Parte 1. LÓGICA de PROPOSIÇÕES 3. A SINTAXE DA LINGUAGEM DA LÓGICA PROPOSICIONAL

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1 12 Exercício 1. A expressão quadrado é o nome da palavra quadrado a qual dá nome a forma geométrica. Assim, em quadrado tem quatro lados a palavra quadrado está sendo usada para falar da forma geométrica. Em quadrado tem seis letras não estamos falando mais da forma geométrica, mas da palavra que é o nome dessa forma. Aqui, o uso de e é uma convenção para distinguir quando de menciona a expressão de quando se fala dela. Identifique abaixo o uso correto ou não dessa convenção (1) O numeral 3 expressa o resultado da operação 2+1. (2) 2 é o numeral que dá nome ao número 2. (3) 2+2 é igual a 3+1 mas 2+2 não é igual a 3+1. (4) A expressão rosa permite falar sobre a rosa. (5) Dois não é o nome de 1+1, mas o nome de 2. (6) Sócrates é o nome de um filósofo grego. (7) Sócrates é o nome de um ex-jogador do Corinthians. (8) O nome da rosa é rosa e tem quatro letras na língua portuguesa. (9) The house is blue é diferente de Das Haus ist blau e ambas são diferentes de La masion est bleu. (10) A rosa é vermelha. A expressão rosa permite afirmar sobre a rosa. (11) A sentença A sentença A neve é branca é verdadeira é uma expressão da metalinguagem. (12) Haus é a palavra casa na língua alemã e house é a palavra casa na língua inglesa. As duas palavras são diferentes. Na língua francesa, tem-se a palavra maison. Parte 1. LÓGICA de PROPOSIÇÕES 3. A SINTAXE DA LINGUAGEM DA LÓGICA PROPOSICIONAL 3.1. Discussão informal. Por ora, queremos uma linguagem simbólica que capture formas de argumentação humana expressa de forma declarativa. As proposições ou sentenças são frases declarativas que podem assumir um dentre dois dos valores-verdade: VERDADEIRO ou FALSO. O importante não é o valor-verdade que uma proposição possa tomar num determinado contexto interpretativo, mas a possibilidade de que em princípio seja possível atribuir um valor-verdade e que seja possível construir argumentos com estas proposições. A lógica proposicional estuda como se argumenta com afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas ou como construir a partir de um certo conjunto de hipóteses (proposições verdadeiras num determinado contexto) uma demonstração de que uma determinada conclusão é verdadeira no mesmo contexto. Uma sentença é dita atômica se a ela corresponde, individualmente, um desses valores-verdade. Por exemplo, são sentenças atômicas da língua portuguesa

2 13 (1) O time joga bem. (2) O time ganhou o campeonato. (3) O técnico é o culpado. (4) Os torcedores estão felizes. (5) Samuel virá para a festa. (6) Maximiliano vai se divertir. (7) O suborno será pago. (8) As mercadorias são entregues. Diferente do caso se as mercadorias são entregues então o suborno será pago que admite um valor verdade, mas esse depende dos valores individuais das sentenças (7) e (8). Do ponto de vista da linguagem natural, na qual sentenças interrogativas ou imperativas são importantes, a restrição para a linguagem formal expressar apenas sentenças declarativas é bastante forte, porém estamos mais interessado nos enunciados matemáticos como (9) o quadrado de todo número é positivo. (10) 27 é um quadrado perfeito. (11) O conjunto vazio é único. (12) x é a soma de quatro quadrados perfeitos. (13) O quicksort ordena uma lista de números em tempo quadrático. (14) Se uma sequência numérica é limitada, então ela é convergente. onde sentenças interrogativas ou imperativas não são importantes. Além disso, queremos regras que permitam construir consistentemente proposições mais complexas a partir de outras (14) Os torcedores estão felizes e o técnico foi demitido. (15) Samuel virá para a festa e Maximiliano não virá, ou Samuel não virá para a festa e Maximiliano vai se divertir. (16) Se o time joga bem, então o time ganha o campeonato. (17) Se o time não joga bem, então o técnico é o culpado. (18) Se o time ganha o campeonato então os torcedores estão felizes. (19) O suborno será pago se, e somente se, as mercadorias são entregues. (20) Se x é positivo, então x 2 é positivo. (21) 27 não é um quadrado perfeito. (22) O conjunto vazio não é único. (23) Os torcedores não estão felizes. Observamos que não há a pretensão de traduzir uma linguagem natural para uma linguagem formal (e vice-versa), faremos uso da possibilidade de tradução sob certas limitações. Denotemos pelas letras α e β duas sentenças da língua portuguesa

3 14 não α: expressa a negação da sentença α cujo valor é VERDADEIRO se, e somente se, o valorverdade de α é FALSO; α e β: expressa a conjunção das sentenças α e β, cujo valor é VERDADEIRO se, e somente se, ambas α e β têm valor-verdade VERDADEIRO; α ou β: expressa a disjunção inclusiva, cujo valor é FALSO se, e somente se, ambas α e β têm valor-verdade FALSO; se α, então β: expressa uma forma condicional, cujo valor é FALSO se, e somente se, α é VERDADEIRO e β é FALSO; α se, e somente se β: representa a bicondicional α se β e α somente se β, é VERDADEIRA se, e somente se, α e β têm o mesmo valor-verdade A linguagem formal. O alfabeto A 0 é o conjunto dos símbolos que compõem linguagem, agora formados por: Símbolos proposicionais atômicos: p 1 p 2 p 3... Conectivos lógicos: Símbolos de pontuação: ( ) Lemos,,, e como negação, disjunção, conjunção, implicação e bi-implicação, respectivamente. Ressaltamos que esses símbolos são apenas símbolos da linguagem, não devem ser confundidos com os operadores lógicos que são interpretações de tais símbolos. A interpretação faz parte da semântica da linguagem, que será discutida adiante. As expressões que podemos formar são as cadeias (ou sequências) finitas de símbolos tomados do alfabeto A 0 como, por exemplo, ((p 1 p 7 ) p 100 ), ())p 5 e ( p 2 ). Claramente, os dois últimos exemplos são expressões que não interessam. Uma fórmula bem formada (FBF) ou simplesmente fórmula é qualquer expressão que pode ser formada aplicando-se um número finito de vezes as regras: (F1) os símbolos atômicos são FBF, chamadas fórmulas atômicas; (F2) se α é FBF, então ( α) é FBF; (F3) se α e β são FBFs, então (α β) é FBF, (α β) é FBF, (α β) é FBF e (α β) é FBF; (F4) não há outras FBFs além das obtidas pelo uso das regras (F1), (F2) e (F3). Na metalinguagem que usamos para descrever a lógica proposicional usamos letras gregas α, β, γ, δ, ɛ, ζ, η, θ, ι, κ, λ, µ, ν, π, ρ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω para denotar fórmula, a rigor não são fórmulas. São ditas metavariáveis, ou variáveis sintáticas.

4 15 A última regra nos assegura que todas as FBFs podem ser construídas passo-a-passo pelas regras anteriores. O conjunto L 0 é definido como o conjunto de todas as FBFs, ele é o menor conjunto L formado pelas sequências de símbolos da alfabeto que satisfaz as propriedades 1 : (1) p 1, p 2,... L, (2) se α L então ( α) L, (3) se α,β L então (α β),(α β),(α β),(α β) L. Exemplo 2. São exemplos de fórmulas bem formadas: p 1, ( p 2 ), (p 3 (p 1 ( p 1 ))); Se α,β,γ denotam FBF então (α (β γ)) denota uma FBF que é diferente da FBF denotada por ((α β) γ). É importante entender que p 1 p 2, por exemplo, é uma fórmula da linguagem enquanto que α β não é uma fórmula da linguagem, mas uma expressão metalinguística que usamos para nos referir a um tipo de forma de FBF, aquelas que são escritas quando trocamos as letras gregas por fórmulas como, por exemplo, p 1 p 1, p 1 p 2, (p 1 p 2 ) (p 1 p 3 ), (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ), etc. enfim há uma infinidade delas. Dizemos que α β é um esquema de fórmula. Demonstrar que uma expressão é uma fórmula é fácil, é só exibir uma sequência finita de aplicações das regras de formação sobre símbolos atômicos. Por exemplo, p 1 e p 3 são fórmulas por (F1), portanto ( p 1 ) é fórmula por (F2), (p 1 ( p 1 )) é fórmula por (F3) e, finalmente, (p 3 (p 1 ( p 1 ))) é fórmula. Já demonstrar que uma expressão não é uma fórmula pode não ser tão fácil. Por exemplo (p 1 ( p 3 )) não é fórmula: supondo que seja, então por (F4) é formada a partir de aplicação das regras (F1) (F3), em particular da aplicação de (F3) a partir das fórmulas p 1 e ( p 3 ), mas essa última não é fórmula pois de nenhuma regra obtém-se uma fórmula cujo primeiro símbolo do alfabeto seja. Metateorema 3 (Princípio de indução para fórmulas). Suponha que uma propriedade de fórmulas (1) vale para toda fórmula atômica e (2) se vale para a fórmula α então também vale para ( α) e (3) se vale para as fórmulas α e β, então também vale para (α β), para (α β), para (α β) e para (α β). Então essa propriedade vale para todas FBFs de L 0. 1 menor conjunto quer dizer que se X é um conjunto de fórmulas que satisfaz as duas propriedades então X L0

5 16 Demonstração. Seja X o conjunto de todas as fórmulas de L 0 que tenha uma dada propriedade de fórmulas. As fórmulas atômicas estão em X pela hipótese (1). Se se α,β X então (α β) X, (α β) X, (α β) X, (α β) X, α X por (2) e por (3). Portanto L 0 X. Exemplo 4. Vamos provar usando a indução que toda fbf tem um quantidade par de parênteses. Cada fórmula atômica tem 0 parênteses. Para todo α que tem um número par, digamos 2n, de parênteses, ( α) tem 2n + 2 = 2(n + 1) parênteses, portanto par. Suponha que α e β tenham, respectivamente, 2n e 2m parênteses, então (α β) tem 2n + 2m + 2 = 2(n + m + 1) parênteses (os casos (α β), (α β) e (α β) são idênticos). Pelo Princípio de indução para fórmulas toda FBF tem um quantidade par de parênteses. O exemplo a seguir ilustra uma definição recursiva para fórmulas. Pelo princípio de indução em fórmulas, se definimos uma característica para as fórmulas atômicas e se tal característica fica definida para ( α), (α β), (α β), (α β) e (α β) sempre que está definida para α e para β então ela fica definida para toda FBF. Exemplo 5 (Grau de complexidade). As vezes é conveniente medir a complexidade de uma FBF pelo seu grau dado por: (1) grau(α) = 0 se α é fórmula atômica; (2) grau( α) = grau(α) + 1; e (3) grau(α β) = max { grau(α),grau(β) } + 1; (4) grau(α β) = max { grau(α),grau(β) } + 1; (5) grau(α β) = max { grau(α),grau(β) } + 1; (6) grau(α β) = max { grau(α),grau(β) } + 1. Pelo metateorema 3 o grau de complexidade está definido para toda fórmula de L Leitura única. O leitor atento pode perguntar se as definições dos símbolos e a regra de formação das fórmulas garantem que a as fórmulas de L 0 não são ambíguas no sentido de que uma dada fórmula não pode ser podem ser lida de mais de uma maneira de acordo com as regras estabelecidas. De fato, pode se provar (mas não faremos aqui) que uma fórmula de L 0 deve satisfazer exatamente uma dentre as condições (F1), (F2) e (F3) que regem a formação de fórmulas. Metateorema 6 (Teorema da unicidade da representação (ou leitura única)). Para toda FBF α, uma, e apenas uma, das afirmações abaixo é verdadeira: α é uma fórmula atômica; existe uma única FBF β tal que α é a fórmula ( β);

6 17 existem únicas FBFs β e γ tais que α é a fórmula (β γ); existem únicas FBFs β e γ tais que α é a fórmula (β γ); existem únicas FBFs β e γ tais que α é a fórmula (β γ); existem únicas FBFs β e γ tais que α é a fórmula (β γ). ( (p1 ) ( Exemplo 7. A fórmula p 2 ( p3 ) (p 4 p 5 ) )) pode ser lida de uma única maneira, representada pelo diagrama da figura 1, a árvore de formação da fórmula. ( (p1 ) ( p 2 ( p3 ) (p 4 p 5 ) )) (p 1 p 2 ) (( p 3 ) (p 4 p 5 )) p 1 p 2 ( p 3 ) (p 4 p 5 ) p 3 p 4 p 5 FIGURA 1. A leitura da fórmula ((p 1 p 2 ) (( p 3 ) (p 4 p 5 ))) Subfórmulas. As fórmulas intermediárias que aparecem no processo de construção de uma fórmula através das regras (F1) (F3) são chamadas de subfórmulas. Exemplo 8. p 1, p 2, ( p 1 ) e (p 2 ( p 1 )) são subfórmulas de (p 1 (p 2 ( p 1 ))). Formalmente, a definição do conjunto das subfórmulas de uma fórmula é recursiva (1) Sf(α) = {α} para toda FBF atômica p; (2) Sf( α) = Sf(α) {( α)}; (3) Sf(α β) = Sf(α) Sf(β) {(α β)}; (4) Sf(α β) = Sf(α) Sf(β) {(α β)}. (5) Sf(α β) = Sf(α) Sf(β) {(α β)}. (6) Sf(α β) = Sf(α) Sf(β) {(α β)} Simplificações. Vamos assumir algumas convenções de notação para facilitar nossa vida Abreviaturas. Representamos os símbolos atômicos por algumas das letras do final do alfabeto da Língua Portuguesa, por exemplo p, q,r, s, t,u, v, x, z. Sempre que precisamos de muitas símbolos atômicos usamos os símbolos formais.

7 18 Representamos os conectivos,, e genericamente, pelo símbolo, no caso de múltiplas ocorrências de conectivos usaremos índices 1, 2 e assim por diante. Com isso α β indica uma fórmula composta por α, β e algum dos conectivos e qual deles, especificamente, não importa no momento em que se usa o símbolo com o cuidado de que duas ocorrências numa mesma frase significa o mesmo conectivo; por exemplo em α η deve ser lido como (α η) não deve ser entendido como, por exemplo, α η deve ser lido como (α η) mas sim como α η deve ser lido como (α η) (e, respectivamente, o mesmo para sendo,, ) Omissão de parênteses. Para simplificar notação e facilitar a leitura omitimos a escrita de parênteses de acordo com as seguintes regras, para evitar ambiguidade. (1) Omitimos os parênteses mais externos: α deve ser lido como ( α) e α η deve ser lido como (α η). (2) Adotamos a seguinte ordem de precedência para os conectivos:,,,,. Assim, por exemplo, p q r deve ser lido como (q (q r )); p r deve ser lido como (( p) r ); p r q s deve ser lido como ((( p) r ) (q s)). (3) As repetições de um mesmo conectivo são aninhadas pela direita: p q r s deve ser lido como (p (q (r s))). São regras informais, nos momentos que exigem resultados mais rigorosos, não devemos considerar essas simplificações. Por exemplo, α β lê-se (( α) β), α β lê-se (( ( ( α))) β), α β γ lê-se ((α β) γ), δ α (β γ) lê-se (δ (α (β γ))) Exercícios. (1) Queremos com uma linguagem simbólica capturar formas de dedução ou argumentação de modo que há situações descritas em linguagem natural que queremos simbolizar na linguagem artificial. Por exemplo, denominando as sentenças atômicas p : O time joga bem q : O time ganha o campeonato. r : O técnico é o culpado. s : Os torcedores estão felizes. escrevemos as sentenças compostas p q : Se o time joga bem, então ganha o campeonato. ( p) r : Se o time não joga bem, então o técnico é o culpado.

8 19 q s : O time ganha o campeonato ou os torcedores não ficam felizes. Escreva as seguintes frases como fórmulas bem formadas da linguagem da lógica proposicional usando símbolos proposicionais para as frases atômicas. Para fazer alguns dos itens será necessário pesquisar 2 como os termos necessário, suficiente, necessário e suficiente, somente se são traduzidos para os conectivos lógicos. (a) Se há motivação para o estudo, então o estudante estuda muito ou não aprende a matéria. (b) Se o estudante estuda muito, então, se não há motivação para o estudo, o estudante não aprende a matéria. (c) Não há motivação para o estudo se, e somente se, o estudante estuda muito e não aprende a matéria. (d) Se o Sr. Jones está feliz, Sra. Jones não está feliz, e se o Sr. Jones não é feliz, Sra. Jones não é feliz. (e) Ou Sam virá para a festa e Max não vai, ou Sam não vai vêm para a festa e Max vai se divertir. (f) Uma condição suficiente para x para ser estranho é que x é primo. (g) Uma condição necessária para uma sequência convergir é ser limitada. (h) A condição necessária e suficiente para o sheikh para ser feliz é ter vinho, mulheres e música. (i) Fiorello vai ao cinema somente se uma comédia está jogando. (j) O suborno será pago se e somente se as mercadorias são entregues. (k) Karpov vai ganhar o torneio de xadrez, a menos que Kasparov vença hoje. (2) Adicione parênteses nas seguintes expressões de modo que fiquem fórmulas bem formadas (não é necessário seguir as regras de omissão de parênteses). Quando houver mais de uma possibilidade, faça pelo menos duas delas. (a) p q (b) p q r s (c) p q r p q r (d) α α (e) ( α β) (f) α α (β γ) (3) Para as fórmulas bem formadas encontradas no exercício anterior, determine todas as subfórmulas. (As subfórmulas dependem do modo que os parênteses foram colocados?) (4) (Comprimento de uma fórmula) Use o princípio de indução para fórmulas e defina a função l: L 0 N, para toda fórmula α da linguagem L 0 da lógica proposicional. Chamamos l(α) de comprimento da fórmula α e expressa o número de símbolos da fórmula 2 o livro do Hegenberg de Lógica e o livro de Matemática Discreta do Rosen são lugares pra se começar.

9 20 que não são de pontuação. Por exemplo l(( p 1 )) = {2}, l((p 1 p 2 )) = 3, l((p 1 (p 1 p 2 ) ( p 2 ))) = 8. (5) Use o princípio de indução para fórmulas e defina recursivamente, para toda fórmula α da linguagem, a função atomos(α) que descreve o conjunto dos símbolos proposicionais que ocorrem em α. Por exemplo atomo(p 1 ) = {p 1 }, atomo((p 1 p 2 )) = {p 1, p 2 }, atomo((p 1 (p 1 p 2 ) ( p 2 ))) = {p 1, p 2 }. (6) Demonstre que para toda fórmula α vale que grau(α) é no máximo o número de conectivos lógicos que aparecem em α. Demonstre também que grau(β) < grau(α) para toda subfórmula própria β da fórmula α. (7) Leia com atenção a descrição das regras para a omissão de parênteses e refaça o exercício 2 tendo em mente que os parênteses das fórmulas foram omitidos de acordo com a descrição acima. (8) Seja P uma propriedade de fórmulas. Considere, para todo inteiro n 0, a sentença S (n) : toda as fórmulas de L 0 escritas com n conectivos lógicos têm a propriedade P. Use S (n) e o princípio de indução finita completo para provar o princípio de indução para fórmulas. (9) Prove usando indução para fórmulas que o número de abre-parênteses em uma fórmula é sempre igual ao número de fecha-parênteses. (10) Prove usando indução para fórmulas que dada qualquer ocorrência de um conectivo na fórmula, o número de abre-parênteses que se localizam à esquerda desse conectivo é estritamente maior que o número de fecha-parênteses que estão à sua esquerda. (11) Prove usando indução para fórmulas que em uma fórmula do tipo ( α) ou do tipo α β, com α e β fórmulas, o número de abre-parênteses que estão à esquerda de é exatamente um a mais que o número de fecha-parênteses à esquerda de. (12) Prove usando indução para fórmulas que em toda fórmula α ocorre o seguinte fenômeno: dentre todos os conectivos da fórmula apenas um satisfaz a condição à esquerda dele, o número de abre-parênteses é exatamente um a mais que o número de fechaparênteses. (13) Prove o metateorema da leitura única, metateorema A SEMÂNTICA DA LINGUAGEM DA LÓGICA PROPOSICIONAL 4.1. Interpretação e Valoração. Os objetos fundamentais da lógica simbólica são as fórmulas que modelam declarações matemáticas, as deduções que modelam o raciocínio matemático e a semântica que define uma interpretação para as fórmulas. Uma interpretação para as fórmulas de L 0 é uma função ˆv que associa a qualquer fórmula de L 0 um objeto em uma estrutura abstrata chamada modelo que permite definir a validade das fórmulas. No nosso caso, a lógica

10 21 proposicional, as fórmulas assumem um de dois valores, 0 ou 1, a que chamamos de valoresverdade. Uma valoração de L 0 é uma função w : L 0 {0,1} que atribui valor-verdade para as todas fórmulas bem formadas da linguagem e que satisfaz as seguintes condições w( α) = 1 w(α). w(α β) = min{w(α), w(β)}. w(α β) = max{w(α), w(β)}. w(α β) = max{1 w(α), w(β)} w(α β) = max { min{w(α), w(β)},min{1 w(α),1 w(β)} } Esse último pode ser escrito de modo mais simples usando valor absoluto como w(α β) = 1 w(α) w(β). Observemos que w( α) = 1 se, e só se, w(α) = 0, que w(α β) = 1 se, e só se, w(α) = w(β) = 1, que w(α β) = 0 se, e só se, w(α) = w(β) = 0, que w(α β) = 0 se, e só se, w(α) = 1 e w(β) = 0 e, finalmente, que w(α β) = 1 se, e só se, w(α) = w(β). Desse modo, os conectivos lógicos são interpretados como operadores lógicos da álgebra booleana. O é interpretado como o operador E, o como OU, o como o NÃO e a implicação como o SE-ENTÃO e a bi-implicação é interpretada como SE E SOMENTE SE. Exemplo 9. Seja w uma valoração tal que w(p 1 ) = w(p 3 ) = 0 e w(p 2 ) = 1. Então, w((p 1 p 2 ) p 3 ) = max{1 w(p 1 p 2 ), w(p 3 )} = max{1 max{w(p 1 ), w(p 2 )}, w(p 3 )} = max{1 max{w(p 1 ), w(p 2 )}, w(p 3 )} = max{1 max{0,1},0} = max{0,0} = 0. Dizemos que w : L 0 {0,1} satisfaz, ou é um modelo de α ou, ainda, α é satisfazível ou verdadeira para w se, e somente se, w(α) = 1 e escrevemos w α. Exercício 10. Tome uma valoração w tal que w(p 4 ) = w(p 2 ) = 1 e w(p 1 ) = w(p 3 ) = 0. Determine w(α) quando α é dada por (1) p 2 p 3. (2) p 2 p 3. (3) ( p 4 p 1 ). (4) p 4 p 1. (5) (p 4 p 1 ). (6) p 4 p 1. Exercício 11. Demonstre que para qualquer valoração w vale que w(p q) = w( p q).

11 22 O valor-verdade de uma fórmula depende somente dos valores de suas subfórmulas atômicas. Metateorema 12. Sejam v e w duas valorações de L 0. Se α L 0 é uma fórmula tal que v(p) = w(p) para toda fórmula atômica p Sf(α), então v(α) = w(α). Demonstração. A demonstração é por indução (metateorema 3) e usa o teorema da leitura única, metateorema 6. Sejam v e w duas valorações de L 0. Seja α L 0 uma fórmula tal que v(p) = w(p) para toda subfórmula atômica p Sf(α). Se α é fórmula atômica então é imediato que v(α) = w(α). Suponha que α é β. Por hipótese v(β) = w(β), logo 1 v(β) = 1 w(β), portanto v(α) = w(α). Suponha que α é β γ. Por hipótese v(β) = w(β) e v(γ) = w(γ), então max{v(β), v(γ)} = max{w(β), w(γ)}, portanto v(α) = w(α). Suponha que α é β γ. Por hipótese v(β) = w(β) e v(γ) = w(γ), então min{v(β), v(γ)} = min{w(β), w(γ)}, portanto v(α) = w(α). Os outros dois casos deixamos para que o leitor verifique. Pelo princípio de indução para fórmulas, para toda FBF α tal que v e w coincidem nas subfórmulas atômicas vale que v(α) = w(α). Uma interpretação de uma fórmula α é definida por uma atribuição de valor-verdade 0 ou 1 para cada uma das suas fórmulas atômicas. Por exemplo, uma interpretação da fórmula p (q s) é dada por uma atribuição de valor-verdade 0 ou 1 para p, q e s, por exemplo 3 p 0, q 1, s 0 e, nesse caso, respeitando as condições de uma valoração, temos que a fórmula p (q s) assume o valor-verdade 1. Denotemos por V o conjunto dos símbolos proposicionais. Uma interpretação é uma função v : V {0,1}. Toda interpretação v pode ser estendida para uma única valoração ˆv : L 0 {0,1} i.e., existe uma única ˆv valoração tal que v(p) = ˆv(p) para todo p V. Corolário 12.1 (Extensão única de uma interpretação). Dada um interpretação v : V {0, 1}, existe uma única valoração w : L 0 {0,1} tal que w(p) = v(p) para toda fórmula atômica p V. 3 p 0 significa que a p é atribuído o valor-verdade 0.

12 23 Demonstração. Sejam u e w duas valorações que estendem v. Suponha que {α L 0 : w(α) u(α)}. Tome α nesse conjunto cujo grau seja mínimo dentre todas as fórmulas de desse conjunto. Se α é atômica então w(α) = v(α) = u(α), por definição, portanto α ou é β ou é β γ. Se α é β então temos grau(β) < grau(α) (exerc. 6, pág. 20), portanto w(β) = u(β) donde deduzimos que w(α) = 1 w(β) = 1 u(β) = u(α). Se α é β γ então temos grau(β), grau(γ) < grau(α) portanto w(β) = u(β) e w(γ) = u(γ). Assim, qualquer que seja {,,, } teremos w(α) = u(α) Tautologia e contradição. Dizemos que uma fórmula é uma tautologia (ou fórmula válida) se o valor-verdade da fórmula é sempre 1 em qualquer interpretação, ou seja, para toda valoração v, v α e nesse caso simplesmente escrevemos α. Dos exemplos anteriores temos que p (q p), (p p) e ( p q) (p q) são tautologias. Algumas das tautologias notáveis são dadas abaixo. Não contradição Terceiro excluído (α ( α)) α ( α) Algumas bi-implicações tautológicas notáveis são Dupla negação α ( α) Implicação (α β) ( α β) Bi-implicação (α β) ( (α β) (β α) ) Comutatividade (α β) (β α) Associatividade Distributividade Contrapositiva Negação da implicação Leis de De Morgan Algumas das implicações tautológicas (α β) (β α) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α β) (( β) ( α)) (α β) (α ( β)) (α β) (( α) ( β)) (α β) (( α) ( β))

13 24 Lei da adição α (α β) Lei da simplificação (α β) α Modus Ponens (α (α β)) β Modus Tollens (( β) (α β)) α Silogismo disjuntivo ((α β) α) β Silogismo hipotético ((α β) (β γ)) (α γ) Redução ao absurdo ((α ( β)) (γ ( γ))) (α β) Vamos verificar a dupla negação. Seja v uma interpretação qualquer e temos ˆv( α) = 1 ˆv( α) = 1 (1 ˆv(α)) = ˆv(α), portanto ˆv(α α) = max { min{ ˆv(α), ˆv( α)},min{1 ˆv(α),1 ˆv( α)} } = max { ˆv(α),1 ˆv(α) } = 1 Agora, vamos verificar a não-contradição. Seja v uma interpretação qualquer e temos ˆv( (α α)) = 1 ˆv(α α) = 1 min { ˆv(α), ˆv( α) } = 1 min { ˆv(α),1 ˆv(α) } = 1 0 = 1. Exercício 13. Calcule o valor-verdade das fórmulas tautológicas listadas acima. Dizemos que uma fórmula é uma contradição se seu valor verdade for 0 em qualquer interpretação. Certamente, as fórmulas (p p) e (p p) são contradições. Também, a negação de uma tautologia é uma contradição. Metateorema 14. α é uma tautologia se, e só se, α é uma contradição. Demonstração. Exercício Simplificações de notação. Usaremos o símbolo para expressar uma contradição qualquer, ou seja, esse símbolo representa uma fórmula que é 0 em qualquer interpretação e o usamos sempre que a fórmula propriamente dita for irrelevante para a situação em discurso. Ademais abrevia Tabela-verdade. Do valor lógico de uma fórmula de L 0 numa valoração depender exclusivamente do valor de seus átomos podemos concluir que, para analisarmos os possíveis valoresverdade de uma fórmula de L 0, basta analisarmos todas as interpretações em um conjunto finito de fórmulas atômicas. Isso garante um procedimento efetivo (i.e., um algoritmo) que, dado uma fórmula α L 0, descobre o valor-verdade de α em toda interpretação possível.

14 25 Metateorema 15. Existe um algoritmo que, dado uma fórmula α L 0, decide se α é satisfazível. Nessa seção descrevemos um procedimento efetivo para determinar o(s) valor(es) verdade de uma fórmula bem formada. O metateorema da extensão única (corolário 12) garante um procedimento com um número finito de passos para estudar os possíveis valores-verdade de uma fórmula. (1) O primeiro passo para montar a tabela-verdade de uma fórmula é destrinchá-la nas subfórmulas. (2) Em seguida, montamos uma coluna para cada subfórmula, colocando as mais elementares à esquerda, e as mais complexas à direita, partindo das fórmulas atômicas até a fórmula toda. (3) Escrevemos uma linha para cada possível interpretação (valoração das fórmulas atômicas) e usamos as regras de valoração para completar a tabela. Por exemplo p p p p atesta que p p é uma tautologia. Exemplo 16. Tabelas-verdade para (1) (p p), (2) (p (q p)) e (3) p q. (1) p p p p (p p) (2) p q q p p (q p) (p (q p)) (3) p q p p q

15 26 Exemplo 17. Tabela-verdade para ( p 1 p 2 ) ( ( p3 ) (p 4 p 5 ) ) p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 ( p 3 ) (p 4 p 5 ) ( ) ( p1 p 2 ( p3 ) (p 4 p 5 ) ) Vimos que o valor lógico de uma fórmula de L 0 depende exclusivamente do valor de seus átomos e isso garante um procedimento efetivo que, dado uma fórmula α L 0, descobre o valorverdade de α em toda interpretação possível. Na prática, a viabilidade desse método depende da quantidade de subfórmulas atômicas da fórmula pois o tamanho da tabela cresce exponencialmente nesse parâmetro. Uma fórmula sobre n átomos tem uma tabela com 2 n linhas. Uma fórmula com 10 átomos resulta numa tabela com linhas, certamente muito trabalhoso para um humano mas facilmente resolvido por um computador. Entretanto, deve ficar claro que mesmo para um computador há um limite. Se há 30 átomos, a tabela irá conter mais de um bilhão de combinações de valores. Embora haja atalhos como, por exemplo, se se atribui o valor 0 para p pode-se atribuir o valor 0 para p q independentemente do valor atribuído ao q, o que reduz o número de cálculos a serem realizados, em tese, esses atalhos podem não ajudar. Tais atalhos não mudam fundamentalmente a dificuldade do problema.

16 27 Estamos na seguinte situação: dada uma fórmula α da lógica proposicional, queremos determinar se α é sempre verdadeira, i.e., há interpretação para os símbolos proposicionais de α que a torna verdadeira. Esse problema é conhecido na Teoria da Computação como o problema da satisfazibilidade de uma fórmula booleana e é chamado 012. Determinar via força-bruta se alguma interpretação satisfaz a fórmula toma tempo exponencial no número de átomos e não se sabe se é possível tomar algum atalho que seja efetivo para toda fórmula e que diminua consideravelmente a quantidade computação necessária para tomar a decisão correta. Ainda, dada uma valoração podemos verificar rapidamente o valor-verdade da fórmula α. Isso é uma característica da família de problemas computacionais ditos NP. O problema 012 desempenha um papel fundamental na Teoria da Complexidade Computacional uma vez que podemos mostrar que a descoberta de um algoritmo eficiente para este problema implica em algoritmos eficientes para todos os problemas computacionais do tipo NP. De fato, dentre os problemas NP, esse é um dos mais difíceis, num certo sentido muito preciso, ou seja, é um problema computacional NP-completo Equivalência lógica. Dizemos que as FBF α e β são logicamente (ou semanticamente) equivalentes se ˆv(α) = ˆv(β), para toda interpretação v e denotamos esse fato por α β. Pelo exposto acima, α β é equivalente a α β. Exemplo 18. São algumas equivalências semânticas notáveis obtidas das bi-implicações tautológicas notáveis da página 23 dupla negação α α implicação γ δ ( γ) δ bi-implicação γ δ (γ δ) (δ γ) comutatividade α β β α leis de De Morgan (γ δ) ( γ) ( δ) (γ δ) ( γ) ( δ) distributiva α (β γ) (α β) (α γ) contrapositiva (α β) (( β) ( α)) Exemplo 19. A sequência de equivalências abaixo estabelece (p ( p q)) (p q)

17 28 (p ( p q)) p ( p q)) por De Morgan p ( p q) por De Morgan p (p q) por dupla negação ( p p) ( p q) por distributiva ( p q) pela abreviação ( p q) pela conjunção (p q) por De Morgan Conjunto adequado de conectivos. Sejam α e β fórmulas tais que α β. Seja γ uma fórmula tal que α Sb(γ). Troque uma ou mais das ocorrências de α por β em γ e denote por δ a fórmula assim obtida, então δ γ. Por exemplo, em ((p 1 p 2 ) (( p 3 ) (p 1 p 2 ))) trocamos as ocorrências de p 1 p 2 por ( p 1 ) p 2 e obtemos ((( p 1 ) p 2 ) (( p 3 ) (( p 1 ) p 2 ))). Evidentemente ((p 1 p 2 ) (( p 3 ) (p 1 p 2 ))) ((( p 1 ) p 2 ) (( p 3 ) (( p 1 ) p 2 ))). Em vista das equivalências lógicas da implicação, γ δ ( γ) δ e da bi-implicação, γ δ (γ δ) (δ γ), que por sua vez pode ser escrita como γ δ ( γ δ) ( δ γ), é possível demonstrar o seguinte resultado. Metateorema 20. Para qualquer formula α de L 0 existe uma fórmula α α tal que (1) α e α têm os mesmos símbolos atômicos (2) em α não ocorrem e. Demonstração. A prova é por indução. Se α é fórmula atômica então o enunciado fica automaticamente satisfeito pelo próprio α. Se α é β, por hipótese existe β β que satisfaz o enunciado, portanto, β é equivalente a α, tem os mesmos átomos, e não não ocorrem e. Se α é β δ ou se α é β δ, a mesma estratégia vale e a demonstração é deixada como exercício. Se α é β δ. Por hipótese, existem β β e δ δ tal que β δ β δ e β δ tem os mesmos átomos de β δ. Então α ( β ) δ e essa última tem os mesmos átomos de α e não tem ocorrência de e. Se α é β δ então consideramos β e δ como no parágrafo anterior e temos que β δ ( β δ ) ( δ β ) e essa última fórmula tem os mesmos átomos de α e não tem ocorrência de e Pelo princípio de indução para fórmulas o enunciado vale para todo α L 0.

18 Exercícios. (14) Construa a tabela-verdade das fórmulas e verifique se cada uma é tautologia, contradição ou contingência (isto é, nem tautologia nem contradição) (a) p ( (p q)). (b) p ( (p q)). (c) (r q) ((p q) (p q)). (d) ((p q) (q r )) (p r ) (e) (p (q r )) (( q r ) p) (f) p (q (p ( q r ))) (g) ((p q) (q r )) (p r ) (15) Determine o grau de complexidade das fórmulas do exercício anterior. (16) Mostre que as fórmulas abaixo são tautologias sem construir uma tabela-verdade, use ou uma cadeia de equivalências como no exemplo 19 ou calcule diretamente da definição o valor-verdade para uma interpretação arbitrária como no exemplo da dupla-negação na página 24. (a) ( p) p (b) (p q) ( p q) (c) (p q) ( p q) (d) (p q) (p q) (e) (p q) (p q) ( p q) (17) Para cada fórmula a seguir, escreva uma fórmula que seja logicamente equivalente à negação da fórmula mas que só ocorra símbolos atômicos negados. O exercício anterior pode ser útil. (a) (p q) r (b) p (p q) (c) p (q r ) (d) p (q (r s)) (e) p (q r ) (f) p (q r ) (g) (p q) (r s) (h) p (q r ) (i) (p q) (r s) (18) Escreva a negação das seguintes sentenças da língua portuguesa. (a) Se a canoa não virar então eu chego lá. (b) Se eu fizer faculdade, eu vou cursar Matemática ou Física. (c) Se chover ou fizer frio, eu vou ficar em casa ou vou para o cinema. (d) Se eu estudar física, eu não vou estudar história, a menos que eu também estude português. (e) Eu não ouço Beethoven quando leio Kafka, a menos que esteja chovendo e eu esteja deprimido. (19) Se ( (φ τ) (φ τ) ) é uma tautologia então o que pode ser dito a respeito do valorverdade de φ? (20) Determine se é verdadeiro ou falso (e justifique):