida por: 1 (maior precedência); (menor precedência) Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

9 Semântica da Lógica Proposicional Por exemplo, seja as seguintes fórmulas, onde: I(p)=F, I(q)=V, I(r)=V, I(s)=F: (p q) q ( p r s) ( p q) p ( r q) (p q r) p (s q) (s t) (p q r) (r q (p (s t))) (p s) Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

10 Tabela-verdade A tabela-verdade expressa todos os casos em que uma fórmula é verdadeira ou falsa. Como construir: 1 Identifique o número de proposições n. O número de linhas da tabela será 2 n ; 2 Crie uma coluna para cada proposição; 3 Crie uma coluna para cada subfórmula; 4 Inicie a valoração das proposições, sendo todas como V ou todas com F ; 5 Em cada uma das próximas linha altere a valoração da direita para esquerda, de modo a representar todas as combinações possíveis; 6 Com base na valoração das proposições, defina a valoração das subfórmulas; 7 Com base na valoração das subfórmulas, defina a valoração da fórmula. Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

11 Tabela-verdade Por exemplo, vamos construir a tabela verdade das fórmulas a seguir: (p q) (p q) (q p) (p q) q ( p r s) ( p q) p ( r q); Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

12 Exercícios Fazer os seguintes exercícios do capítulo 3 do livro Introdução à Lógica (ALENCAR FILHO, 2000). 1, 2, 6, 8, 14. Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

13 Propriedades da Semântica Proposicional Um conjunto de propriedades da Lógica proposicional pode ser definido nos seguintes termos: Proriedades Sejam H, G, H 1, H 2,..., H n fórmulas da Lógica Proposicional, então: H é uma tautologia, se, e somente se, para toda interpretação I, I(H) = V ; H é satisfatível, se, e somente se, existe uma interpretação I, tal que I(H) = V ; H é uma contingência, se, e somente se, exitem pelo mentos duas interpretações I 1 e I 2, tais que I 1 (H) = V e I 2 (H) = F ; Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

14 Propriedades da Semântica Proposicional Proriedades Sejam H, G, H 1, H 2,..., H n fórmulas da Lógica Proposicional, então: H é contraditória, se, e somente se, para toda interpretação I, I(H) = F ; H implica semanticamente em G ou G é consequência lógica semântica de H (H G), se, e somente se, para toda interpretação I, se I(H) = V, então I(G) = V ; H é equivalente semanticamente a G (H G), se, e somente se, para toda interpretação I, I(H) = I(G) Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

15 Relações entre as Propriedades Semânticas A partir da definição das propriedades podemos apontar as seguintes relações entre elas: Tautologia e Contradição Dada uma fórmula H, então H é uma tautologia, se e somente se, H é uma contradição. Tautologia e Satisfatibilidade Dada uma fórmula H, se H é uma tautologia, então H é satisfatível. Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

16 Relações entre as Propriedades Semânticas Satisfatibilidade e Contradição Dada uma fórmula H, então H não é satisfatível, se e somente se, H é uma contradição. Consequência Lógica e o conectivo Implicação Dada duas fórmulas H e G, H G, se e somente se, H G é uma tautologia. Transitividade da Consequência Lógica Dada três fórmulas E, H e G, se E H e H G, então E G. Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

17 Relações entre as Propriedades Semânticas Equivalência e a Bi-implicação Dada duas fórmulas H e G, H G, se e somente se, H G é uma tautologia. Equivalência e Consequência Lógica Dada duas fórmulas H e G, H G, se e somente se, H G e G H. Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

18 Relações entre as Propriedades Semânticas Simetria da Equivalência Dada duas fórmulas H e G, H G, se e somente se, G H. Transitividade da Equivalência Dada três fórmulas E, H e G, se E H e H G, então E G. Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

19 Exercícios 1 Identificar as fórmulas que são tautologias, contradições, contingências, satisfatíveis, consequências lógicas ou equivalentes dos exercícios 1 e 2 do capítulo 3 e resolver o exercício 4 do capítulo 4 do livro Introdução à Lógica (ALENCAR FILHO, 2000). 2 Resolver o exercício 4 do capítulo 3 do livro Lógica para Ciência da Computação (Souza, 2008). Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20

20 Bibliografia SOUZA, J. N. Lógica para Ciência da Computação. São Paulo: Campus, ALENCAR FILHO, E. Introdução à lógica. São Paulo: Nobel, GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 5a, Rio de Janeiro: LTC, Prof. Marcos A. Schreiner (UFPR) 30 de março de / 20