Aula 4: Consequência Lógica e Equivalência Lógica

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1 Lógica para Computação Segundo Semestre, 2014 Aula 4: Consequência Lógica e Equivalência Lógica DAINF-UTFPR Prof. Ricardo Dutra da Silva Definição 4.1. Em lógica proposicional dizemos que uma fórmula B é consequência lógica de uma fórmula A, se toda valoração I que satisfaz A também satisfaz B. A consequência lógica é representada por A B. Podemos também dizer que A implica logicamente B. Tabelas-verdade podem ser usadas para verificar a consequência lógica. Definição 4.2. Para verificar se A B é verdadeira, podemos seguir os passos: 1. Construímos uma tabela-verdade que contenha em suas colunas a união das subfórmulas de A e B. 2. Verificamos para toda linha da tabela em que I(A) = 1, se I(B) = 1. Caso para alguma linha I(A) = 1 e I(B) = 0, a consequência lógica não é verificada. Exemplo 4.1 Verifique se p q r p r. linha p q r p q p r p q r Analisamos as duas últimas colunas, que correspondem às fórmulas da questão. As valorações que satisfazem a fórmula p q r (última coluna) são as das linhas 1, 2, 4, 6 e 8. A Definição 4.1 enuncia que toda valoração de p q r que a torna verdadeira também deve tornar p r verdadeira, ou seja, as valorações das linhas 1, 2, 4, 6 e 8 1

2 2 Aula 4: Consequência Lógica e Equivalência Lógica também devem tornar p r verdadeira. E esse é justamente o caso. Portanto, p r é uma consequência lógica de p q r. Exemplo 4.2 Verifique se p q r p r. linha p q r p q p r p q r Temos que as linhas 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 8 satisfazem a fórmula p q r. As linhas 1, 2, 3, 4, 6 e 8 satisfazem a fórmula p r. No entanto, a linha 5 falsifica p r, não respeitando a definição de consequência lógica. Portanto, p r não é consequência lógica de p q r. Um conjunto de fórmulas Γ = {A 1, A 2,..., A n } pode implicar logicamente uma fórmula A. Tal conjunto de fórmulas Γ é chamado de teoria. Definição 4.3. Uma fórmula A é consequência lógica de uma teoria Γ, Γ A, se toda valoração I que satisfaz todas as fórmulas de Γ também satisfaz A. Definição 4.4. Para verificar se Γ A é verdadeira, podemos seguir os passos: 1. Construímos uma tabela-verdade que contenha em suas colunas a união das subfórmulas de Γ = {A 1, A 2,..., A n } e de A. 2. Verificamos para toda linha da tabela em que I(A 1 ) = I(A 2 ) =... = I(A n ) = 1, se I(A) = 1. Caso seja verdade, temos uma consequência lógica. Exemplo 4.3 Seja Γ = {p q, p}, verifique se q é consequência lógica de Γ. Queremos saber se p q, p q. Construímos a tabela-verdade.

3 Aula 4: Consequência Lógica e Equivalência Lógica 3 linha p q p q A única valoração que torna todas as fórmulas da teoria Γ verdadeira é a da linha 4. A fórmula A também é verdadeira para esta valoração. Portanto, q é uma consequência lógica das fórmulas Γ = {p q, p}. Teorema 4.1 (Teorema da Dedução). Sejam Γ um conjunto de fórmulas e A e B fórmulas. Então, Γ, A B se e somente se Γ A B. Demonstração. Assuma a hipótese Γ, A B. Queremos provar que Γ A B. Pela definição de consequência lógica, temos que analisar qual a interpretação de A B quando I(Γ) = 1. Suponha inicialmente que I(A) = 1. Pela hipótese, I(B) = 1 e, portanto, I(A B) = 1. Agora suponha I(A) = 0. Nesse caso, independentemente da valoração de B, a definição da implicação diz que I(A B) = 1. Como essas são todas as possibilidades de valoração, concluímos que Γ A B. Assuma agora a hipótese Γ A B. Queremos provar que Γ, A B. Precisamos analisar as possibilidades de valoração para B quando I(Γ) = 1 e I(A) = 1. Se I(B) = 1, trivialmente temos a consequência lógica. Vamos assumir então I(B) = 0. Como temos I(A) = 1, então I(A B) = 0, pela definição da implicação. No entanto, a hipótese afirma que I(A B) = 1. Isso é uma contradição. Logo I(B) tem que ser 1. Com isso concluímos que Γ, A B. Definição 4.5. Duas fórmulas A e B são logicamente equivalentes, A B, se A B e B A. Note que a Definição 4.5 diz que, dada uma valoração qualquer, então I(A) = I(B). Definição 4.6. Para verificar se Γ B é verdadeira, podemos seguir os passos: 1. Construímos uma tabela-verdade que contenha em suas colunas a união das

4 4 Aula 4: Consequência Lógica e Equivalência Lógica subfórmulas de A e de B. 2. Verificamos para toda linha da tabela se I(A) = I(B). Exemplo 4.4 Verifique se p q q p. linha p q p q p q q p A tabela mostra que sempre que I(A) = 1, I(B) = 1. Também, sempre que I(A) = 0, I(B) = 0. Temos uma equivalência lógica. Exemplo 4.5 Algumas equivalências lógicas são bastante importantes. Entre as principais, podemos listar: A A (eliminação da dupla negação) A B A B (definição de em termos de e ) (A B) A B (lei de De Morgan) (A B) A B (lei de De Morgan) A (B C) (A B) (A C) (distributividade de sobre ) A (B C) (A B) (A C) (distributividade de sobre ). Suponha que escolhamos qualquer um dos conectivos {,, } mais o conectivo. Por exemplo, escolhemos entre os três primeiros. Na lógica proposicional sempre podemos escrever os conectivos e usando apenas e. Em outras, palavras existem equivalências que redefinem os operadores e usando apenas e. Podemos, de fato, escolher qualquer um dos conectivos {,, } e, juntamente com o conectivo, encontrar equivalências para

5 Aula 4: Consequência Lógica e Equivalência Lógica 5 os outros dois conectivos. Exemplo 4.6 Vamos redefinir e em função de e. As equivalências do Exemplo 4.5 são bastante úteis quando queremos realizar esse tipo de redefinição. Vamos redefinir. Usamos a equivalência de eliminação da dupla negação para, contrariamente, incluir a dupla negação. Isso é possível já que são equivalências. A B (A B) Agora, usando a lei de De Morgan, temos (A B) ( A B). Para redefinir a implicação, inicialmente podemos usar a equivalência de usando e A B A B. Em seguida, incluímos a dupla negação A B ( A B). Por fim, usamos a lei de De Morgan ( A B) (A B). Exercício 4.1. Usando tabelas-verdade, prove ou refute as consequências lógicas a seguir: a) p p b) q p p q c) p q p q d) p q p q r

6 6 Aula 4: Consequência Lógica e Equivalência Lógica e) p q p q r f) (p q) p q g) (p q) p q Exercício 4.2. Usando tabelas-verdade, prove ou refute as equivalências lógicas a seguir: a) p p b) p q p q c) p q (p q) d) (p q) ( p q) e) p (q r) (p q) (p r) f) p (q r) (p q) (p r) g) p (q r) (p q) (p r) Exercício 4.3. O Exemplo 4.6 redefiniu os conectivos e usando e. Redefina: a) e usando e. b) e usando e. Exercício 4.4. O conectivo de bi-implicação A B pode ser definido pela equivalência lógica A B (A B) (B A). Para quais valorações de A e B o conectivo é verdadeiro?