4 Operações aritméticas em sistema de vírgula flutuante

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1 77 4 Operações aritméticas em sistema de vírgula lutuante 4. Introdução É imediato reconhecer que, dados dois números, F, o resultado de qualquer das operações aritméticas +, -,, com esses números pode não ser um número pertencente a F. Vejamos os seguintes eemplos. Em F ( 0,4,), sejam 3.5 e , vem que Então, como não pertence a F ( 0,4,). No sistema binário, e 0 são ambos números do sistema de ponto lutuante, enquanto que não pertence, independentemente do número p 0 de dígitos na mantissa. No ormato simples da aritmética IEEE754, os números e 4 pertencem ao sistema, mas a soma 4 + não pertence. Assim sendo, as operações aritméticas não são eectuadas eactamente num computador, sendo substituídas pelas chamadas operações aritméticas de vírgula lutuante. É pois importante e necessário estudar o comportamento destas operações, nomeadamente no que diz respeito aos erros. Um acto, que estes eemplos mostram desde já, é que as operações aritméticas de vírgula lutuante não satisazem todas as propriedades das operações aritméticas usuais (em geral, as propriedades

2 78 comutativa, distributiva, associativa e elemento neutro). De acto, no primeiro eemplo reerido anteriormente, tem-se que + e no entanto, 0. Quando o resultado de um operação em ponto lutuante não é um número pertencente a F, no ormato escolhido, a norma IEEE754 requer que o resultado produzido seja o valor correctamente arredondado do resultado eacto, ou seja, arredondado de modo a pertencer ao ormato utilizado, através do modo de arredondamento deinido. Sejam e números do sistema de ponto lutuante, +, -,, as quatro operações aritméticas usuais e denotemos por, û, e Θ as correspondentes operações em ponto lutuante. De acordo com (3.7), para a soma e a subtracção temos que: ± m b e ± m b m ( e e ) ( m ± m. b ) ( e e ) ( m. b ± m ) b b e e se se enquanto que para a multiplicação e a divisão utilizamos: e e > e e (4.) (4.) e + e m e e ( m m ) b e b m. Estas quatro operações desenvolvem-se em computador de acordo com os seguintes trâmites ([50]):. Decomposição dos operandos, isto é, separação destes números nas respectivas mantissas e epoentes;. Alinhamento das mantissas e dos epoentes para a soma e a subtracção; 3. Operação com as mantissas e/ou com os epoentes; 4. Normalização da mantissa, isto é, translação à esquerda da mantissa com decremento do epoente em uma unidade por cada zero à esquerda da mantissa; 5. Arredondamento da mantissa;

3 79 6. Recomposição do resultado, isto é, reunião da mantissa e do epoente para ormar o resultado no sistema de ponto lutuante. Ou seja, se e são números do sistema de ponto lutuante então ( ) +, round ( ) Ο, round ( ), round e round( ) Θ, onde a operação round é o modo de arredondamento deinido. As operações eectuadas com os epoentes, uma vez que estes são inteiros, não introduzem erros (eceptuando obviamente nos casos de overlow e underlow). Por outro lado, as operações com as mantissas são susceptíveis de erros. Utilizando o teorema 3., tem-se, desde que + pertença ao intervalo normalizado, que ( + )( + δ), onde δ < ε. Este resultado aplica-se a todos os modos de arredondamento. É claro que no caso do arredondamento simétrico, temos um resultado mais orte: δ ε. Por eemplo, no ormato simples da aritmética IEEE, se o modo de arredondamento utilizado é o simétrico, a adição em ponto lutuante está correcta até um actor de 4 +, isto é, até aproimadamente sete dígitos decimais. Este resultado é igualmente válido para as outras operações. O resultado de uma sequência de duas ou mais operações aritméticas pode não ser o valor arredondado correctamente do resultado eacto. Por eemplo, consideremos a computação de ( y) z +, no ormato simples, onde, y 5 e z e o modo de arredondamento deinido é o simétrico. Os números, y e z são todos números do ormato simples da norma IEEE,

4 80 uma vez que números é 0 z.0 e y.0 5. A soma eacta dos primeiros dois +y Este número não pertence ao ormato simples, e portanto é arredondado, tendo-se y. O resultado inal é então No entanto, o resultado correcto é ( y) Θz Θ 0. 5 ( + y) z, que pertence ao ormato simples. É claro, que este resultado era obtido eactamente se o sistema de ponto lutuante utilizado tivesse sido o duplo ou azendo ( z) + y. 4. Soma e Subtracção Consideremos e dois números reais positivos e y o resultado (eacto) da sua soma, isto é, y + resultado desta operação em F ( b p, q) ~ o. Designando por y round( + ) round round, e aplicando o teorema 3. temos que: ( ) ( + ) δ ( ) ( + ) δ Denotando por δ 3 o erro relativo de arredondamento do resultado da soma, vem que: ( + ) [( + δ ) + ( + δ ) ] ( + ) ~ y round δ, com, δ δ < ε µ. Ou seja, y ( + δ 3 )( + δ ) + ( + δ 3 )( + δ ) 3 δ, 3 ~. Desta epressão conclui-se que o resultado da soma de dois números em ponto lutuante é idêntico ao que se

5 8 obteria com aritmética eacta mas com operandos perturbados, isto é, ( δ 3 )( + δ ) + em vez de + no lugar de. No entanto,, e ( δ )( + δ ) estas perturbações são muito pequenas, uma vez que δ, δ, δ3 µ <<. 3 No estudo de erros das operações aritméticas, os produtos de actores da orma ( + δ i ) surgem requentemente. Assim sendo, torna-se necessário eectuar uma estimativa do seu valor. Consideremos para isso o seguinte resultado ([50] pp. 4-5): Teorema Sejam δ i números tais que δ i µ com i,..., n e µ um número positivo tal que n µ Então eiste um número real θ veriicando θ e tal que n i ( + δ ) +. θnµ i 0. É A constante.0 que surge neste teorema resulta de se considerarem hipóteses realistas sobre o valor de µ e do número de termos. Tendo em conta este resultado, os erros absoluto A e relativo R da soma são obtidos da seguinte orma: A ~ y y.0 ( µ )( θ + θ ) ~ y y R.0µ θ + θ. y + + Então, temos que R.0µ ma( θ θ ) +,. 0µ. + + Eiste um outro modo de apresentar estes resultados: ~ y round( + ) ( + )( + R), com R. 0µ. (4.3) 4 A demonstração deste teorema encontra-se em [50] pp. 4-5.

6 8 Vejamos então como adicionar dois números do ormato simples na e e aritmética IEEE754. Consideremos os números m e m. Se os epoentes e e e são iguais, é apenas necessário adicionar as mantissas m e e m. O resultado inal é dado por ( ) m + m, o qual necessita ser normalizado se m +m ou se m +m. Por eemplo, o resultado de < adicionar 3 (.00) a (.000) é ( ) + ( ) ( ) Normalizando, obtém-se ( ). No entanto, se os dois epoentes e e e são dierentes, digamos por eemplo e > e, o primeiro passo na adição dos dois números consiste em alinhar as mantissas desnormalizando o número de menor epoente de acordo com (4.). Por eemplo, adicionando 3 (.00) a (.00) 3 ( ), obtemos 4 + ( ) ( ). Consideremos agora a adição de 3 com 3 3. Temos que ( ) + ( ) ( ) (4.4) Arredondamento por deeito: ( ) Arredondamento por ecesso: ( ) Neste caso, o resultado não é um número do sistema de ponto lutuante do ormato simples, uma vez que a mantissa tem 4 bits depois do ponto binário.

7 83 O 4º bit é mostrado após a barra vertical. Por isso, o resultado tem de ser arredondado correctamente. No caso do arredondamento simétrico, eiste um empate, e portanto o resultado é aquele cujo bit inal é zero - neste caso arredondamento por ecesso ([49] pp ). O arredondamento não deve ter lugar antes do resultado estar 3 normalizado. Consideremos, por eemplo, a subtracção 3 ( + + ) ou, 3 equivalentemente, adicionar 3 a ( + + ). Temos que ( ) - ( ) ( ) 0.0 (4.5).0. Normalizando: ( ) 0 Deste modo, o arredondamento não é necessário neste eemplo. Em ambos os eemplos (4.4) e (4.5), oi necessário para eecutar a operação um bit etra, designado por bit de guarda, apresentado após a barra vertical seguido do bit da posição 3ª. Sem este bit, o arredondamento correcto não seria obtido. Deve reerir-se, que um bit de guarda poderá não ser suiciente para obter um resultado correctamente arredondado. Em geral, são necessários três bits de guarda para implementar correctamente as operações aritméticas adição e subtracção em ponto lutuante ([49] pp ). As máquinas utilizadas neste trabalho não possuem estes bits de guarda, pelo que os resultados obtidos de muitas operações, não são os valores correctamente arredondados. O processo utilizado para a subtracção é semelhante ao da soma. Assim sendo, suponhamos que > 0 e < 0. Então, y + pode ser uma quantidade muito pequena, o que tendo em consideração a epressão do erro relativo reerida em (4.3), levará a que o erro relativo R seja muito grande, não obstante o erro absoluto A se manter muito pequeno. Esta situação implica que a subtracção poderá conduzir a erros relativos grandes quando os

8 84 números a subtrair sejam muito próimos. Este acto é conhecido por cancelamento subtractivo e constitui uma causa importante de erros nos cálculos em ponto lutuante. Vejamos os seguintes eemplos: Eemplo ([50] pp. 5-6) Consideremos em F (,4,, A) 0, e e 0 calcule-se y. O resultado eacto é y 4 0 ( 0,4, A), tem-se que l ( ) e l ( ) F, Em. Então ~ l 0 5 ( ).000 y e, por conseguinte, 6 A 6 0 e R 6 0 δ Este eemplo conirma que, apesar do erro absoluto ser muito pequeno, o erro relativo poderá assumir valores elevados, em virtude do cancelamento subtractivo. Eemplo ([30] p. 5) Admita que um certo médico decide que só operará um doente se o resultado de uma análise ao sangue der um valor negativo. O resultado da análise é obtido eectuando a dierença entre dois determinados parâmetros representados, respectivamente, por e. Sabe-se que esses valores deverão situar-se no intervalo [ 0,[. O Laboratório de Análises utiliza uma máquina que converte os números, arredondando-os para 3 dígitos decimais. Os valores (eactos) da análise eectuada ao sangue do doente oram os seguintes: , No documento, que serviu de base à decisão errada do médico, o resultado da análise ao sangue era não negativo ( r 0.000). Analisemos o sucedido. Designando por e, respectivamente, os valores de e representados na máquina. Tem-se: e Logo o resultado da máquina é r O valor eacto da

9 85 subtracção é r , pelo que o doente deveria ser operado. De notar que o erro relativo de r é dado por r r R, ou seja, 00%. r Eemplo 3 Pretende-se calcular o valor da unção ( ) cos para valores de muito pequenos, 0 3, por eemplo. É claro que o cálculo da unção pela epressão dada conduz a uma perda apreciável de dígitos signiicativos, uma vez que para valores de 0, tem-se que cos e portanto, o cálculo de ( ) provoca cancelamento subtractivo. Um algoritmo alternativo que evite esta diiculdade é por eemplo: ( cos)( + cos) cos sin ( ) cos + cos + cos + cos g( ). Consideremos, por eemplo, TI-83, que: 0 9. Tem-se, utilizando a máquina Teas Por outro lado, utilizando a epressão de g () obtemos:

10 86 Eemplo 4 ([53]) Determinar as raízes da equação 6 + 0, usando apenas cinco algarismos signiicativos. Aplicando a órmula resolvente tem-se que 3 ± 68 e com cinco algarismos signiicativos tem-se que 3 ±. 96. Assim sendo, as raízes desta equação são aproimadamente e Observemos que a segunda raiz oi obtida com apenas dois algarismos signiicativos embora a raiz quadrada tenha sido obtida com cinco algarismos signiicativos. Este acto ocorre uma vez que >>. Como ultrapassar esta situação? Sabemos que sendo e as duas raízes de uma equação do segundo grau, tem-se que: a S ± S 4 + b + c 0 S + P 0, P onde S + e P.. Nos casos em que, por eemplo >>, o cálculo de S 4P provoca cancelamento subtractivo e produz elevado erro no cálculo de (no caso etremo tem-se que 0, quando na verdade 0 ). No caso da equação 6 + 0, é preerível utilizar a relação, donde obtém-se que Eemplo 5 ([53]) Calcular o valor de Com cinco algarismos signiicativos, tem-se que (utilizando a máquina Teas TI-83):

11 87 e a dierença tem apenas um algarismo signiicativo. Nesta situação, para obter mais algarismos signiicativos, é preerível usar a relação p q p q p + q, uma vez que obtemos / , com cinco algarismos signiicativos. Estes últimos três eemplos evidenciam que o cálculo numérico a partir duma certa epressão algébrica dada pode não ser a melhor orma de cálculo ao termos em consideração o eeito dos erros de arredondamento. Uma reescrita da epressão (ou órmula) inicial pode constituir uma alternativa mais conveniente. Dito isto por outras palavras, órmulas algebricamente equivalentes deiam geralmente de o ser quando usadas com aritmética computacional de precisão inita. 4.3 Multiplicação e Divisão As operações de multiplicação e divisão em ponto lutuante, contrariamente ao que se passava com a adição e a subtracção, não requerem e e que as mantissas estejam alinhadas. Se m b e m b, então e + e e e ( m m ) b e ( m m ) b. E portanto são necessários três passos para multiplicar dois números: multiplicar as mantissas, adicionar os epoentes e normalizar e arredondar correctamente o resultado. Analogamente, a divisão requere o quociente das mantissas e a dierença dos epoentes. No entanto, a multiplicação e a divisão das mantissas é substancialmente mais complicado do que a adição ou a subtracção.

12 88 Consideremos primeiramente a multiplicação de dois números reais e, e sejam, como anteriormente, y ~ o resultado e y round( ) eacto e o resultado obtido em ponto lutuante, respectivamente. Então, ( ) [( + δ ) ( + δ ) ]( + δ3 ) ( + δ3 )( + δ )( + δ ) ~ y round o que quer dizer que o resultado y ~ é idêntico ao que se obteria com operandos perturbados. Os erros absoluto A e relativo R são dados agora por A [( + δ3 )( + δ )( + δ ) ] e R ( + δ3 )( + δ )( + δ ) e, por conseguinte, ~ y round + ( ) ( R). O teorema 4. permite estimar o erro relativo, tendo-se que R 3. 03θµ, com θ. (4.6) Repetindo o processo eectuado para a multiplicação, tem-se: ~ y round ( ) ( + δ ) + δ3 ( + δ ) e novamente se veriica que o resultado ~ y é igual ao que se obteria com operandos perturbados. Para estimar o erro nesta operação, veriica-se que ([50] pp. 6-7): ( ) ( + δ ) δ ( + δ ) ( µ ) , com θ. Assim, os erros absolutos A e relativo R são dados por A θµ 3.03 e 3. 03θµ R, com θ. Então temos que ~ y round ( + R).

13 89 Tendo em conta a representação em ponto lutuante, conclui-se que a multiplicação ou a divisão por uma potência da base, se não produzir overlow ou underlow, é uma operação eacta. Como já oi mencionado, qualquer cálculo aritmético na máquina Casio CFX 9850 é eecutado internamente com 5 dígitos para a mantissa. A máquina procede a um arredondamento para 0 dígitos, antes de o mostrar no visor, por eemplo: Cálculo eectuado : 3 Resultado obtido : Tabela 4. 6 Embora o resultado apresentado para 7 0 : 3 no visor da máquina tenha sido com apenas 0 dígitos, o resultado interno obtido oi (com 5 dígitos). Este resultado pode ser sempre armazenado na memória e utilizado sempre que se torne necessário. Como reere R. Ralha em [53], um procedimento requente por parte dos alunos consiste em transcrever para o papel resultados que entrarão mais tarde noutros cálculos e que copiarão então de novo para a máquina, quando necessários; não azendo utilização da memória, perdem tempo neste processo de transcrição, aumentam enormemente a probabilidade de trabalhar com dados errados e não usam a precisão máima da máquina. Assim sendo, o aluno deverá ter presente uma regra básica: não deverão ser eitos arredondamentos intermédios num cálculo envolvendo operações consecutivas, devendo em cada operação utilizar o máimo de precisão que a máquina puder dar, evitando-se assim arredondamentos intermédios, orçados pelo utilizador.

14 90 Eistem diversos eemplos numéricos semelhantes aos apresentados e que nos permitem conhecer os limites da calculadora ([58] pp ). 4.4 Condicionamento e estabilidade numérica 4.4. Condicionamento de um problema Em virtude da eistência de erros iniciais, os dados e os parâmetros de um problema numérico, não são, de um modo geral, os valores eactos. Assim, se a solução eacta do problema inicial or muito dierente da solução eacta do problema resolvido, seja qual or o método utilizado, os resultados obtidos poderão ter erros muito grandes. Um problema cuja solução dependa de uma orma muito sensível dos dados diz-me mal condicionado. Um problema dir-se-á bem condicionado se, pelo contrário, or pouco sensível a pequenas alterações nos seus dados. Vejamos os seguintes eemplos. Eemplo ([68] p. 0) Consideremos a equação + 0, (4.7) 3 36 cujas raízes são 6. Em ( 0,6,) F a representação de (4.7) é dada por , (4.8) a qual não possui soluções reais. Neste caso, uma pequena modiicação nos coeicientes da equação, originada pela representação dos coeicientes no sistema de vírgula lutuante F ( 0,6,), altera a natureza das soluções.

15 9 Eemplo Consideremos agora a equação + 0, (4.9) 7 49 cujas raízes são Resolvamos agora esta equação do º grau utilizando as duas máquinas usadas neste trabalho. Com a Teas TI-83, utilizando a aplicação PolySmlt, obtemos a seguinte solução: Ou seja, obtemos um valor aproimado para 7 com 0 casas decimais correctas. Por outro lado, com a Casio CFX 9850, as soluções da equação (4.9) não são reais. Note-se que, nos eemplos considerados, os resultados obtidos não dependem do método escolhido para resolver o problema. De acto, o condicionamento de um problema é uma propriedade matemática intrínseca ao problema, ou seja, eiste no problema mesmo antes de o tentarmos resolver

16 9 numericamente. Mesmo que à partida os dados e os parâmetros de um problema sejam eactos (erros iniciais nulos), o problema do condicionamento continua a pôr-se porque eventuais erros de arredondamento em passos intermédios (por eemplo erros de arredondamento cometidos ao azer-se a representação no sistema de vírgula lutuante dos dados do problema) crescerão se o problema or mal condicionado. Vejamos agora o condicionamento de uma unção num ponto ([54] pp.-). Para isso consideremos o seguinte eemplo. Seja ( ) e,, δ 0 9 e y + δ. Então, podemos airmar que ~ y + δ aproima com nove algarismos signiicativos correctos (o erro relativo é portanto δ 0 9 ). Calculemos agora () e (y), utilizando para isso a Teas TI-83: O erro relativo de (y) como aproimação de () é: ou seja, a um erro relativo de ( y) ( ) 9 ( ) da mesma ordem de grandeza no valor de no valor de corresponde um erro relativo ( ) e. Consideremos agora 00 e δ 0 9, então ~ y + δ aproima com algarismos correctos (o erro relativo é agora ( ) e (y), utilizando novamente a Teas TI-83: 0 ). Calculemos

17 93 cujo erro relativo é ( y) ( ) 9 ( ) 0. E portanto, contrariamente ao caso anterior para, perdemos dois algarismos signiicativos no cálculo do valor da unção. Qual a justiicação para esta situação? Tem-se que ( + δ) ( ) + δ. ( ) + O( δ) ' (4.0) e, para δ suicientemente pequeno, podemos escrever, desprezando o termo proporcional a ( δ ), o que mostra que o número k ( + δ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) δ ( ) (4.). ' : (4.) ( ) condiciona a orma como o erro relativo no valor da unção ( + δ) ( ) ( ) cresce (ou decresce) a partir do erro relativo δ na variável independente. Por esta razão, k ( ) diz-se o número de condição (relativo) da unção no ponto. Uma unção diz-se mal condicionada se o seu número de condição or muito elevado e bem condicionada, se o seu número de condição or pequeno. Agora estamos em condições de percebermos a razão dos resultados do erro relativo no cálculo de ( ) e ( 00), obtidos no eemplo dado. De acto, para ( ) e, o número de condição é, de acordo com (4.),

18 94 k e. e ( ) : o qual cresce com e, portanto, quanto maior or o valor de, mais mal condicionada é a unção. Por eemplo, no caso de ( ) g, tem-se k g ( ) e portanto, o cálculo de é sempre bem condicionado independentemente do valor de. De acto, os erros relativos no cálculo da raiz quadrada de um número tendem a ser reduzidos para metade Estabilidade numérica Se o resultado intermédio de um cálculo numérico or contaminado por um erro de arredondamento, esse erro inluenciará todos os resultados subsequentes que dependam desse resultado intermédio, ou seja, o erro de arredondamento propagar-se-á. Embora o erro de arredondamento seja relativamente pequeno, a alteração por ele introduzido nos cálculos seguintes pode ser muito grande. A grandeza dessa alteração pode depender de orma crucial da maneira como estão organizados os cálculos seguintes, isto é, do algoritmo que estivermos a utilizar. Diremos que um algoritmo sore de instabilidade numérica se produzir uma ampliicação inaceitável dos erros de arredondamento intermédios, com consequente inluência no resultado inal. Por outras palavras, o algoritmo será instável se piorar o condicionamento do problema. Contrariamente, um algoritmo será estável se os erros nos resultados intermédios tiverem pouco eeito no resultado inal. Já izemos reerência em 4. ao problema do cancelamento subtractivo como onte de aumento de erro relativo. É conveniente sublinhar o acto de que, embora relacionados, os conceitos de condição e estabilidade não são equivalentes. Por um lado,

19 95 porque um determinado problema poderá ser resolvido por mais de um algoritmo, podendo uns ser estáveis e outros não. Todavia, um problema ou é bem condicionado ou mal condicionado e, se or mal condicionado, não eiste um algoritmo que permita obter bons resultados. Por outro lado, um algoritmo instável pode destruir a solução de um problema bem condicionado. Vejamos novamente o eemplo 3 dado em 4.. que mostra claramente a dierença entre condicionamento e estabilidade. Neste pretendia-se calcular o valor da unção ( ) cos de condição desta unção é dado por para valores de muito pequenos. O número k ( ) sen., com kπ, k Ÿ. cos E portanto, tem-se que lim ( ), como pode ser observado no gráico de k 0 k g () (ver igura 4. gráico obtido pela Teas TI 83). Fig. 4. Gráico de ( ) k sen. cos Então, os erros relativos no cálculo do valor da unção para valores próimos de zero, tendem a ser ampliados para o dobro, o que não é muito grave. Assim, esta unção pode ser considerada bem condicionada. Todavia, o cálculo do valor da unção para valores de 0 provoca cancelamento subtractivo. Então sugere-se a utilização da epressão g ( ) sin. + cos Como e g representam a mesma unção tem-se que ( ) k ( ) k g, para π + kπ, k Ÿ. No entanto, para valores próimos de próimos de zero, os valores de ( ) e g ( ) poderão coincidir em poucos ou nenhuns algarismos signiicativos.

20 96 Vejamos o que se passa nas máquinas utilizadas neste estudo. Consideremos, em primeiro lugar, a Teas TI 83 e calculemos o valor das unções ( ) e ( ) g para encontram-se na tabela seguinte: k 0, com k : 7. Os resultados obtidos ( ) g ( ) Tabela 4. Valores de e g obtidos pela Teas TI 83 Considerando a máquina Casio CFX , obteríamos resultados muito semelhantes. Como se pode veriicar na primeira linha da tabela, para os valores de ( ) e ( ) 0, g dierem apenas nos dois últimos algarismos apresentados. No entanto, à medida que o valor de diminui o valor da unção tende para zero, e particularmente no caso de ( ) 0 e 0 6, obtemos 3 g ( ) 5 0. Esta situação decorre do acto de ser numericamente instável para valores de pequenos, em virtude do cancelamento subtractivo. De acto, para 0 6 tem-se

21 97 Por outro lado, no caso da epressão que deine a unção g, tem-se k (k + ) g (0 ) 5 0, para 5 uma vez que N min k. É claro que para k 50, se tem que g ( ) 0 De um modo geral, pode ocorrer um erro de arredondamento em qualquer uma das operações envolvidas no cálculo de g (), no entanto, mostra-se que o valor calculado é g ~ ( ) g + δ (4.3) ( ) com δ pequeno, ou seja, a órmula é estável. Vejamos um outro eemplo que também ilustra a dierença entre condicionamento e estabilidade ([54] pp. 3-4). Consideremos a unção Então tem-se que E portanto, tem-se que ( ) +, para > 0. ' ( ) ( ). k ( ). + k + lim ( ), o que nos permite concluir que a unção é bem condicionada. Consideremos agora a unção g, deinida por ( + )( + + ) + g( ) Logo temos que k ( ) k ( ) g, para todo o > 0. No entanto, para valores grandes de, os valores de () e g () poderão coincidir em poucos ou mesmo nenhuns algarismos signiicativos. Vejamos o que se passa nas máquinas utilizadas neste estudo. Consideremos, em primeiro lugar, a Teas TI 83 e calculemos o valor das unções ( ) e ( ) g para encontram-se na tabela seguinte: k 0, com k 6 : 4. Os resultados obtidos

22 98 ( ) g ( ) Tabela 4.3 Valores de e g obtidos pela Teas TI 83 Analisando a tabela podemos veriicar, por eemplo, que para valores de ( ) e ( ) 7 0, os g dierem apenas nos últimos três algarismos, enquanto que para 0, obtemos ( ) 0 e 7 g ( ) 5 0. Neste eemplo, analogamente ao caso apresentando anteriormente, o cálculo dos valores de () é numericamente instável, devido ao cancelamento subtractivo. No caso de tem-se que 0, na máquina Teas TI 83, +, e portanto ( ) 0 com um erro relativo de 00%, ou seja, nenhum algarismo signiicativo. Assim, no caso da epressão que deine g, a máquina Teas TI 83 considera para 0 (note-se que neste caso o único erro é cometido na soma de +, as restantes operações são eactas) g ( ) e este resultado é de acto o valor correcto com algarismos signiicativos. 7 Os resultados obtidos com a calculadora Casio CFX 9850 são muito semelhantes aos que se encontram na tabela 4.3 dierindo somente em dois aspectos: obtém-se mais um dígito no valor das unções ( ) e ( ) ( ) 0 para 4 0. g e

23 Funções mal e bem condicionadas Suponhamos que se pretende determinar o valor de () utilizando um valor de eacto e um algoritmo numericamente estável. Na prática, ~ poderemos obter um valor calculado ( ) muito dierente do valor eacto (). Considerando e mesmo que ~ δ seja pequeno, ( ) ( ) ( + δ) ~ poderá aastar-se do valor eacto (), se o número de condição k () or grande, ou seja, se or mal condicionada neste ponto. O mau condicionamento é um problema inerente à unção que só poderá ser removido se or possível substituir a unção por uma outra que possua melhor condicionamento no ponto em questão. De uma orma geral, esta solução não é possível, todavia apresenta-se em seguida um eemplo onde tal objectivo é atingido ([54] pp. 5-6). Consideremos neste eemplo a máquina Teas TI 83 onde Seja a unção ( ) ln( ), com > 0 e sotware Mathematica tem-se que ε Então, utilizando o ln( ) Na máquina obtemos com elevado erro relativo. De acto, para a unção, temos k ( ) ln( ) ln( )

24 00 e portanto limk ( ) + +. Logo a unção é mal condicionada para 0 valores de. Como TI 83, será representado por não tem representação eacta na Teas ~ + δ, com δ < ε e assim será calculado o valor de ln ( ~ ) tal que ln( ~ ) ln( ) ln( ) k ( ) δ e por conseguinte ln ( ~ ) tem menos algarismos correctos do que ~. Para superar esta situação, consideremos o desenvolvimento em série de potências de θ θ 3 θ 3 4 θ 4 ( + θ) θ ln e considerando θ 0 4, obtemos a aproimação ln( + θ) T ( θ) θ θ com um erro de truncatura que é (por se tratar de uma série alternada convergente) inerior ao valor absoluto do primeiro termo desprezado, que neste caso tem o valor de TI 83 obtém-se a aproimação 3 θ Utilizando esta epressão na Teas que é claramente muito melhor do que a dada anteriormente. Vejamos por que razão isto acontece. A condição do polinómio ( θ) θ T θ é

25 0 ( θ) θ. ( θ) ( ) k T θ + O θ θ θ então, para θ pequeno, k ( θ) T. Logo pequenos erros relativos no valor de θ produzirão erros relativos igualmente pequenos no valor calculado de ( θ) T Condicionamento de unções de duas variáveis Consideremos uma unção de duas variáveis 5, de classe Então, desprezando os termos de ordem superior à primeira, tem-se isto é, C ([54] p. 7). ( + δ, y + δy) (, y) + δ (, y) + δy (, y) (4.4) y ( + δ, y + δy) (, y) δ (, y) + δy (, y) (4.5) y Para estudar o erro relativo no valor da unção é mais ácil analisar o eeito do erro relativo em cada uma das variáveis separadamente. Assim para a variável tem-se ( + δ, y) (, y) (, y) (, y) δ. (, y) (4.6) e uma epressão semelhante para a variável y. Vejamos um eemplo. No artigo Should We be Concerned about Roundo Error? ([40]), o autor considera a unção (, y) y + ( y y y ) + 5.5y 8 + y e estuda os erros no cálculo de para 7767 e y O valor eacto, utilizando o sotware Mathematica, uma vez que é uma unção racional, é 5 O procedimento para o caso de uma unção de três ou mais variáveis é análogo.

26 0 In[48]: H33375ê00L 33096^ ^ I M + HêL Out[48] In[49]: N@%,4D Out[49] Neste mesmo programa, eecutando as operações no modo aproimado, com uma precisão de 6 algarismos, obtemos In[5]: I M Out[5] Este valor está completamente errado, nem mesmo o sinal é o correcto. Na máquina Teas TI 83 obtém-se o valor Casio CFX 9850, obtém-se , ao passo que na Por que razão os valores obtidos numericamente são tão dierentes do valor eacto? Tem-se 3 ( 7767,33096).04 0 y e por conseguinte, pequenas perturbações δ e 3 e ( 7767,33096) δ y originam enormes erros nos resultados. Apesar do valor calculado ser o eacto de ( + δ, y + δ) onde δ e δ y são da ordem da unidade de erro de arredondamento 53 6 ε. 0, tem-se, representando por (, y) ~ 3 (, y) ( + δ, y + δy) (, y) + O( ε). O( 0 ) ~ o valor calculado que e portanto, a dierença entre o valor eacto (, y) e o valor calculado (, y) será enorme. ~

27 Condicionamento dos zeros de uma unção Já oi reerido que no caso de o valor de ( ) ' ser grande, então pequenos erros absolutos em produzirão erros absolutos muito maiores no correspondente valor de ( ). Consideramos agora a seguinte situação. Pretende-se determinar um zero de, digamos z. Então torna-se necessário calcular os valores de em vários pontos próimos de z. Qual o papel de ' ( z)? Vejamos que quanto menor or a variação de na vizinhança do zero z mais mal condicionado será o problema. O valor calculado ( ) + δ. Escrevemos ~ corresponde em aritmética eacta a um ponto ~ ( ) ( + δ) e, assumindo que z é uma raiz simples de, eiste uma vizinhança de z onde ' não se anula. Assim podemos escrever, desprezando o resto de segunda ordem na série de Taylor ~ δ (4.7) ( ) ( ) '( ) E portanto, a partir de (4.7) podemos concluir que para o mesmo erro na unção, o erro na variável independente cresce de orma proporcional a ( ) '. No caso de z e uma vez que ( z) 0 e, por conseguinte, dizemos que '( z) zero z. ( ) 0 ( z) '( z), tem-se ~ δ (4.8) é o número de condição absoluto do Se consideramos z uma raiz de multiplicidade m da equação, tem-se ( z) 0, ( ) k para : m k.

28 04 Assumindo que a unção é de classe m + num intervalo que contenha z, tem-se pela órmula de Taylor com resto de ordem m +, desprezando o resto, que Donde vem que Assim, o erro ~ seja pequeno ([54] pp. 8-9). ( z) ( z + δz) ( m) m! ( z) ) ( ) ( z) ( ) m δz (4.9) ~ m δ z m! (4.0) ( m z δ z crescerá com a multiplicidade m, mesmo que ( m) ( z) não Vejamos um eemplo para ilustrar a situação descrita anteriormente. Seja uma unção polinomial deinida por ( 3) 0 ( ) (4.) que admite uma raiz z 3 de multiplicidade 0. A partir de (4.0) tem-se ~ 0 ( z) ~ δ z 0! z 0! ( ) 0 e, por conseguinte, um pequeno erro da ordem de corresponderá um erro da ordem de 0 em z. ~ 0 0 em ( z), por eemplo, Suponhamos que a actorização (4.) era desconhecida e o polinómio estava escrito na orma ( ) (4.) Utilizando a máquina Teas TI 83 (a máquina Casio CFX 9850 apenas permite resolver equações polinomiais até grau 3), o valor de para 3 dá eactamente zero. Por outro lado, utilizando a já mencionada aplicação PolySmlt obtemos o seguinte resultado

29 05 ou seja, obtemos duas raízes reais. Consideremos por eemplo 3 + 0, então o valor de obtido pela máquina Teas TI 83 é O valor eacto é ( ) 0. Obtivemos portanto um erro absoluto da ordem de que corresponde, em aritmética eacta, a 7 0 no valor calculado mas Por conseguinte, a um erro ( 0 7 ) ~ O no valor de ( ) um erro aproimadamente igual a corresponde neste caso a Um aspecto que é particularmente grave é o acto de que o sinal do valor da unção calculado estar errado. Assim sendo, considerando agora , obtém-se o valor e, por conseguinte, pelo corolário do Teorema de Bolzano pode-se concluir que eiste um zero no intervalo [ 3.0,3.03]. É de reerir que a máquina Teas TI 83, na sua aplicação PolySmlt, deverá utilizar o método de bissecção. Portanto, o resultado que obtivemos anteriormente nesta máquina oi calculado com um elevado erro. Vejamos as representações gráicas da unção dadas pelas epressões (4.) e (4.), respectivamente: 6 6 Fig Gráico obtido com a janela [.6,3.4] [.05 0, ]

30 Fig Gráico obtido com a janela [.6,3.4] [.05 0, ] Pela análise do segundo gráico podemos de acto concluir que para valores próimos de 3, erros numéricos no cálculo de ( ), traduzem-se em importantes erros relativos e, em muitos casos, até o sinal do valor de ( ) está errado.