Sistema de ponto flutuante

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1 Exemplo: FP(,4,,A) e FP(,4,,T) Sistema de ponto flutuante FP( b, p, q,_) = FP(, 4,, _ ) base 4 dígitos na mantissa dígitos no expoente A=Arredondamento T=Truncatura x ± =± m b t x =± d 1d d d 4 dígitos (base ) ± ( ) (0, ) t t dígitos (da base ) Formato normalizado com excepção da representação do número zero, d 1 0 pelo que 0,00 m 0,9999 0,1 m< 1 b 1 m< 1

2 Unidade de arredondamento, u Unidadedearredondamento,u majorante do erro relativo (possível de ser cometido) na representação dum número t t x x m b m b m m e = = = t x m b m x x m m max( m m) max ( e) = max = max < u x m min( m) Exemplo: FP(,4,,T) 1 1 min( m): 0,1 m< 1 b m< 1 min( m) = b = 0,1 max( m m ): x = 0,000, x= fl( x) = 0,00 x x= 0,00000 < 0,0001 x = 0,00784, x= fl( x) = 0,00 x x= 0, < 0,0001 x = 0,00999, x= fl( x) = 0,00 x x= 0, < 0,0001 max( ) 0,0001 max( ) m m < = m m < b 0,0001 b u< = 0,001 = u< = u< = b 0,1 b

3 Unidade de arredondamento, u Unidadedearredondamento,u majorante do erro relativo (possível de ser cometido) na representação dum número t t x x m b m b m m e = = = t x m b m x x m m max( m m) max ( e) = max = max < u x m min( m) Exemplo: FP(,4,,A) 1 1 min( m): 0,1 m< 1 b m< 1 min( m) = b = 0,1 max( m m ): x = 0,000, x= fl( x) = 0,00 x x= 0,00000 < 0,0001 / x = 0,00784, x= fl( x) = 0,01 x x = 0, < 0,0001 / x = 0,00500, x= fl( x) = 0,00 x x= 0, ,0001 / max( ) 0,0001 max( ) m m = m m b 0, b 1 u< = = u< = u< = b 0,1 b 1 1 p 1 p 1 p 1 0,

4 Unidade de arredondamento, u Unidadedearredondamento,u majorante do erro relativo (possível de ser cometido) na representação dum número t t x x m b m b m m e = = = t x m b m x x m m max( m m) max ( e) = max = max < u x m min( m) Exemplo: FP(,4,7,T) max( m m ): min( m): (0,...0) m< 1 b m< 1 min( m) = b = x = (0, ), x= fl( x) = (0,... 0 ) x x= (0, ) < (0,000 1 ) x = (0, ), x= fl( x) = (0,... 0 ) x x= (0, ) < (0,000 1 ) x = (0, ), x= fl( x) = (0,... 0 ) x x= (0, ) < (0,000 1 ) max( m m) (0, ) max( m m) b < 4 = = < 4 b u< = = u< = b u< = b

5 Unidade de arredondamento, u Unidadedearredondamento,u majorante do erro relativo (possível de ser cometido) na representação dum número t t x x m b m b m m e = = = t x m b m x x m m max( m m) max ( e) = max = max < u x m min( m) Exemplo: FP(,4,7,A) max( m m ): min( m): (0,...0) m< 1 b m< 1 min( m) = b = x = (0, ), x= fl( x) = (0,... 0 ) x x= (0, ) < (0,000 1 ) / x = (0, ), x= fl( x) = (0,... 1 ) x x = (0, ) < (0,000 1 ) / x = (0, ), x= fl( x) = (0,... 0 ) x x= (0, ) (0,000 1 ) / max( m m) (0, ) max( m m) b 4 = = b u< = = u< = b u< = b

6 Operações elementares em ponto flutuante (FP) Passos a seguir: 1) Decomposição dos operandos nas mantissas e expoentes ) No caso de soma e subtracção, alinhamento das mantissas ) Operações com mantissas e com expoentes 4) Normalização da mantissa 5) Arredondamento da mantissa Exemplos em FP(,4,,T) Exemplo 1) 1 = 1,4 + 4,1 0,14 + 0,41 0,14 + 0,0041 0,1771 fl( ) = = 0,177

7 Operações elementares em ponto flutuante (FP) Passos a seguir: 1) Decomposição dos operandos nas mantissas e expoentes ) No caso de soma e subtracção, alinhamento das mantissas ) Operações com mantissas e com expoentes 4) Normalização da mantissa 5) Arredondamento da mantissa Exemplos em FP(,4,,T) Exemplo ) 1 = 47,,18 0,47 0,18 0,47 0,0018 0,45117 fl( ) = = 0,451 Nota: se não existirem dígitos de guarda 0,47 0, ,45 fl( ) = = 0,45

8 Operações elementares em ponto flutuante (FP) Passos a seguir: 1) Decomposição dos operandos nas mantissas e expoentes ) No caso de soma e subtracção, alinhamento das mantissas ) Operações com mantissas e com expoentes 4) Normalização da mantissa 5) Arredondamento da mantissa Exemplos em FP(,4,,T) 1 8,475 0,8475 0,8475 Exemplo ) = = = 5, ,7 0,1547 0, fl( ) = = 0,5478

9 Operações elementares em ponto flutuante (FP) Passos a seguir: 1) Decomposição dos operandos nas mantissas e expoentes ) No caso de soma e subtracção, alinhamento das mantissas ) Operações com mantissas e com expoentes 4) Normalização da mantissa 5) Arredondamento da mantissa Notas: 1) Existindo dígitos de guarda, a simulação duma operação em FP corresponde a fazermos o cálculo (da operação elementar) e escrever o resultado obtido no formato em FP, arredondando o resultado para o número de dígitos existentes na mantissa. ) As operações com os expoentes são operações com números inteiros pelo que não introduzem aproximações (operações exactas). ) As operações em FP, em geral, não respeitam as propriedades comutativas, distributiva e associativa da aritmética exacta.

10 Erros nas operações elementares em ponto flutuante (FP) Nota: as operações com os expoentes são exactas, os erros provêm das operações com as mantissas fl( x) = x + E E fl( x) = x + x e = x (1 + e) e= E = x e x Soma: = x 1 + x (x 1 e x têm o mesmo sinal) [ ] = fl( x1+ x) = x1 (1 + e1) + x (1 + e) (1 + e) = x1+ x+ e1x1+ ex+ e( x1+ x) + ϑ arredondamento do argumento E = = e x + e x + e ( x + x ) + ϑ arredondamento do resultado termos de ordem superior E e= e u+ ϑ E u x1 + u x + u x1+ x + ϑ( u ) E u x1+ x + ϑ( u )

11 Erros nas operações elementares em ponto flutuante (FP) Nota: as operações com os expoentes são exactas, os erros provêm das operações com as mantissas fl( x) = x + E E fl( x) = x + x e = x (1 + e) e= E = x e x Multiplicação: = x1 x [ ] = fl( x1 x) = x1 (1 + e1) x (1 + e) (1 + e) =... = x x e1x1x ex1x ex1x ϑ arredondamento do argumento E= = exx exx 1 + exx 1 + ϑ arredondamento do resultado E u x x + ϑ 1 termos de ordem superior E e= e u+ ϑ Analogamente se conclui para a divisão: e u+ ϑ

12 Erros nas operações elementares em ponto flutuante (FP) Subtracção: = x 1 x (x 1 e x têm o mesmo sinal) [ ] = fl( x1 x) = x1 (1 + e1) x (1 + e) (1 + e) = x (1 + e + e + ϑ) x (1 + e + e + ϑ) 1 1 arredondamento do argumento arredondamento do resultado termos de ordem superior = x1 x+ e1x1 ex+ e( x1 x) + ϑ E = = e x e x + e ( x x ) + ϑ E e x + e x + e ( x x ) + ϑ ( ) E u x1 + u x + u x1 + x + ϑ( u ) E E + e= = e u x x x x x x ϑ ( 1 ) E u x + x + ϑ( u ) Se x 1 x for muito pequeno, o erro relativo pode ser muito grande -> cancelamento subtractivo erro absoluto pequeno (em relação à grandeza dos argumentos)

13 Erros nas operações elementares em ponto flutuante (FP) Soma: = x 1 + x (x 1 e x têm o mesmo sinal) e u + ϑ( u ) x1 + x Subtracção: = x 1 x e u + ϑ( u ) x x 1 Multiplicação e divisão: = x x, = x / x e u + ϑ( u ) 1 1

14 Processos que podem originar acumulação de erros n Somatório: x i (x i números positivos e negativos) = 1 i= Algoritmo: Inicialização: s 0 =0 para i=1 até n fazer s i =s i 1 +x i fim do ciclo i =s n No caso de os x i possuírem o mesmo sinal é possível estimar um majorante do erro relativo e ( n+ 1) u+ϑ( u ) Notar que a ordem pelo qual o cálculo é efectuado não é indiferente Para minimizar o erro, a variável auxiliar s i pode ser declarada com precisão acrescida. Se não ocorrer cancelamento subtractivo, o erro raramente ultrapassa uma unidade de arredondamento (independentemente do valor de n)

15 Processos que podem originar acumulação de erros Produto interno (de vectores): s = x = i n i= 1 x i Algoritmo: Inicialização: s 0 =0 para i=1 até n fazer s i =s i 1 +x i. i fim do ciclo i =s n No caso dos termos (x i i ) possuírem o mesmo sinal é possível encontrar um majorante do erro relativo e ( n+ ) u+ϑ( u ) Tal como no caso do somatório, para minimizar o erro, a variável auxiliar s i pode ser declarada com precisão acrescida

16 Norma IEEE754 formato simples bits -> 1 8 Formato simples bits = 4 btes S Expoente Mantissa Formato normalizado 1 S x= ( 1) ( d, d d ) bits e 17 Expoente: ( ) e (111111) 1 e e Limite de overflow: (1,1111) (1,1111) ( ), = 17 = Limite de underflow: (1,0000) = (1,0000) = 1, Limite de underflow gradual: (0,000 1 ) = = 1, Unidade de arredondamento c/ truncatura: u= b = = 1, Unidade de arredondamento c/ arredondamento: u= b = = 0,

17 Norma IEEE754 formato duplo bits -> Formato simples 64 bits = 8 btes S Expoente Mantissa Formato normalizado 1 S x= ( 1) ( d, d d ) bits e Expoente: ( ) e ( ) 1 e 046 e Limite de overflow: (1,1111) = ( ) 1, Limite de underflow: (1,0000) = (1,0000) =, 1 08 Limite de underflow gradual: (0,000 1 ) = = 4, Unidade de arredondamento c/ truncatura: u= b = =, Unidade de arredondamento c/ arredondamento: u= b = = 1,

18 Número de condição Avaliar a propagação de erros: análise directa vs. análise indirecta Análise indirecta número de condição perturbação de x x fx ( ) x fx ( ) situação 1 situação bem condicionada situação fx ( ) situação mal condicionada Dedução de número de condição fx ( ) fx ( ) fx ( ) fx ( ) f'( x) = lim f'( x) x x x x x x ( ) fx ( ) fx ( ) f'( x) x x fx ( ) fx ( ) x f'( x) x x fx ( ) fx ( ) x e f cond f ( x) e x

19 Número de condição Ou seja, e = cond f( x) e, cond f( x) f x x f'( x) fx ( ) cond f(x) representa o factor de ampliação entre o erro relativo do argumento x eoerrodo valor da função f(x) Se cond f(x) for grande, então uma perturbação no valor do argumento x é muito ampliada Se cond f(x) 1 (valor pequeno) função é bem condicionada Se cond f(x) 6 (valor grande (?)) função é mal condicionada Nota 1: Se uma função for bem condicionada (num ponto), então deverá existir algoritmo que permita calcular (nesse ponto) o valor da função com precisão. Contudo, podem existir algoritmos que originem imprecisões no cálculo da função.

20 Número de condição Nota : cond f(x) é grande ou pequeno dependendo do nosso objectivo e da incerteza dos argumentos x x Considerar, por hipótese, cond fx ( ) = x a) se os erros dos argumentos forem da ordem da representação dos números em computador (por exemplo em formato simples) 7 4 = x x 7 u x erro inferior a 0,01% erro pequeno (?) (depende da aplicação) b) se os erros dos argumentos forem erros de leitura numa escala (temperatura, distância, velocidade, etc), por exemplo se os erros forem inferiores a = erro inferior a % erro grande (?) (depende da aplicação)