Nelma Moreira. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP. Aula 12

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1 Fundamentos de Linguagens de Programação Nelma Moreira Departamento de Ciência de Computadores da FCUP Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 12 Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 12 1 / 13 Semântica axiomática Pretende-se agora verificar que um programa tem determinadas propriedades e não tanto o significado do programa.em particular, propriedades de correção parcial : se o programa terminar então que se no estado s se verifica P, se depois de se executar o programa c o estado for s então verifica-se P. correção parcial + terminação = correcção total Dado a indecidibilidade da terminação genérica de programas as propriedades de correção parcial são muito importantes na verificação formal de software. Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 12 2 / 13

2 Asserções Para provar a correção parcial de propriedades de programas podia-se usar as semânticas vistas, mas é mais apropriado definir um calculus. As propriedades de correção parcial de programas são asserções da forma: {P} c {Q} onde c é um comando e P e Q são predicados duma lógica de primeira ordem.p é uma pré-condição e Q é uma pós-condição. Informalmente a asserção é válida se: se P se verifica no estado inicial se a execução de c termina num estado s então Q verifica-se no estado s Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 12 3 / 13 Exemplos {x = 1}x := x + 1{x = 2} esta asserção é verdadeira {x = 1}y := x{y = 1} esta asserção é verdadeira {x = 1}y := x{y = 2} esta asserção é falsa {x = x 0 y = y 0 }r := x ; x := y ; y := r{x = y 0 y = x 0 } As variáveis x 0 e y 0 são chamadas variáveis lógicas. {V}c{Q} se c terminar Q verifica-se {P}c{V} é sempre verdadeira para qualquer c e P. Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 12 4 / 13

3 Exemplo y := 0; x := 1; {y = 0 x = 1} while x = 101 do y := y + x; x := x + 1 {y = 100 m=1 m} Pretende-se inferir que y = 100 tinhamos y = 0 e x = 1. m=1 m sabendo que antes do ciclo while É facil ver que no fim do ciclo x = 101, mas queremos o valor de y! Temos que construir um invariante do ciclo: no início de cada iteração temos que y = (x 1) Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 12 5 / 13 Linguagem das Asserções Numa asserção, {P}c{Q}, P, Q são fórmulas φ, ψ,... duma linguagem de lógica de primeira ordem para a aritmética, ou seja: constantes 0 e 1 (os inteiros decimais são abreviaturas) com símbolos funcionais,+, e com símbolos de predicado <, = os habituais símbolos lógicos: operadores e quantificadores (onde os quantificadores só ligam as chamadas variáveis lógicas) São interpretadas nos naturais numa estrutura N = (N, ) e os estados s, correspondem a atribuições de valores ás variáveis. Se N = s φ, dizemos que s satifaz φ, i.e., s = φ. Por exemplo, se s(x) = 2, s(y) = 5, s(z) = 1, s = (x + y < z) verifica-se s = y x z < z não se verifica Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 12 6 / 13

4 Correção parcial e total Correção parcial Um triplo {φ}c{ψ} é satisfeito para a correção parcial se para todos os estados que satisfazem φ, o estado que resulta de executar c satisfaz ψ, desde que c termine, = p {φ}c{ψ}. Nota que while true do x := 0 satisfaz todas as asserções. Correção total Um triplo {φ}c{ψ} é satisfeito para a correção total se para todos os estados que satisfazem φ, é garantido que c termina e que o estado resultante satisfaz ψ, = t {φ}c{ψ}. Neste caso o ciclo anterior não se verifica para nenhuma asserção. Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 12 7 / 13 A linguagem das asserções Podemos estender as expressões booleanas Bexp para exprimir os predicados usados nas asserções. Mas vamos apenas supor que a sua semântica é uma função de State em T, sem definir formalmente a sintaxe. Iremos considerar variaveis lógicas como n que corresponde a um valor inteiro e que pode ser usado nos predicados das asserções. Abreviaturas P significa que P s é verdade P[x A[[a]]] significa P s[x A[[a]]s] é verdade P 1 P 2 significa que P 1 s e P 2 s são verdade P 1 significa que P 1 s é falso P 1 P 2 significa que s State (P 1 s implica P 2 s) é verdade Nos exemplos, iremos também usar b e a em vez de B[[b]] e A[[a]]. Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 12 8 / 13

5 Sistema dedutivo (calculus) para a correção parcial Um sistema dedutivo é constituído por um conjunto de axiomas e um conjunto de regras de inferência. Uma derivação (demonstração) é uma sequência finita de aplicações das regras e dos axiomas. Se uma asserção {P}c{Q} for derivada pelo calculus de correção parcial dizemos que p {P}c{Q} é válido. O calculus é integro se: p {P}c{Q} implica que = p {P}c{Q}. Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 12 9 / 13 Semântica axiomática para a linguaguem While Sistema de inferência - Lógica de Hoare [ass p ] [skip p ] [comp p ] [if p ] {P[x A[[a]]]} x := a {P} {P} skip {P} {P} c 1 {R} {R} c 2 {Q} {P} c 1 ; c 2 {Q} {B[[b]] P} c 1 {Q} { B[[b]] P} c 2 {Q} {P} if b then c 1 else c 2 {Q} Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula / 13

6 Semântica axiomática para a linguaguem While Sistema de inferência - Lógica de Hoare (cont.) [while p ] [cons p ] {B[[b]] P} c {P} {P} while b do c { B[[b]] P} {P } c {Q } se P P e Q Q {P} c {Q} Na regra while P o predicado P chama-se um invariante do ciclo: verfica-se antes e depois de cada execução de c. A regra cons p designa-se por regra da consequência: podemos fortalecer a pré-condição e enfraquecer a pós-condição. Dizemos que p {P} c{q} se a asserção se pode deduzir usando o sistema de inferência. Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula / 13 Exemplos Exemplo Mostrar que p {V}z := x; z := z + y; u := z{u = x + y} {z + y = x + y}z := z + y{z = x + y} {z = x + y}u := z{u = x + y} {x + y = x + y}z := x{z + y = x + y} {z + y = x + y}z := z + y; u := z{u = x + y} {x + y = x + y}z := x; z := z + y; u := z{u = x + y} {V}z := x; z := z + y; u := z{u = x + y} Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula / 13

7 Exemplos O sistema de inferência só é integro se em cada passo se garantir a terminação! Uma asserção não garante a terminação Exemplo Considera o comando while true do skip. Pode-se ter a seguinte inferência: {V} skip {V} cons p {V V} skip {V} while p {V} while true do skip { V V} consp e F V {V} while true do skip {V} Mas esta derivação se fosse integra obrigava o progama a terminar, o que não é o caso! Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula / 13