Todos os pássaros têm pena. Nem todos os passáros voam. Todo inteiro primo maior que dois é ímpar

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1 O que procuramos? Todos os pássaros têm pena. Nem todos os passáros voam. Todo inteiro primo maior que dois é ímpar Pode ser tratado no cálculo sentencial, o qual não captura toda estrutura da sentença. Os alvos do discurso (sujeito e ojeto) têm qualidade e mantêm relações.

2 Argumentos não validados pela lógica proposicional Premissa Premissa Conclusão Todos os felinos são mamíferos Alguns felinos são ferozes Alguns mamíferos são ferozes

3 Argumentos não validados pela lógica proposicional Premissa Premissa Conclusão O sucessor de um inteiro par é ímpar 2 é um inteiro par O sucessor de 2 é ímpar

4 O que procuramos Uma linguagem mais rica que leva em conta a estrutura interna das sentenças sujeito predicado objeto na qual sujeito e objetos de quem se fala são elementos de um universo do discurso e são representados por constantes, por objetos genéricos e não especificados (pronomes) que são representados por variáveis e termos. Os predicados e as relações são explicitados. Incorpora o para todo e o existe como primitivas da linguagem.

5 Exemplos I Num universo far, far away... As constantes a := Armando, d := Daniel, j := José Os predicados P para é professor, A para é aluno. As relações J para lecionam juntos e N para é mais novo.

6 Exemplos II P(a) representa a sentença Armando é professor A(j) representa a sentença José não é aluno J(a, d) representa a sentença Armando e Daniel lecionam juntos M(d, a) representa a sentença Daniel é mais novo que Armando

7 Exemplos III Obervemos que J(a, d) e J(d, a) têm o mesmo significado mas M(a, d) e M(d, a) não têm o mesmo significado

8 Exemplos IV Variáveis P(x) representa x é professor M(x, y) que representa x é mais novo que y Não são sentenças. Não têm valor lógico São chamadas de sentenças abertas. Tornam-se sentenças substituindo as variáveis por constantes ou se quantificamos.

9 Exemplos V Quantificação Os quantificadores lê-se para todo e lê-se existe x P(x) representa para todo x, x é professor x P(x) representa existe x, x é professor São sentenças. Têm valor lógico

10 Exemplos VI Notemos que, por exemplo x M(x, y) é uma sentença aberta y x M(x, y) e x y M(x, y) têm significados diferentes.

11 Exemplos VII Todo aluno é mais novo que algum professor : x y(a(x) P(y) M(x, y))

12 Exemplos VIII Todo aluno é mais novo que algum professor : x y(a(x) P(y) M(x, y))

13 Exemplos IX Há um professor tal que todo aluno aprende algum assunto com ele B(x, y, z) representa y aprende z com x H(x) representa x é um assunto x (P(x) y ( A(y) z (H(z) B(x, y, z)) ))

14 Exemplos X Premissa Premissa Conclusão Premissa Premissa Conclusão Todos os felinos são mamíferos Alguns felinos são ferozes Alguns mamíferos são ferozes x (Felino(x) Mamifero(x)) x (Felino(x) Feroz(x)) x (Mamifero(x) Feroz(x))

15 Exemplos XI Para todo x, se x é inteiro igual a zero ou maior que zero e todo inteiro é divisível por x, então x é igual a um considerando que 0 e 1 são constantes; >(x, y) simboliza a relação x é maior que y ; =(x, y) simboliza a relação x é igual a y e (x, y) simboliza a relação x divide y, é simbolizada como ( ( ) ) x >(x, 0) =(x, 0) y ( (x, y)) =(x, 1).

16 Não é suficiente para validar O que temos até agora não consegue captura a dedução Premissa Premissa Conclusão Dumbo é um elefante elefante é uma espécie Dumbo é uma espécie Não veremos como resolver, isso faz parte das lógicas de segunda ordem

17 Linguagem formal A lógica de predicados de 1 a ordem A lógica de predicados e primeira ordem é constituída por: linguagem semântica que trata dos símbolos utilizados e da regra de formação de fórmulas, que interpreta a linguagem, dando-lhe um significado, e sistema dedutivo que dita as regras para demonstrações de teoremas. A linguagem da lógica de primeira ordem não é única. Há símbolos comuns a todas e outros específicos.

18 Linguagem formal Constituintes de uma linguagem de primeira ordem alfabeto são os símbolos utilizados, termos são as sequências finitas de símbolos que representam indivíduos do universo a que se refere a linguagem, e fórmulas são as sequências finitas de símbolos que representam asserções sobre os indivíduos.

19 Linguagem formal Alfabeto Variáveis x 1, x 2, x 3,... Conectivos lógicos, Quantificadores Pontuação os parênteses ( e ) Símbolo de igualdade. = Constantes c 1, c 2, c 3,... Símbolos relacionais n-ários R1 n, Rn 2, Rn 3,... para cada inteiro n 1 Símbolos funcionais n-ários F1 n, F 2 n, F 3 n,... para cada inteiro n 1

20 Linguagem formal Alfabeto As constantes, os símbolos relacionais e funcionais são específicos de cada linguagem de primeira ordem. O conjunto das constantes pode ser vazio, o conjuntos dos símbolos relacionais pode ser vazio e o conjunto símbolos funcionais pode ser vazio.

21 Linguagem formal Termos I Termos são as sequências de símbolos do alfabeto obtidas a partir das regras abaixo. (T1) Variáveis e constantes são termos. (T2) Para qualquer natural n, e qualquer símbolo funcional Fi n, se t 1, t 2,..., t n são termos então Fi n t 1 t 2... t n é termo. (T3) Não há outros termos além dos obtidos pela aplicação de um número finito de vezes das regras acima.

22 Linguagem formal Termos II São termos: c 1, x 101, F2 1x 1, F2 2x 1c 8, F1 4c 1c 2 x 1 x 2. Note que F2 2x 1 não é termo (por quê?). A cadeia de símbolos F1 1F 1 2x 1x 2 é um termo? F1 1F 1 2F 1 1x 1x 2 é um termo?

23 Linguagem formal Fórmulas I Fórmula ou fórmulas bem formadas, são as sequências de símbolos do alfabeto A 1 obtidas a partir das regras abaixo. (F1) Se t e s são termos, então (. = ts) é uma fórmula. Também, para qualquer natural n, e qualquer símbolo relacional R n i, se t 1,..., t n são termos então R n i t 1t 2... t n é uma fórmula. As fórmulas da linguagem obtidas por aplicação exclusiva dessa regra são ditas atômica. (F2) Se α e β são fórmulas, então ( α) e (α β) são fórmulas. (F3) Se α é fórmula e x é uma variável, então ( x α) é fórmula. (F4) Não há outras fórmulas além daquelas obtidas pela aplicação um número finito de vezes as regras acima.

24 Linguagem formal Fórmulas II Exemplos: ( (R 1 1 x 1 R 3 2 x 4x 2 c 1 ) ( x1 (( x 2 R 3 2 c 4x 2 c 1 ) ( (. = F 1 1 x 1F 1 1 c 1))) )). (R 1 1 (x 1) R 3 2 (x 4, x 2, c 1 )) ( x 1 ( x 2 R 3 2 (c 4, x 2, c 1 )))

25 Abreviaturas Abreviaturas e simplificações I Abriviaturas Para resultados teóricos (metamatemáticos) é vantajoso possuirmos o mínimo possível de símbolos. Para expressarmos de maneira clara e sucinta quanto mais símbolos, melhor. Tratando alguns símbolos como abreviaturas de outros ganhamos dos dois lados.

26 Abreviaturas Abreviaturas e simplificações II Fórmulas: α, β, γ,... possivelmente com índices. Termos: s, t, u, v possivelmente com índices. Variáveis: x, w, y, z possivelmente com índices. Constantes: a, b, c, d, e, f possivelmente com índices.

27 Abreviaturas Abreviaturas e simplificações III Símbolos relacionais: P, Q, R, S, <,. Ainda, escrevemos R(t 1, t 2,..., t n ) ao invés de R n t 1 t 2... t n. Para as relações R binárias (a R b) ao invés de R(a, b) como em (a < b), em particular, escrevemos (t. = s) ao invés de. = (t, s) como é usual.

28 Abreviaturas Abreviaturas e simplificações IV Símbolos funcionais: Ao invés de Fi n escrevemos F e também usamos outros símbolos como F, G, H, +,. Ainda, ao invés de F n t 1 t 2... t n escrevemos F (t 1, t 2,..., t n ). Para as operações binárias F escrevemos (a F b) ao invés de F (a, b), como em (a + b).

29 Abreviaturas Abreviaturas e simplificações V símbolo lê-se uso conjunção (α β) abrevia ( (α ( β))) disjunção (α β) abrevia (( α) β) biimplica (α β) abrevia ((α β) (β α)) existe ( xα) abrevia ( ( x( α))) não existe ( x α) abrevia ( ( xα)) diferente (s t) abrevia ( (s =. t)) falsum abrevia (α ( α)) verum abrevia ( )

30 Abreviaturas Abreviaturas e simplificações VI ( (R 1 1 x 1 R 3 2 x 4 x 2 c 1 ) ( x1 (( x 2 R 3 2 c 4 x 2 c 1 ) ( (. = F 1 1 x 1 F 1 1 c 1 ))) )) que simplificando (e omitindo parênteses) fica escrito como (R(x) S(z, y, c)) x y ( S(a, y, c) (F (x) F (c)) ).

31 Abreviaturas Omissão de parênteses Omitimos os parênteses externos de uma fórmula, recolocando quando a usamos para compor outras fórmulas. Por exemplo, escrevemos α β no lugar de (α β), mas recolocamos os parênteses quando escrevemos, por exemplo, x(α β). tem precedência sobre que tem precedência sobre ; considerando as abreviações ordem de precedência é,,,,,, e. Conectivos repetidos são agrupados pela direita, por exemplo, α β γ é lido como (α (β γ)). Quando não houver riscos de más interpretações, omitimos os parênteses externos em subfórmulas do tipo xα, xα e α. Por exemplo, escrevemos x y α, em vez de ( x( y α)).

32 Exemplos de linguagens de primeira ordem Exemplos I Uma linguagem de primeira ordem tem os símbolos lógicos (comum às linguagens). x 1, x 2, x 3,... ( ), = e os símbolos extralógicos (específicos de cada linguagem) Constantes, Símbolos relacionais e Símbolos funcionais Para definir uma linguagem explicitamos só os símbolos extralógicos.

33 Exemplos de linguagens de primeira ordem Exemplos II Exemplo 1: A linguagem da igualdade pura, L = : Não há símbolos extralógicos. Exemplo 2: Uma linguagem para Corpos L F : Constantes: 0, 1 Símbolos funcionais binários: +, Exemplo 3: Uma linguagem para Teoria dos Conjuntos L ST : Símbolo relacional binário:

34 Exemplos de linguagens de primeira ordem Exemplos III Exemplo 4: Uma linguagem para Aritmética L N : Constante: 0 Símbolo funcional unário: S Símbolos funcionais binários: +, o símbolo relacional binário <. A constante 0 pretende representar o número zero, S a função sucessor (isto é, S(n) é n + 1 ).

35 Exemplos de linguagens de primeira ordem Exemplos IV São termos dessa linguagem + 0x 1 x 2, SSSS0, +x 1 S0 Usando as convenções de simplificação (0 x) + y, S(S(S(S(0)))), x + S(0)

36 Exemplos de linguagens de primeira ordem Exemplos V São fórmulas. 1 = x 1 + S0SS0 x 1 SSS0 simplificada por x (S(0) + S(S(0))) =. x S(S(S(0))). 2 < S0S0 + S0S0 ou, simplesmente, S(0) S(0) < S(0) + S(0).. 3 ( x 1 = +0x1 x 1 ) ou, simplesmente, x(x + 0 =. x). ( ( 4 x 1 x2 ( =. +S0x 1 + x 2 S0 =. x 1 x 2 ) )) ou x y (x + S(0). = y + S(0) x. = y). 5 Já simplificado x y z ( y. = x + z (x < y x. = y) ).

37 Exemplos de linguagens de primeira ordem Exemplos VI A intenção é interpretar a constante 0 como o número zero, S como a função sucessor e +,, < interpretados como, respectivamente, a adição, a multiplicação é o menor que em N. Os termos 0, S0, SS0, SSS0, SSSS0,... intencionam descrever os números naturais zero, um, dois, três, quatro, etc.

38 Exemplos de linguagens de primeira ordem Exemplos VII Com essa interpretação intuitiva Não existe raiz de 2 é expresso por ou estritamente formal ou ainda x(x x. = S(S(0))) ( ( ( x 1 ( (. = x 1 x 1 SS0))))). ( x 1 ( (. = x 1 x 1 SS0))).

39 Variáveis livres e ligadas; substituição de variáveis Variáveis Livres e Variáveis Ligadas I A ocorrência de uma variável x é livre em uma fórmula α se, e só se, 1 α é atômica e x ocorre em α; 2 α é da forma ( β) e x ocorre livre em β; 3 α é da forma (β γ) e x ocorre livre em β ou γ; 4 α é da forma x k ψ e x é diferente de x k e x ocorre livre em ψ. Uma ocorrência de x em α que não é livre é dita ligada. Uma fórmula α sem ocorrência de variáveis livre é dita sentença.

40 Variáveis livres e ligadas; substituição de variáveis Variáveis Livres e Variáveis Ligadas II O item 4 é a chave: a ocorrência de uma variável x é ligada se ela está no escopo de uma ocorrência de x. Por exemplo, 1 Em x 7 (x 5. = x7 ) a ocorrência de x 5 é livre e a ocorrência de x 7 é ligada. 2 Em x 0 ((x 0. = F 1 3 (x 6 )) ( x 6 R 1 9 (x 6)))a primeira ocorrência de x 6 é livre e a segunda ocorrência é ligada. 3 Em z ( x (P(x) R(z))) (Q(y) P(x)) a variável x é livre e ligada, y é livre e z é ligada.

41 Variáveis livres e ligadas; substituição de variáveis Variáveis Livres e Variáveis Ligadas III O item 4 é a chave: a ocorrência de uma variável x é ligada se ela está no escopo de uma ocorrência de x. Por exemplo, 1 Em x 7 (x 5. = x7 ) a ocorrência de x 5 é livre e a ocorrência de x 7 é ligada. 2 Em x 0 ((x 0. = F 1 3 (x 6 )) ( x 6 R 1 9 (x 6))) a primeira ocorrência de x 6 é livre e a segunda ocorrência é ligada. 3 Em z ( x (P(x) R(z))) (Q(y) P(x)) a variável x é livre e ligada, y é livre e z é ligada.

42 Variáveis livres e ligadas; substituição de variáveis Substituição de variáveis I Se α é uma fórmula, x é uma variável e t é um termo, definimos [α] t x a fórmula obtida substituindo todas as ocorrências livres da variável x pelo termo t. Denotamos por [α] t 1...t n x 1...x n a fórmula obtida pela substituição em α de todas as ocorrências livres das variáveis x 1,..., x n pelos termos t 1,..., t n, respectivamente.

43 Variáveis livres e ligadas; substituição de variáveis Substituição de variáveis II Exemplos: 1 [(x. = y)] x y é (x. = x) 2 [(x. = y)] y x é (y. = y) 3 [ x (x. = y)] y x é x (x. = y), 4 [ x (x. = y)] x y é x (x. = x), 5 [ x P(x) P(x)] τ x é x P(x) P(τ), 6 [ x ( y (x. = y)) ( y (x. = y))] y x é x ( y (x. = y)) ( y (y. = y)), 7 [ x (P(x, y) ( Q(y) y P(x, y)))] F y (y,z) é x (P(x, F (y, z)) ( Q(F (y, z)) y P(x, y)))

44 Variáveis livres e ligadas; substituição de variáveis Substituição de variáveis III Exemplos: 1 [(x. = y)] x y é (x. = x) 2 [(x. = y)] y x é (y. = y) 3 [ x (x. = y)] y x é x (x. = y), 4 [ x (x. = y)] x y é x (x. = x), 5 [ x P(x) P(x)] τ x é x P(x) P(τ), 6 [ x ( y (x. = y)) ( y (x. = y))] y x é x ( y (x. = y)) ( y (y. = y)), 7 [ x (P(x, y) ( Q(y) y P(x, y)))] F y (y,z) é x (P(x, F (y, z)) ( Q(F (y, z)) y P(x, y)))

45 Variáveis livres e ligadas; substituição de variáveis Substituição de variáveis IV A substituição da variável x pelo termo t na fórmula ϕ é admissível se nenhuma ocorrência livre de x em ϕ estiver no escopo de um quantificador que liga qualquer variável que aparece em t.

46 Variáveis livres e ligadas; substituição de variáveis Substituição de variáveis V Exemplo: [ x y (x + y. = z)] x+x z é x y (x + y. = x + x) é uma substituição que não admissível para z. [ x y (x + y. = z)] 0 z é x y (x + y. = 0) é uma substituição admissível para z.

47 Variáveis livres e ligadas; substituição de variáveis Substituição de variáveis VI Formalmente, 1 se α é atômica então y é admissível para t em α. 2 α é β então y é admissível para t em α se, e somente se, y é admissível para t em β. 3 se α é γ β então y é admissível para t em α se, e somente se, y é admissível para t em γ e y é admissível para t em β. 4 se α é x β, então y é admissível para t em α se, e somente se 1 ou y não ocorre admissível em α; 2 ou x não ocorre em t e y é admissível para t em β.

48 Variáveis livres e ligadas; substituição de variáveis Substituição de variáveis VII Por definição se x não é livre em ϕ, então [ϕ] t x é admissível para qualquer termo t e, nesse caso, as fórmulas ϕ e [ϕ] t x são idênticas; x sempre é admissível para ela mesmo em qualquer fórmula e [ϕ] x x é a fórmula ϕ;

49 Variáveis livres e ligadas; substituição de variáveis Substituição de variáveis VIII Exemplo: y não é admissível para x em y (x. = y) [ y (x. = y)] y x é y (y. = y) pois a nova ocorrência de y é ligada. Isso fará diferença no valor verdade de uma sentença, enquanto que y (y. = y) será uma tautologia em qualquer interpretação, a fórmula y (x. = y) tem valor verdade que dependerá da interpretação.

50 Variáveis livres e ligadas; substituição de variáveis Substituição de variáveis IX Exercício: É x uma substituição admissível para z em ϕ se ϕ é z. = x z (z. = x)? O que é [ϕ] x z?

51 Teoremas de leitura única Teorema da unicidade de representação dos termos Se t é um termo de uma linguagem, então uma, e apenas uma, das asserções abaixo é verdadeira: t é uma variável; t é uma constante; t é da forma F (t 1,..., t n ), onde t 1,..., t n são termos e F é um símbolo funcional n-ário, para únicos t 1,..., t n, F n.

52 Teoremas de leitura única Teorema da unicidade de representação das fórmulas I Seja α uma fórmula de uma linguagem. Então α satisfaz uma, e apenas uma, das condições abaixo α é uma fórmula atômica da forma R(t 1,..., t n ), onde R é um símbolo relacional n-ário e t 1,..., t n são termos, para únicos t 1,..., t n, R; α é uma fórmula atômica da forma (s. = t) onde s e t são termos únicos; α é da forma β, para uma única fórmula β; α é da forma β γ para únicos β e γ fórmulas; α é da forma xβ, para uma única fórmula β e uma única variável x.

53 Teoremas de indução Teorema de indução I Seja Γ um conjunto de termos de uma linguagem de primeira ordem. Se 1 as variáveis e as constantes pertencem a Γ; 2 se t 1, t 2,... t n pertencem a Γ então F (t 1, t 2,... t n ) pertence a Γ para qualquer que seja o símbolo funcional F. Então Γ é o conjunto de todos os termos da linguagem.

54 Teoremas de indução Teorema de indução II Seja Γ um conjunto de fórmulas de uma linguagem de primeira ordem. Se 1 as fórmulas atômicas pertencem a Γ; 2 se α pertence a Γ então α pertence a Γ; 3 se α e β pertencem a Γ então α β pertence a Γ; 4 se α pertence a Γ e x é uma variável, então x α pertence a Γ. Então Γ é o conjunto de todas as fórmulas da linguagem.

55 Teoremas de indução O conjunto VL das variáveis livres 1 se t é termo então, se t é c VL(t) = {x}, se t é x VL(t 1 ) VL(t n ), se t é F (t 1,..., t n ) 2 se α é fórmula então. VL(t 1 ) VL(t 2 ), se α é t 1 = t2 VL(t 1 ) VL(t n ), se α é R(t 1,..., t n ) VL(α) = VL(β), se α é β VL(β) VL(γ), se α é β γ VL(β) \ {x}, se α é Q x β

56 Teoremas de indução Generalização Se α é uma fórmula então uma generalização de α é a fórmula x 1 x 2 x n α para quaisquer coleção de variáveis x 1, x 2,..., x n, independente delas ocorrerem ou não em α. Exemplo: São generalizações de x. = y as fórmulas: x (x. = y), y (x. = y), y x (x. = y), z y x (x. = y), w z y x (x. = y).