CDI-II. Derivadas de Ordem Superior. Extremos. ; k = 1,2,...,n.

Transcrição

1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Pro. Gabriel Pires CDI-II Derivadas de Ordem Superior. Extremos 1 Derivadas de Ordem Superior Seja : D R n R, deinida num aberto D, uma unção de classe C 1 e consideremos as respectivas derivadas parciais x k ; k = 1,2,...,n. Note-se que estas derivadas são também unções escalares deinidas em D. Portanto, se orem dierenciáveis podemos considerar as respectivas derivadas parciais. Assim, teremos as unções ( ; j = 1,2,...,n ; k = 1,2,...,n x j x k que são as derivadas parciais de ordem dois (ou de segunda ordem de. Por convenção, serão designadas por = ( ; sej k, x j x k x j x k e por 2 x = ( ; sej k. k x k x k Se as derivadas de ordem dois orem unções dierenciáveis, podemos também considerar as respectivas derivadas parciais ( ; i = 1,2,...,n ; j = 1,2,...,n ; k = 1,2,...,n, x i x i x j x k ou seja, as derivadas parciais de ordem três de, que serão designadas por x i x j x k.

2 Exemplo 1.1 Seja (x,y = xy 2 +yx 3. Então, as derivadas parciais de ordem um serão as unções x (x,y = y2 +3yx 2 (x,y = 2xy +x3. As derivadas parciais de ordem dois serão as unções x 2(x,y = ( x x ( 2(x,y = x (x,y = x (x,y = x e algumas de ordem três serão ( x ( x 3(x,y = x x 2(x,y = 3(x,y = x 2(x,y = x x 2 (x,y = x (x,y = 6xy (x,y = 2x (x,y = 2y +3x 2 (x,y = 2y +3x 2 ( x 2 ( x 2 ( = 0 2 ( = 2 2 ( = 6x x (x,y = 6y (x,y = 6x Diz-se que uma unção é de classe C k se as derivadas parciais de ordem menor ou igual a k existirem e orem unções contínuas. Diz-se que é de classe C se or de classe C k para qualquer k N. Note-se que as derivadas parciais de ordem dois da unção do exemplo anterior, x e 2, são iguais. x Esta coincidência não acontece por acaso. De acto temos 2

3 Teorema 1.1 (Schwarz Seja : D R n R uma unção de classe C 2 no aberto D. Então = 2. x j x k x k x j A demonstração deste teorema pode ser vista na bibliograia da disciplina (c.. [2, 3, 1]. É claro que basta considerar o caso em R 2 e notar que, (a+h,b+k (a,b+k h k (a+h,b (a,b h = (a+h,b+k (a+h,b k h (a,b+k (a,b k. 2 Extremos de Funções Escalares Uma orma bastante conveniente de analisar o comportamento de uma unção escalar num ponto é a de a restringir a uma linha recta que passe por esse ponto. Foi deste modo que se introduziu a noção de derivada direccional segundo um vector. Seja : D R n R uma unção de classe C 1 no aberto D. Consideremos a recta que passa pelo ponto a e tem a direcção do vector h, ou seja a linha descrita pela unção γ : R R n deinida por γ(t = a+th. Note-se que γ(0 = a e γ(1 = a+h. Seja x = γ(t um ponto desta recta e tal que o segmento de recta entre a e x esteja contido em D.. Então, teremos (x = (γ(t e a unção passa a ser analisada apenas na recta que passa pelo ponto a com a direcção do vector h, recorrendo à unção composta R γ R n R t γ(t (γ(t que é uma unção real de variável real que designaremos por g, ou seja g(t = (γ(t. É claro que γ é de classe C 1 e γ (t = h. Portanto, g (t = (γ(t γ (t = (γ(t h, e para t = 0, teremos g (0 = (γ(0 γ (0, 3

4 ou seja, g (0 = (a h. Sendo g de classe C 1, pelo teorema de Lagrange para unções reais de variável real, existirá t 0 ]0,1[ tal que g(1 g(0 = g (t 0, ou seja, (a+h (a = (c h em que c = γ(t 0 é um ponto no segmento de recta entre a e a+h. Teorema 2.1 (Lagrange Seja : D R n R uma unção de classe C 1 no aberto D e sejam a e a+h dois pontos em D tais que o segmento de recta entre eles esteja contido em D. Então existe um ponto c nesse segmento de recta tal que com c distinto de a e de a+h. (a+h (a = (c h, Seja a D e consideremos uma bola B ǫ (a D tal que (x = 0 para qualquer ponto x B ǫ (a. Pelo teorema de Lagrange, teremos (a + h = (a para qualquer vector h tal que a+h B ǫ (a, ou seja, a unção será constante na bola B ǫ (a. Portanto, uma unção de classe C 1 e com gradiente nulo numa bola será constante nessa bola. Deinição 2.1 (Ponto Crítico Diz-se que a D é um ponto crítico da unção se (a = 0. Seja : D R n R uma unção de classe C 2 e seja a D um ponto crítico de. Consideremos a recta que passa em a e com a direcção de um vector h R n, ou seja, o conjunto de pontos da orma a+th com t R. Tal como acima, seja γ(t = a+th e consideremos a unção composta R γ R n R t γ(t (γ(t. Sendo a um ponto crítico, é claro que g (o = (a = 0. Pela órmula de Taylor para unções reais de variável real teremos g(t g(0 = g (o+ 1 2! g (0t 2 +o(t 2 = 1 2! g (0t 2 +o(t 2, 4

5 ou seja, g(t g(0 t 2 = 1 2! g (0+ o(t2 t 2. (1 o(t 2 Sabendo que lim = 0, para t suicientemente próximo de zero, a dierença g(t t 0 t 2 g(0 tem o mesmo sinal da derivada g (0. Note-se que n g (t = (γ(t h = (γ(th k x k e, portanto, ou seja, g (t = g (0 = n n k=1 j=1 n k=1 j=1 k=1 x j x k (γ(th j h k, n x j x k (ah j h k. À matriz com n linhas e n colunas cujas entradas são as derivadas parciais de ordem dois, designada pelo símbolo D 2 (a, ou seja, (a (a (a x 2 1 x 2 x 1 x n x 1 (a (a (a x 1 x 2 x 2 2 x n x 2 D 2 (a = (a (a (a x 1 x n x 2 x n x 2 n chama-se matriz Hessiana de no ponto a. Assim, a derivada g (0 poderá ser apresentada na orma matricial ou na orma vectorial g (0 = h T D 2 (ah g (0 = h D 2 (ah. Portanto, da órmula de Taylor (1, obtemos (a+th (a t 2 = 1 2! h D2 (ah+ o(t2 t 2. 5

6 Seja λ R um valor próprio da matriz Hessiana D 2 (a e h 0 um vector próprio associado a λ, ou seja, D 2 (ah = λh. Então, teremos g (0 = h D 2 (ah = λh h = λ h 2 e, portanto, o sinal de g (0 será o sinal do valor próprio λ. Portanto, se a or um ponto crítico de, na direcção do vector próprio h associado ao valor próprio λ da matriz Hessiana D 2 (a, teremos (a+th (a = 1 t 2 2! λ h 2 + o(t2 t 2 Note-se que, pelo teorema de Schwarz, a matriz Hessiana é simétrica e, por isso, é diagonalizável, os respectivos valores próprios são números reais e os correspondentes vectores próprios constituem uma base ortonormada de R n. Assim, para classiicar os pontos críticos devemos analisar o comportamento da unção nas linhas rectas determinadas pelos vectores próprios através dos sinais dos correspondentes valores próprios da matriz Hessiana D 2 (a. A uma linha recta determinada por um vector próprio chamaremos direcção própria ou direcção singular. Podem ocorrer as situações seguintes. a Os valores próprios de D 2 (a são todos positivos: a é um ponto de mínimo de. b Os valores próprios de D 2 (a são todos negativos: a é um ponto de máximo de. c A matriz Hessiana D 2 (a tem pelo menos um valor próprio positivo e pelo menos um negativo: a não é um extremo de. (Por vezes chamado ponto de sela d A matriz Hessiana D 2 (a tem pelo menos um valor próprio nulo e os restantes têm o mesmo sinal. Neste caso, a unção deve ser analisada nas direcções próprias associadas aos valores próprios nulos recorrendo às derivadas de ordem superior a dois. No último caso, esta análise pode não ser conclusiva. Então só um estudo directo do comportamento da unção nas vizinhanças de a poderá esclarecer o problema. 3 Exemplos Nos exemplos seguintes iremos determinar e classiicar os pontos críticos de cada uma das unções. Exemplo 3.1 Consideremos a unção (x,y = x 2 +y 2. classe C 2. É claro que é, pelo menos, de 6

7 a Pontos Críticos: (x,y = (0,0. A origem é o único ponto crítico. b Classiicação do ponto crítico (0, 0. A matriz Hessiana (x,y = (2x,2y = (0,0 (x,y = (0,0. D 2 (0,0 = 2 x 2(0,0 x (0,0 x (0,0 2(0,0 (0,0 = [ ] 2 0 apresenta dois valores próprios positivos λ 1 = λ 2 = 2 e, portanto, o ponto crítico (0,0 é um ponto de mínimo de. Note-se que esta análise é desnecessária dado que (x,y = x 2 +y 2 0 e a origem é o único ponto em que é nula. Na igura 1 encontra-se o gráico desta unção. z 0 2 x y Figura 1: Exemplo de ponto de mínimo: (x,y = x 2 +y 2 Exemplo 3.2 Consideremos a unção (x,y = x 2 y 2. classe C 2. É claro que é, pelo menos, de a Pontos Críticos: (x,y = (0,0. (x,y = (2x, 2y = (0,0 (x,y = (0,0. A origem é o único ponto crítico. 7

8 b Classiicação do ponto crítico (0, 0. A matriz Hessiana D 2 (0,0 = 2 x 2(0,0 x (0,0 x (0,0 2(0,0 (0,0 = [ apresenta um valor próprio positivo λ 1 = 2 e um valor próprio negativo λ 2 = 2 e, portanto, o ponto crítico (0,0 não é um extremo de. Neste caso dizemos que é um ponto de sela. Na igura 2 encontra-se o gráico de que ilustra e justiica a designação de ponto de sela. z ] x y Figura 2: Exemplo de ponto de sela: (x,y = x 2 y 2 Note-se que na direcção em que y = 0 a unção apresenta um mínimo e na direcção x = 0 a unção apresenta um máximo na origem. Trata-se de um ponto de sela. Exemplo 3.3 Consideremos a unção (x,y = (x y 2 x 4 y 4. a Pontos Críticos: (x,y = (0,0. x y 2x 3 = 0 (x,y = (2(x y 4x 3, 2(x y 4y 3 = (0,0 (x y 2y 3 = 0 ou seja, x y 2x 3 = 0 x y 2x 3 = 0 x 3 +y 3 = 0 y = x donde se conclui que os pontos críticos são: (0,0, ( 1,1, (1, 1. 8

9 Para os classiicar recorremos à matriz Hessiana 2 D 2 (x,y = x 2(x,y x (x,y [ 2 12x 2 ] 2 x (x,y = 2(x,y y 2 b Classiicação dos pontos críticos ( 1, 1 e (1, 1. As matrizes Hessianas nestes dois pontos são iguais, [ ] 10 2 D 2 ( 1,1 = D 2 (1, 1 = 2 10 e apresentam dois valores próprios negativos, λ 1 = 8 e λ 2 = 12. Portanto, estes dois pontos são pontos de máximo de. c Classiicação do ponto crítico (0, 0. A matriz Hessiana D 2 (0,0 = [ ] tem um valor próprio nulo λ 1 = 0 e outro positivo λ 2 = 4. Portanto, na direcção deinida pelo vector próprio associado a λ 2 = 4, a unção tem um mínimo na origem. Isto quer dizer que se a origem or um extremo de deverá ser um ponto de mínimo. Na direcção singular correspondente ao valor próprio nulo λ 1 = 0 deveremos passar à análise das derivadas de ordem superior a dois. No entanto, podemos analisar o comportamento de directamente em torno da origem. Note-se que na direcção deinida por y = x temos (x,x = 2x 4 0 e, portanto, a unção tem um ponto de máximo na origem. Concluímos assim que a origem não é um extremo de. Na igura 3 encontra-se o gráico de onde se pode constatar a natureza dos pontos críticos. Exemplo 3.4 Consideremos a unção (x,y = y 2 4x 2 y +3x 4. a Pontos críticos: (x,y = (0,0. x( 2y +3x 2 = 0 (x,y = ( 8xy +12x 3,2y 4x 2 = (0,0 y 2x 2 = 0 donde se conclui que o único ponto crítico é a origem. 9

10 z x y Figura 3: Gráico da unção: (x,y = (x y 2 x 4 y 4 z x y Figura 4: Gráico da unção: (x,y = (y x 2 (y 3x 2 b Classiicação do ponto crítico (0, 0. A matriz Hessiana 2 D 2 (0,0 = x 2(0,0 x (0,0 [ 8y +36x 2 ] 8x x (0,0 = 2(0,0 8x 2 (0,0 = [ ] 0 0 tem um valor próprio nulo λ 1 = 0 e outro positivo λ 2 = 2. Portanto, se a origem or extremo será um mínimo. Note-se que a unção pode ser dada de outra orma Em torno da origem teremos: (x,y = y 2 4x 2 y +3x 4 = (y x 2 (y 3x 2. i (x,y > 0 para y > 3x 2 ou para y < x 2. ii (x,y < 0 para x 2 < y < 3x

11 Assim, em torno da origem, a unção toma valores tanto positivos como negativos, ou seja, a origem não é um extremo de. Na igura 4 encontra-se o gráico de onde se pode constatar a natureza da origem como ponto crítico. *** Reerências [1] Tom M. Apostol. Calculus II. Editorial Reverté, SA, [2] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise em R n. AEIST, [3] J. E. Marsden and A. J. Tromba. Vector Calculus. W. H. Freeman and Company,