Análise Numérica. Engenharia Informática

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2 Sumário. TEORIA DE ERROS..... Introdução... Passos para a resolução numérica de um problema Tipos de Erros..... Formato de vírgula lutuante... 5 Representação Normaliada... 5 Formato de Vírgula Flutuante... 5 Truncatura e arredondamento Erro absoluto e relativo... 7 Erro absoluto... 8 Erro relativo e percentagem de erro... 8 Limites superiores para os erros Algarismos signiicativos... 9 Casas decimais signiicativas... Algarismos signiicativos quando o valor eacto é conhecido... Algarismos signiicativos quando o valor eacto não é conhecido Fórmula undamental da propagação dos erros... 4 Propagação do erro numa unção de uma variável... 4 Propagação do erro numa unção de duas variáveis... 5 Propagação do erro numa unção de n variáveis Condicionamento e estabilidade... 7 Condicionamento de uma unção real de variável real... 8 Engenharia Inormática 2

3 . Teoria de Erros.. Introdução A é uma área da Matemática que está directamente relacionada com a resolução de problemas matemáticos, recorrendo-se aos computadores ou a máquinas de calcular. Aos métodos usados para essa resolução chamam-se Métodos Numéricos. Os Métodos Numéricos permitem encontrar soluções numéricas para problemas matemáticos. A resolução de um problema matemático usando um método numérico produ, em geral, uma solução aproimada do problema. Assim, é muito importante escolher métodos que permitam encontrar soluções que melhor ajustem ao problema. Passos para a resolução numérica de um problema O primeiro passo para a resolução de um problema consiste na análise do problema real, que inclui a recolha de inormação sobre a origem do problema e a sua ormulação. O segundo passo, consiste na escolha do método numérico que permite encontrar a solução que mais se adapta a esse problema. Para tal é necessário conhecimento sobre o método, sobre as situações onde é mais adequada a sua utiliação, bem como as suas limitações. O terceiro e último passo, consiste na análise dos resultados obtidos em.2. Tipos de Erros relação aos erros encontrados. A utiliação de Métodos Numéricos envolve um grande número de cálculos aritméticos, o que se torna mais eiciente com o uso de computadores, ou seja, utiliando a aritmética computacional. No entanto, há que ter em consideração que enquanto na aritmética tradicional se usam números com um número ininito de dígitos, na aritmética computacional cada representação de um número tem um número inito de dígitos. Assim, com base no próprio método e na aritmética envolvida, o aparecimento dos erros é inevitável. Os erros obtidos devem-se a diversos actores, eistindo quatro tipos de erros associados ao uso de métodos numéricos: ) Erros inerentes aos dados 2) Erros de truncatura ) Erros de arredondamento 4) Erros de propagação Engenharia Inormática

4 Deinição : Os erros inerentes aos dados e parâmetros do problema resultam de erros nas observações de medidas em eperiências, da utiliação de aparelhos de medição mal calibrados, ou seja, estão associados a métodos eperimentais. Eemplo : Podemos dar o eemplo de erro inerente aos dados ao erro que cometemos quando nos pesamos. O grau de precisão do resultado obtido depende não só da balança, como da observação mais ou menos precisa que açamos. Assim, podemos concluir, por eemplo, que pesamos 65 Kg, ou 65,4 kg, ou algo próimo deste valor. Deinição 2: Os erros de truncatura resultam da substituição dum problema contínuo por um modelo discreto ou de um cálculo com um número ininito de operações por outro com um número inito. Eemplo 2: Quando aemos a aproimação da unção e pelo polinómio de MacLauin grau : 2 e + + +, estamos a cometer um erro de truncatura, porque eliminamos ininitas 2 6 parcelas da série de MacLaurin. Deinição : Os erros de arredondamento aparecem da necessidade de utiliar uma aritmética de precisão inita, ou seja, devem-se ao acto das máquinas ou computadores (de capacidade inita) não poderem representar todo o conjunto de números reais. Eemplo : Na divisão de por, sabemos que o resultado é uma díima ininita periódica, que representamos por 0,(). No entanto, se eectuarmos esta divisão numa máquina de calcular obtemos apenas um número inito de casas decimais, que varia consoante a capacidade da máquina. Engenharia Inormática 4

5 Deinição 4: Os erros de propagação surgem da propagação dos outros três tipos de erro ao longo de um cálculo ou da utiliação de um método numérico. Como consequência da ocorrência destes erros, as soluções numéricas obtidas são, em geral, soluções aproimadas pelo que é necessário conhecer o erro que aecta esta aproimação (ou uma sua estimativa). A representação de números e as operações entre eles, no computador, também são de precisão limitada. Assim, torna-se essencial conhecer a orma como a calculadora ou o computador procedem para representar números e eectuar operações aritméticas e quais os erros inerentes a este procedimento... Formato de vírgula lutuante Em virtude da limitação dos computadores, é usual representar um qualquer número,, na orma normaliada e/ou no ormato de vírgula lutuante: Representação Normaliada Deinição 5: Diemos que a representação de um número está normaliada quando está na orma: = σ 0, a... an b α Sinal Mantissa base epoente σ, +, a 0, 0 a 9, < i n., onde { } i Eemplo 4: Dado o número, no sistema decimal, = , na orma normaliada escreve-se: Formato de Vírgula Flutuante Deinição 6: = + 0, sin al a a2 a a4 a5 a6 a7 a8 a9 Mantissa 5 epoente Diemos que a representação normaliada de um número está no ormato de vírgula lutuante, se a mantissa tiver um número inito de dígitos. Assim, deine-se ormato de vírgula lutuante de um número, à representação: ( ) = σ 0,... k l a a b α Sinal Mantissa epoente σ, +, a 0, 0 a 9, < i k, com k inito e dependente da capacidade de onde { } armaenamento do computador. i Engenharia Inormática 5 base,

6 Deinição 7: O conjunto de números no ormato de vírgula lutuante, constitui um sistema de numeração de vírgula lutuante (ou ponto lutuante). Este sistema denota-se por F( b, n, α, α 2), onde: - b é a base de representação; - n é o número de dígitos da mantissa; α e α ( α α ) < deinem o domínio de variação do epoente. Este sistema é dependente, portanto, do número de dígitos que o computador disponibilia para armaenar números. Eemplo 5: Por eemplo F(, 6, 99,99) representa o sistema de numeração de vírgula lutuante, de base, cuja mantissa possui 6 casas decimais e cujo epoente pode variar entre 99 e 99. Note-se que a grande parte dos números reais não tem representação eacta num sistema de vírgula lutuante. Eemplo 6: O número de Neper, e = 2, na sua orma normaliada é: e = 0, Como o número de dígitos que o computador disponibilia para armaenar a mantissa dum valor é inito, a representação deste número, no ormato de vírgula lutuante, não é eacta, pois só se representa um número inito de dígitos. Assim, por eemplo, e, no ormato de vírgula lutuante, com 5 casas decimais, pode ser: e = 0, 2782 ou e = 0, 278 dependendo do processo utiliado. O processo utiliado pode ser eito por truncatura ou por arredondamento. Engenharia Inormática 6

7 Truncatura e arredondamento Deinição 8: A truncatura consiste em eliminar todos os dígitos da mantissa a partir da ordem n + inclusive. O arredondamento consiste em adicionar 5 unidades ao dígito na posição n +, aplicando em seguida o processo de truncatura. Este processo é equivalente a veriicar o seguinte: se o dígito na posição n + or maior ou igual a 5, aumenta-se uma unidade ao dígito da posição n, aplicando de seguida o processo de truncatura, caso contrário aplica-se, de imediato, o processo de truncatura. Se o sinal do número é σ = + e o dígito na posição n se manteve, então o arredondamento di-se um arredondamento por deeito, se o dígito na posição n aumentou uma unidade, então o arredondamento di-se um arredondamento por ecesso. Se o sinal do número é σ = e o dígito na posição n se manteve, então, como estamos a trabalhar com números negativos, o arredondamento di-se um arredondamento por ecesso, se o dígito na posição n aumentou uma unidade, então o arredondamento di-se um arredondamento por deeito. Eemplo 7: No eemplo anterior, em em e = 0, 2782 utiliou-se unicamente o processo de truncatura; e = 0, 278 utiliou-se o processo de arredondamento por ecesso..4. Erro absoluto e relativo Os dados que intervêm num problema nem sempre são valores eactos, como vimos anteriormente. Assim, torna-se essencial ter inormação sobre o erro que se comete, para avaliar a qualidade duma aproimação. Além disso, importa, também, aer o estudo da propagação de erros ao longo de um processo numérico que irá inluenciar o resultado inal. Assim, para podermos avaliar a qualidade duma aproimação, são introduidas as noções de erro absoluto e erro relativo: Engenharia Inormática 7

8 Erro absoluto Deinição 9: Seja um número e um seu valor aproimado. Chama-se erro absoluto do valor aproimado, e representa-se por ε, à epressão: ε = Se ε > 0, isto é, se >, então di-se uma aproimação por deeito de ; Se ε < 0, isto é, se <, então di-se uma aproimação por ecesso de ; Se ε = 0 então =. É de salientar que, muitas vees, a inormação do erro absoluto associado a uma dada aproimação não basta para inormar sobre a qualidade desta. Eemplo 8: Sejam assim, os erros absolutos ε e 2 = = ε = = = ε = ε são iguais, no entanto, parece que a aproimação tem mais inormação sobre do que sobre, pelo que a sentido medir a distância entre um número e a sua aproimação relativamente ao seu tamanho, ou seja, medir o erro relativo. Erro relativo e percentagem de erro Deinição : Seja 0 um número e um seu valor aproimado. Chama-se erro relativo do valor aproimado, e representa-se por r, ao quociente: r ε = = = Note-se que o erro relativo não tem dimensão. O produto 0. r, epresso em percentagem, di-se percentagem de erro. Engenharia Inormática 8

9 Eemplo 9: Retomando o eemplo anterior, temos: r = = 0.00 e 2 r = = Donde se pode concluir que o erro relativo de é 0.% e o erro relativo de é 0%, ou seja, eectivamente eiste uma dierença epressiva entre os dois erros, pelo que é uma aproimação mais precisa do que. Limites superiores para os erros Na maioria dos problemas numéricos não se tem acesso ao valor eacto e, por conseguinte, também não é possível determinar o erro absoluto. O que se conhece, na prática, é uma quantidade não negativa δ, tal que: = δ A que se chama limite superior do erro absoluto. Esta epressão permite determinar o intervalo ao qual pertence o valor eacto : [, ] δ δ + δ δ + δ. Assim, podemos considerar que r δ, mas como se desconhece o valor de, na prática, é, ainda, muito usada a aproimação δ, onde ρ se di limite superior do erro r ρ relativo..5. Algarismos signiicativos Ter conhecimento sobre o número de algarismos signiicativos (algarismos em que temos coniança) eistentes numa aproimação, é outro modo de que dispomos para avaliar a precisão desse valor aproimado. Engenharia Inormática 9

10 Casas decimais signiicativas Deinição : Seja um número real e um seu valor aproimado com k dígitos na parte raccionária. Di-se que tem k casas decimais signiicativas se e só se: ε 0.5 k = =, k N Eemplo :. Seja = 0,5042 e = 0,5045. Calcule o nº de casas decimais signiicativas de. 2. Seja = 0,586 e = 0,502. Calcule o nº de casas decimais signiicativas de.. Seja =,24 e =,245. Calcule o nº de casas decimais signiicativas de. Resolução:. = ε = = 0,5042 0,5045 = 0, = 0, 7 k 0.5, k = 7 Logo, tem 7 casas decimais signiicativas, pois como se pode ver = 0,5042 = 0, e = 0,5045 = 0, ε = = 0,586 0,502 = 0, 0084 = 0,84 = 0,84 k > 0.5, k N Logo, não tem nenhuma casa decimal signiicativa, como era de esperar, pois = 0,586 = 58, 6 e = 0,502 = 50, 2. Engenharia Inormática

11 . ε = =,24,245 = 0, 00 = 0, 00 = 0, k 0.5, k = 2 Logo, tem duas casas decimais signiicativas. Algarismos signiicativos quando o valor eacto é conhecido Deinição 2: Seja um número real e um seu valor aproimado. Di-se que aproima com t algarismos signiicativos se: = = N Z, m+ t ε 0.5, t 0, m m m+ sendo m tal que. Nota: Só são considerados algarismos signiicativos de um número, os algarismos, que se encontrem nas partes inteira e decimal, dierentes de ero e os eros que não se encontrem no número para indicar a posição da vírgula. Eemplo :. Seja = 0,5042 e signiicativos de. 2. Seja. = 0,586 e = 0,5045. Calcule o nº de algarismos = 0,502. Calcule o nº de algarismos signiicativos de. Seja =,24 e =,245. Calcule o nº algarismos signiicativos de. Resolução:. + = 0,5042 m =. Engenharia Inormática

12 ε = = 0, , 5045 = 0, = 0, Então para se ter 0, t, vem t 7 t 5 + = =. Logo, tem 5 algarismos signiicativos. De acto, = 0,5042 = 0, e = 0,5045 = 0, , pois, como já oi reerido, só são considerados algarismos signiicativos de um número, os algarismos, que se encontrem nas partes inteira e decimal, dierentes de ero e os eros que não se encontrem no número para indicar a posição da vírgula = 0,586 m = 2 ε = = 0,586 0,502 = 0, 0084 = 0,84 = 0,84 Então para se ter 0, t, vem 2 t t 2 + = =. Logo, tem 2 algarismos signiicativos. De acto, = 0,586 = 58,6 e = 0,502 = 50,2.. 2 =,24 m = ε = =,24,245 = 0, 00 = 0, 00 = 0, 2 + t Então para se ter 0, 0.5, vem + t = t = 4. Logo, tem 2 algarismos signiicativos. De acto, =, 24 e =, 245. Engenharia Inormática 2

13 Algarismos signiicativos quando o valor eacto não é conhecido Deinição : Seja um número real desconhecido e um seu valor aproimado, representado no ormato de vírgula lutuante decimal. Então, podemos escrever: onde, { } = σ 0, a... ak Sinal Mantissa α epoente base σ, +, a 0, 0 a 9, < i k, com k inito. i Di-se que aproima com t algarismos signiicativos se 0.5 t +α = ou se r 5 t. Nota: Se a aproimação oi obtida por arredondamento então t algarismos signiicativos de,t, é igual ao comprimento da mantissa, k. = k, ou seja, o número de Eemplo 2:. Considere as aproimações = 2, 450, = 0,0056 e = 200 de, e, respectivamente, arredondadas correctamente. Resolução:. a. Escreva-as na orma normaliada. b. Indique o nº de algarismos signiicativos de cada uma delas. c. Determine os limites superiores dos erros, absoluto e relativo, de. 4 a. = 0,2450 ; = 0,56 e = 0,200 b. Se resulta de um arredondamento de, isto signiica que: 2, , 4504 Assim, 2, , , 4495, 450 ε 2, 4504, 450 0, 0005 ε 0, , ,5 Engenharia Inormática

14 Logo, t + α = ; como = 0,2450, α =, então t = 6, ou seja, tem 6 algarismos signiicativos. Analogamente se conclui que tem 2 algarismos signiicativos e tem 4 algarismos signiicativos. c. r = 0.5 = , Fórmula undamental da propagação dos erros Seja uma unção de uma ou mais variáveis. Pretende-se estudar, agora, o modo como o cálculo de num ponto do seu domínio pode ser aectado se os argumentos de estiverem aectados de erros, ou seja, como se propagam os erros iniciais na solução inal do problema. Propagação do erro numa unção de uma variável Consideremos uma unção, pelo menos de classe C, num dado conjunto I R. Suponha-se que se pretende estimar o valor de = ( ), usando a aproimação de. Seja = ( ) o valor de em. Pretende-se majorar =. Sejam δ e ρ majorantes para e r, respectivamente. Usando o Teorema do Valor Médio, pode-se calcular uma estimativa para : '( ). Teorema do valor médio: Seja uma unção contínua no intervalo [ a, b ] e dierenciável em ] a, b [, então ] [ ( b) ( a) c a, b : = '( c) b a Engenharia Inormática 4.

15 Mas < δ, logo pode-se obter um majorante para : ( ) < '. δ δ Estimativa calculável para o erro e r ( ) '. δ δ < ρ Estimativa calculável para o erro r. Nota: Estas duas estimativas só são boas estimativas se não houver uma grande variação de '( ), I. Eemplo :. Seja ( ) sin ( ) = =, = 0, 25 rad e < Calcule estimativas para e r. Resolução: =. Como ( ) δ ( ) sin( ) sin( ) < '. = cos. δ e δ = 0, 00, logo ( ) < cos (0, 00) = 0, (0, 00) = 0, < 0,97. Assim, obtemos a estimativa para : δ = 0,97. Para se obter a estimativa para r, tem-se: δ r < 0,97 sin 0, 25 = 0, < 0,9 = ( ) ρ Propagação do erro numa unção de duas variáveis Consideremos uma unção, pelo menos de classe C, num dado conjunto 2 I R. Pretende-se calcular uma aproimação = (, ) de = (, ), quando se conhecem apenas aproimações e de e, respectivamente. Suponha-se, ainda, que se conhecem δ e δ, majorantes para e. Engenharia Inormática 5

16 Usando o Teorema do Valor Médio para unções de duas variáveis, podemos obter a seguinte estimativa para δ : Donde: Como < δ e < δ, ε (, ) (, ) (, ). (, ). ε = + ε < (, ). + (, ). < (, ). δ + (, ). δ δ E para o erro relativo vem: δ <. r ρ Eemplo 4: Seja (, ) =. Calcule os limites superiores dos erros absoluto e relativo em. Resolução: ε, (, ),.,. ε ε Sabemos que : = ( ) ( ) + ( ) Como (, ) =, = e ( ) 2, temos: <. δ + 2. δ δ E para o erro relativo vem:. δ + 2. δ δ δ δ r < = = + = r + r. Engenharia Inormática 6

17 Propagação do erro numa unção de n variáveis n Consideremos uma unção : R R, pelo menos de classe n I R. C, num dado conjunto Pretende-se calcular uma aproimação = (, 2,..., n ) de = (, 2,..., n ), quando se conhecem apenas aproimações, 2,..., n de, 2,..., n, respectivamente. Os limites superiores dos erros absoluto e relativo de podem ser calculados do seguinte modo: n ( ). δ i i= i E para o erro relativo vem: δ <. r ρ.7. Condicionamento e estabilidade A palavra condicionamento é usada para descrever a sensibilidade de um problema à alteração dos seus dados. Deinição 4: Um problema di-se mal condicionado se pequenas alterações nos dados iniciais ou parâmetros provocam grandes variações na solução. Caso contrário, o problema di-se bem condicionado. A estabilidade relaciona-se com o eeito dos erros de cálculo no resultado inal. Deinição 5: Um método numérico di-se estável se a acumulação dos erros durante os cálculos não tem inluência signiicativa no resultado inal. Caso contrário, o método di-se instável. Nota: Um algoritmo implementado num problema mal condicionado nunca poderá ser estável. Num problema bem condicionado, um método estável produ sempre bons resultados. Engenharia Inormática 7

18 Condicionamento de uma unção real de variável real Deinição 6: Chama-se número de condição de uma unção real de variável real,, à quantidade deinida por: C = '( ) ( ) - Se C,, di-se que a unção é bem condionada, isto é, uma ligeira alteração no valor do argumento não provoca uma grande alteração no valor de ( ). - Se C >,, di-se que a unção é mal condionada, isto é, uma ligeira alteração no valor do argumento pode provocar uma grande alteração no valor de ( ). Eemplo 5: 2 Considere as unções reais de variável real deinida por ( ) = e g( ) =. Calcule o seu número de condição. Resolução: O número de condição de é dado por: '( ) 2 C = = = = =. ( ) '( ) 2 O número de condição de g é dado por: C = g ( ) = = =. Assim, como C =, é bem condionada, isto é, uma ligeira alteração no valor do 2 argumento não provoca uma grande alteração no valor de ( ). No caso da unção g, o número de condição é C = 2 >, logo a unção é mal condionada, isto é, uma ligeira alteração no valor do argumento pode provocar uma grande alteração no valor de g( ). ( ) 2 Eectivamente, observando as representações gráicas das unções, pode ver-se que à medida que aumenta, a unção g sore uma variação muito maior do que a unção. g( ) = 2 ( ) = Engenharia Inormática 8