Noções Básicas de Erros

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1 Noções Básicas de Erros PROF. ALIRIO SANTOS DE SÁ MATERIAL ADAPTADA DOS SLIDES DA DISCIPLINA DE CÁLCULO NUMÉRICO DOS PROFESSORES BRUNO QUEIROZ, JOSÉ QUEIROZ E MARCELO BARROS (UFCG). DISPONÍVEL EM:

2 Noções Básicas de Erros PONTOS A SEREM ABORDADOS Motivação Erros na fase de modelagem Erros na fase de resolução Conversões de Base Arredondamento Truncamento Precisão Variações de Erro

3 Noções Básicas de Erros Motivação A obtenção de uma solução Numérica para um problema físico por meio da aplicação de métodos numéricos, nem sempre fornece resultados que se encaiem dentro de limites razoáveis. Isto acontece mesmo quando o método é adequado e os cálculos são efetuados de maneira correta. Tal diferença ocorre devido aos erros acumulados na conversão dos números para o sistema aritmético da máquina e nas sucessivas operações realizadas, isto é inerente ao processo e, na maioria dos casos, não tem como ser evitado. Objetivo Estudar como os erros se manifestam na matemática computacional

4 Noções Básicas de Erros Influência dos Erros nas Soluções Eemplo 1: Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 Guerra do Golfo míssil Patriot) Limitação na representação numérica (24 bits) Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento Ver: 4

5 Noções Básicas de Erros Influência dos Erros nas Soluções Eemplo 2: Eplosão de foguetes (04/06/1996 Guiana Francesa foguete Ariane 5) Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits) Erro de trajetória 36,7 s após o lançamento Prejuízo: U$ 7,5 bilhões Ver: 5

6 Erros na Modelagem Computacional RETIRADO DE ARENALES (2008)

7 Erros - Eistência I Premissa Impossibilidade de obtenção de soluções analíticas para vários problemas de Engenharia. Consequência Emprego de métodos numéricos na resolução de inúmeros problemas do mundo real. 7

8 Erros - Eistência II Erro Inerente Erro sempre presente nas soluções numéricas, devido à incerteza sobre o valor real. E. 01: Representação intervalar de dados (50,3 ± 0,2) cm (1,57 ± 0,003) ml (110,276 ± 1,04) Kg Cada medida é um intervalo e não um número. 8

9 Erros - Eistência III Método Numérico Método adotado na resolução de um problema físico, mediante a eecução de uma sequência finita de operações aritméticas. Consequência Obtenção de um resultado aproimado, cuja diferença do resultado esperado (eato) denomina-se erro. 9

10 Erros - Eistência IV Natureza dos Erros I Erros inerentes ao processo de aquisição dos dados Relativos à imprecisão no processo de aquisição/entrada, eternos ao processo numérico. 10

11 Erros Inerentes aos Dados Proveniência Processo de aquisição/ entrada (medidas eperimentais) Sujeitos às limitações/aferição dos instrumentos usados no processo de mensuração Erros inerentes são inevitáveis! 11

12 Erros - Eistência V Natureza dos Erros II Erros inerentes ao modelo matemático adotado Relativos à impossibilidade de representação eata dos fenômenos reais a partir de modelos matemáticos Necessidade de adotar condições que simplifiquem o problema, a fim de torná-lo numericamente solúvel 12

13 Erros Inerentes ao Modelo Proveniência Processo de modelagem do problema Modelos matemáticos raramente oferecem representações eatas dos fenômenos reais Equações e relações, assim como dados e parâmetros associados, costumam ser simplificados Factibilidade e viabilidade das soluções 13

14 Erros - Eistência VII Natureza dos Erros III Erros de truncamento Substituição de um processo infinito de operações por outro finito Em muitos casos, o erro de truncamento é precisamente a diferença entre o modelo matemático e o modelo numérico. 14

15 Erros - Eistência VII Natureza dos Erros IV Erros de arredondamento Inerentes à estrutura da máquina e à utilização de uma aritmética de precisão finita 15

16 Erros - Eistência VIII Fontes de Erros I Erros de Aquisição/ Entrada de Dados Erros Inerentes ao Modelo Dados e Parâmetros do Modelo Problema do Mundo Real Modelo Matemático Processamento Numérico Solução Numérica Modelo Numérico Erros de Arredondamento Erros de Truncamento 16

17 Erros - Eistência IX Fontes de Erros II Erros de Truncamento/Arredondamento Erros de Aquisição/Entrada de Dados Unidade Central de Processamento Unidade de Controle ULA Resultado com Erros Unidade Primária de Armazenamento Dispositivos Secondários de Armazenamento 17

18 ERROS NA FASE DE MODELAGEM Erros decorrentes de Simplificações, muitas vezes necessárias, para que o fenômeno da natureza que está sendo observado possa ser representado por um modelo matemático e que tenha condições de ser tratado com as ferramentas matemáticas disponíveis. RETIRADO DE ARENALES (2008)

19 Eemplos Eemplo 1: Calcular a área de uma circunferência de raio 100m A = PI * R 2, assim para: (a) PI = 3,14 A = 31400m 2 (B) PI = 3,1416 A = 31416m 2 (C) PI = 3, A = 31415, 92654m 2 Considerações Neste eemplo, o valor eato de PI não ser representado através de um número finito de dígitos e não pode retornar como resultado um valor eato. Qualquer cálculo que envolva números que não podem ser representados através de um número finito de dígitos não fornecerá como resultado um valor eato. Quanto maior o número de dígitos utilizados, maior será a precisão obtida. Um número pode ter representação finita em uma base e não-finita em outras bases.

20 Eemplos EXEMPLO 2: AS LEIS DA MECÂNICA ENSINADAS NO ENSINO MÉDIO ELA POSSUI: BOLINHA DE METAL CRONÔMETRO FÓRMULA SENDO: D DISTÂNCIA DECORRIDA D 0 DISTÂNCIA INICIAL V 0 VELOCIDADE INICIAL T TEMPO A ACELERAÇÃO COM: D 0 =0 E V 0 = 0 E A = 9,8 M/S 2 SABENDO QUE: D = D 0 + V 0 * T + A*T 2 /2 PARA T = 3 D = 44,1M

21 Eemplo 2 Considerações Esse resultado é confiável? É bem provável que não. Não foram consideradas outras forças Resistência do Ar Velocidade do Vento Etc. Eistem fatores que eercem uma grande influência na confiabilidade da resposta O modelo matemático A precisão dos dados.

22 Erros na Fase de Resolução Erros provenientes da utilização de algum equipamento (e.g. Computador) para processar os cálculos necessários à obtenção de uma solução para o modelo matemático. Decorrentes da capacidade limitada de armazenar os dígitos significativos de valores numéricos utilizados nas operações elementares de adição, multiplicação, subtração e divisão. RETIRADO DE ARENALES (2008) Podem ser classificados em: Erros de mudança de base e erros de representação.

23 Erros na Resolução Observe o que acontece na interação entre o usuário e o computador na resolução de um problema Numérico: Os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema decimal Toda essa informação é convertida para o sistema binário Todas as operações serão efetuadas nesse sistema Os resultados finais serão convertidos para o sistema decimal e, Finalmente, serão transmitidos ao usuário. Todo esse processo de conversão é uma fonte de erros que afetam o resultado final dos cálculos

24 Erros na Resolução Para a resolução de modelos matemáticos, muitas vezes, torna-se necessário a utilização de instrumentos de cálculos que necessitam, para seu funcionamento, que sejam feitas certas aproimações. Tais aproimações podem gerar erros relacionados a mudanças de base e arredondamentos.

25 Erros na Resolução (Erros de Mudança de Base) Conversão base 2 para base 10 A) = 1 * * * * 2 0 = B)10,1 2 = 1 * * * 2-1 = 2,5 10 C)11,01 2 = 1 * * * * 2-2 = 3,25 10 D)0, = 0 * * * * * * 2-6 = 0,

26 Erros na Resolução (Erros de Mudança de Base) Conversão base 10 para base 2 Parte inteira do Número Utiliza-se o método das divisões sucessivas Parte Fracionária do número Utiliza-se o método das multiplicações sucessivas. Eemplo 18, =? = ,1875 0,3750 0,7500 0, ,3750 0,7500 1,500 1,000 0, = 0,0011 2

27 Eemplos Erros na Resolução (Erros de Mudança de base) A) 0,6 10 = 0, ; B) 0,1 10 = 0, ; C) 13,25 10 = 1101,01 2 Considerações Números decimais reais nem sempre possuem representação binária Dízimas periódicas decimais também são infinitas em binário A causa de erros aritméticos nos computadores está: Na limitação em armazenar bits que representam um número Se o binário for muito grande (muitos bits), não há como armazená-lo por inteiro. Se o erro for repetido muitas vezes, a resposta final pode ficar muito distante da correta.

28 Erros na Resolução

29 Erros na Resolução (Erros de Arredondamento) Os circuitos internos dos computadores reconhecem apenas a ausência ou presença de impulso elétrico. Ausência 0 Presença 1 O número binário é uma seqüência de impulsos elétricos que indicam dois estados: 0 e 1. Um Computador ou calculadora representa um número real em um sistema denominado de aritmética de ponto flutuante.

30 Erros na Resolução (Erros de Arredondamento) Aritmética de ponto flutuante De modo geral, um número é representado na base â por: X = ± [d 1 /b + d 2 /b 2 + d 3 /b d t /b t ] * b ep Onde: D i são os números inteiros contidos no intervalo: 0 d i b-1; i = 1,2,..., t; ep representa o epoente de b e assume os valores entre i e s; i, s limites inferior e superior, respectivamente, para a variação do epoente; [d 1 /b + d 2 /b 2 + d 3 /b d t /b t ] é chamada mantissa e é a parte do número que representa seus dígitos significativos; T número de dígitos do sistema de representação;

31 Erros na Resolução (Erros de Arredondamento) Aritmética de ponto flutuante (Eemplos) Considerando o sistema de base 10, B = 10, represente os seguintes números, em aritmética de ponto flutuante: A) 0, , = (3/10 + 4/ /10 3 ) * 10 0 B)31, , = 0,31415 * 10 2 = (3/10 + 1/ / / /10 5 ) * 10 2

32 Erros na Resolução (Erros de Arredondamento) Aritmética de ponto flutuante (Eemplos) Considerando o sistema de base 2, B = 2, represente os seguintes números, em aritmética de ponto flutuante: A) = 0,101 * 2 3 = (1/2 + 0/ /2 3 ) * 2 11 B) = 0,100 * 2 3 = (1/2 + 0/ /2 3 ) * 2 11

33 Erros na Resolução (Erros de Arredondamento) Aritmética de ponto flutuante (Eemplos) Em uma máquina de calcular cujo sistema de representação tenha B=2, t=10, I=-15 e s=15, o número 25 na base decimal é: = = 0,11001 * 2 5 = 0, * = (1/2 + 1/ / / /2 5 ) * REPRESENTAÇÃO BINÁRIA EM PONTO FLUTUANTE SINAL DA MANTISSA SINAL DO EXPOENTE MANTISSA EXPOENTE

34 Erros na Resolução (Erros de Arredondamento) Aritmética de ponto flutuante (Eemplos) Em uma máquina de calcular cujo sistema de representação tenha B=2, t=10, I=-15 e s=15, o número -7,125 na base decimal é: -7, = -111,001 2 = -0, * 2 3 = -0, * 2 11 REPRESENTAÇÃO BINÁRIA EM PONTO FLUTUANTE SINAL DA MANTISSA SINAL DO EXPOENTE MANTISSA EXPOENTE

35 Erros na Resolução (Erros de Arredondamento) Aritmética de ponto flutuante (Eemplos) Em uma máquina de calcular cujo sistema de representação tenha B=2, t=10, I=-15 e s=15: Sendo assim, o menor valor seria: Enquanto que, o maior valor seria: REPRESENTAÇÃO BINÁRIA EM PONTO FLUTUANTE (MENOR VALOR) SINAL DA MANTISSA SINAL DO EXPOENTE MANTISSA EXPOENTE REPRESENTAÇÃO BINÁRIA EM PONTO FLUTUANTE (MAIOR VALOR) SINAL DA MANTISSA SINAL DO EXPOENTE MANTISSA EXPOENTE

36 Erros na Resolução (Erros de Arredondamento) Aritmética de ponto flutuante (Considerações) O número zero é representado com mantissa igual a zero e ep = -I. A representação do zero com mantissa nula e epoente qualquer para a base â pode acarretar perda de dígitos significativos no resultado da adição deste zero a um outro número. Por eemplo, Em uma máquina que opera na base 10 com 4 dígitos na mantissa, para = 0,0000 * 10 0 e y = 0,3134 * 10-2 o resultado de + y seria 0,3100 * 10-2, isto é são perdidos dois dígitos do valor eato de y. Isto se deve ao alinhamento dos pontos decimais para realização da soma X + Y = 0,0000 * , * 10 0 = 0, * 10 0 Assim, + y = 0,0031 * 10 0 = 0,3100 * 10-2 Generalização: (s-i+1) * (b-1) * (b t-1 )*2 + 1

37 Erros na Resolução (Erros de Arredondamento) Arredondamento e Truncamento Arredondamento: último algarismo é arredondado. Truncamento: último algarismo é desprezado E.: B=10, t=3, i=-4 e S=4. Normalizado Arredondado Truncado 1,25 0,125 * 10 0,125 * 10 0,125 * 10 10,053 0,10053 * ,101 * ,100 * ,15-0,23815 * ,238 * ,238 * , , * 10 0,272 * 10 0,271 * 10 0, ,7 * 10-5 Underflow (epoente < -4) ,82 0, * 10 6 Overflow (epoente > 4)

38 Acurácia Precisão Acurácia (ou Eatidão) Quão próimo um valor computado/mensurado se encontra do valor real (verdadeiro) Precisão (ou Reproducibilidade) Quão próimo um valor computado/ mensurado se encontra de valores previamente computados/mensurados 38

39 Acurácia Precisão Inacurácia (ou Ineatidão) Desvio sistemático do valor real Imprecisão (ou Incerteza) Magnitude do espalhamento dos valores 39

40 Precisão (Reproducibilidade) Acurácia Precisão Eatidão Precisão Eatidão (Acurácia) 40

41 Acurácia Precisão Indicador de Precisão de um Resultado Número de algarismos significativos Algarismos significativos (as) Algarismos que podem ser usados com confiança 41

42 Acurácia Precisão As de um número I Eemplo 02: Considerem-se os seguintes valores de médias obtidas em um eperimento estatístico = casas decimais (cd) = 138,7 1 cd = 138,76 2 cd = 138, cd = 138, cd = 138, cd 42

43 Acurácia Precisão As de um número II Eemplo 02: Os valores das médias podem ser representadas como: = 138 = 0, = 138,7 = 0, = 138,76 = 0, = 138,76875 = 0, = 138, = 0, = 138, = 0,

44 ERROS - EXISTÊNCIA XVIII AS DE UM NÚMERO III EXEMPLO 02: = 0,138 X AS = 0,1387 X AS = 0,13876 X AS = 0, X AS = 0, X AS = 0, X AS 44

45 Erros - Tipos I Absoluto Diferença entre o valor eato de um número e o seu valor aproimado (em módulo) EA ' 45

46 Erros - Tipos II Relativo Razão entre o erro absoluto e o valor eato do número considerado (em módulo) ER ' ' Erro Percentual = ER. 100% 46

47 Erros - Tipos III Relativo Este tipo de erro é utilizado em processos iterativos pois, sendo o processo convergente, a cada iteração o valor atual está mais próimo mais do valor eato do que o valor anterior ' valor anterior valor atual 47

48 ERROS - TIPOS IV ERRO ABSOLUTO - CONSIDERAÇÕES I EA X SÓ PODERÁ SER DETERMINADO SE X FOR CONHECIDO COM EXATIDÃO NA PRÁTICA, COSTUMA-SE TRABALHAR COM UM LIMITANTE SUPERIOR PARA O ERRO, AO INVÉS DO PRÓPRIO ERRO ( E < Ε, SENDO Ε É O LIMITANTE) EX. 08: PARA (3,14; 3,15) EA π = π - π <0,01 48

49 Erros Tipos V Erro Absoluto - Considerações II Eemplo: Sejam a = 3876,373 e b = 1,373, e precisam ser representados como inteiros Considerando-se a parte inteira de a (a ) o erro absoluto será: EA a a 0,373 e a parte inteira de b (b ), o erro absoluto será: a ' EA b b b ' 0,373 49

50 Erros Tipos VI Erro Absoluto - Considerações III Obviamente, o resultado do erro absoluto é o mesmo nos dois casos Entretanto, o peso da aproimação em b é maior do que em a 50

51 ERROS TIPOS VII ERRO RELATIVO - CONSIDERAÇÃO O ERRO RELATIVO PODE, ENTRETANTO, TRADUZIR PERFEITAMENTE ESTE FATO, POIS: 0,373 ERa 0, ER 0, b o,373 5X

52 Erros - Tipos VIII Eemplo: Cálculo do erro relativo na representação dos números a = 2112,9 e n = 5,3, sendo EA < 0,1 ER a = a a / a = 0,1/2112 4, ER n = n n / n = 0,1/5 0,02 Conclusão: a é representado com maior precisão do que n 52

53 Arredondamento Erros Tipos IX Truncamento de Dígitos Quanto menor for o erro, maior será a precisão do resultado da operação. 53

54 Arredondamento I Erros Tipos X Eemplo: Cálculo de digital 2 utilizando uma calculadora Valor apresentado: 1, Valor real: 1,

55 Arredondamento II Erros Tipos XI Ineistência de forma de representação de números irracionais com uma quantidade finita de algarismos Apresentação de uma aproimação do número pela calculadora Erro de arredondamento 55

56 Erros Tipos XII Truncamento de Dígitos Descarte dos dígitos finais de uma representação eata por limitações de representação em vírgula flutuante E. 11: Representação truncada de em vírgula flutuante com 7 dígitos Valor apresentado: 1, Valor real: 1,

57 Arredondamento e Truncamento I Erros de Truncamento e Arredondamento - Demonstração Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dígitos na base 10, e seja : = f.10 e + g.10 e-t (0,1 f 1 e 0,1 g 1) Para t = 4 e = 234,57, então: = 0, , f = 0,2345 g = 0,7 e - nº de dígitos inteiros t - nº de dígitos p/ máquina 57

58 Erros - Truncamento No truncamento, g.10 e-t é desprezado e ' f. 10 e EA visto que g <1 ER EA e t et ' g g.10 et et 10 t1 10 e et, e ' f.10 g.10 0,1.10 pois 0,1 é o menor valor possível para f 58

59 g 2 1 Erros Arredondamento I No arredondamento simétrico (forma mais utilizada): f f e e 10 et 1 2, se (g é desprezado) g, se (soma 1 ao último dígito de f ) 59

60 Erros - Arredondamento II Se g 1 2, então: EA 1 2 e t et ' g ER EA g.10 et et 0, t1. 10 e e ' f.10 0,

61 Erros Arredondamento III Se g 1 2, então: e EA EA et et et EA 1/2.10 1/2.10 1/ ER. 10 e et e e f f.10 0, e et e et f.10 g.10 f et et g et et g t1 61

62 Arredondamento e Truncamento I Erros de Truncamento e Arredondamento Sistema operando em ponto flutuante - Base 10 Erro de Truncamento EA 10 et Erro de Arredondamento e ER 10 t 1 1 EA 10 2 et e 1 ER 10 2 t 1 e - nº de dígitos inteiros t - nº de dígitos 62

63 Arredondamento e Truncamento II Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão dupla E. 12: Seja = 0, e y = 0, Calcular +y. Alinhamento dos pontos decimais antes da soma = 0, e y = 0, , +y = 0, Resultado com 4 dígitos Arredondamento: +y = 0, Truncamento: +y = 0,

64 ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO III SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE DE 4 DÍGITOS, PRECISÃO DUPLA EX. 12: SEJA X = 0, E Y = 0, CALCULAR X.Y. ALINHAMENTO DOS PONTOS DECIMAIS ANTES DA SOMA X.Y = (0, ).(0, ) X.Y = (0,937.0,1272).10 6 X.Y = 0, RESULTADO COM 4 DÍGITOS ARREDONDAMENTO: X.Y = 0, TRUNCAMENTO: X.Y = 0,

65 Arredondamento e Truncamento IV Considerações Ainda que as parcelas ou fatores de uma operação possam ser representados eatamente no sistema, não se pode esperar que o resultado armazenado seja eato. e y tinham representação eata, mas os resultados +y e.y tiveram representação aproimada. 65

66 Arredondamento e Truncamento V E. 13: Seja = 0, , y = 0, e z = 0, ¹. Efetuar a operação + y + z e calcular o erro relativo do resultado, supondo, y e z eatamente representados. +y+z = 0, , , ¹ = 0, , , = 0, Resultado com 4 dígitos Arredondamento: +y+z = 0, Truncamento: +y+z = 0,

67 Arredondamento e Truncamento VI Erro relativo (no arredondamento): ER y z EA y z 4 0, , , ,

68 Arredondamento e Truncamento VII Sistemas de Vírgula Flutuante (VF ) Um sistema VF(b, p, q) é constituído por todos os números reais X da forma: b -1 X m mb t, em que 1- b -p e ainda X = 0 68

69 Arredondamento e Truncamento VIII Sistemas de Vírgula Flutuante (VF ) Portanto, X (.d -1 d -2 d -3...d - p )b ( t q-1...t 1 t 0 ) na qual p um número finito de dígitos para a mantissa; q um número finito de dígitos para o epoente; b é a base do sistema. 69

70 ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO IX SISTEMAS DE VÍRGULA FLUTUANTE (VF ) CONSIDERA-SE QUE A MANTISSA É NORMALIZADA, I.E., D 0, EXCETO A REPRESENTAÇÃO DO ZERO. REPRESENTAM-SE NA FORMA VF(B, P, Q, Y), ONDE Y DETERMINA QUAL MÉTODO O SISTEMA ADOTA: CASO Y = A ARREDONDAMENTO; CASO Y = T TRUNCAMENTO DE DÍGITOS. 70

71 ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO X SISTEMAS DE VÍRGULA FLUTUANTE (VF ) UNIDADE DE ARREDONDAMENTO (U): MAJORANTE DO ERRO RELATIVO NA REPRESENTAÇÃO DE UM NÚMERO NUM DADO SISTEMA VF(B, P, Q), TAL QUE: 1- p EM VF(B, P, Q, A) 1 u b 2 1- p u b EM VF(B, P, Q, T), 71

72 ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO XI EX. 14: DETERMINE AS RAÍZES DA EQUAÇÃO X 2 + 0,7341X + 0, = 0 NO SISTEMA VF(10, 4, 2, T), CONSIDERANDO QUE NÃO EXISTEM DÍGITOS DE GUARDA NO PROCESSAMENTO DAS OPERAÇÕES EM PONTO FLUTUANTE. A) A PARTIR DA EXPRESSÃO UTILIZADA NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS, CALCULE O ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS (EA X1, EA X2, ER X1 E ER X2 ). 72

73 ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO XII B) JUSTIFIQUE A ORIGEM DO ERRO RELATIVO OBTIDO NA MENOR RAIZ (EM MÓDULO), SUGERINDO UMA FORMA DE MELHORIA NUMÉRICA PARA A RESOLUÇÃO DE TAL PROBLEMA. SOLUÇÃO: A) 1,2 - b b 2a 2-4ac fl(b) 0, fl(b 2 ) (0,7341.0,7341)( ) 0, fl(b 2 ) 0,

74 ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO XIII SOLUÇÃO: A) fl(c) (0.6000)10 fl( 4) fl(2) = (0.2000) fl(4c) = (0,4000.0, 6000)(10 fl(b fl( - fl(b (b ( )10 fl(4c) = o, c) = 0, c ) = (0, c) = 0, ) , (0,5389-0, ).10 ) = 0 = = 0,

75 ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO XIV SOLUÇÃO: A) PRIMEIRA RAIZ: fl(-b fl( fl( 1 1 ) ) b 2 fl 4c ) - b b 2-0, , c 0 0, , ,

76 ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO XV SOLUÇÃO: A) SEGUNDA RAIZ: fl(-b fl( fl( 1 1 b 2 4c ) - b b ) fl 2 ) -0, , c , , , O cancelamento subtrativo (ou catastrófico) ocorre quando se subtraem números muito próimos em sistemas de vírgula flutuante. 76

77 ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO XVI SOLUÇÃO: A) PARA CALCULAR OS ERROS COMETIDOS EM FP, É NECESSÁRIO CONHECER OS VALORES EXATOS DAS RAÍZES. CONSIDERANDO UM DÍGITO A MAIS DO QUE REPRESENTAÇÃO DA MANTISSA NO SISTEMA, I.E., 5 DÍGITOS, OBTÉM-SE: A E , ,

78 ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO XVII EA 1 SOLUÇÃO: A) ASSIM SENDO, OS ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS SERÃO: , (-0, ) 0, EA 1-0, (-0, ) 0, ER 1 EA 1 1 0, , , ER 1 % 0,003% ER 1 % 0,0% ER 2 EA 2 2 0, , , ER 2 % 22,3% 78

79 Arredondamento e Truncamento XVIII Solução: a) Constatação: Apesar dos erros absolutos serem praticamente iguais, a segunda raiz apresenta um erro relativo quatro ordens de grandeza maior do que o erro relativo cometido no cálculo da primeira raiz. b) O problema do erro relativo cometido no cálculo da segunda raiz deve-se ao cancelamento subtrativo, verificado quando números muito próimos se subtraem em aritmética de vírgula flutuante. 79

80 ERROS PROPAGAÇÃO I PROPAGAÇÃO DOS ERROS DURANTE AS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS DE UM MÉTODO, OS ERROS DOS OPERANDOS PRODUZEM UM ERRO NO RESULTADO DA OPERAÇÃO PROPAGAÇÃO AO LONGO DO PROCESSO DETERMINAÇÃO DO ERRO NO RESULTADO FINAL OBTIDO 80

81 ERROS PROPAGAÇÃO II EX. 14: SEJAM AS OPERAÇÕES A SEGUIR, PROCESSADAS EM UMA MÁQUINA COM 4 DÍGITOS SIGNIFICATIVOS E FAZENDO-SE: A = 0, E B = 0, (B+A) A=(0, , ) 0, =0, , = 0, B+(A A)=0, (0, , )=0,2345+0,0000 = 0,

82 ERROS PROPAGAÇÃO III OS DOIS RESULTADOS SÃO DIFERENTES, QUANDO NÃO DEVERIAM SER. (B + A) A = 0,0000 E B + (A A) = 0,2345 CAUSA ARREDONDAMENTO DA ADIÇÃO (B + A), A QUAL TEM 8 DÍGITOS CANCELAMENTO SUBTRATIVO DE (B + A) A DEVIDO À REPRESENTAÇÃO DE MÁQUINA COM 4 DÍGITOS A distributividade é uma propriedade da adição

83 ERROS PROPAGAÇÃO IV RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE UM PROBLEMA IMPORTÂNCIA DO CONHECIMENTO DOS EFEITOS DA PROPAGAÇÃO DE ERROS DETERMINAÇÃO DO ERRO FINAL DE UMA OPERAÇÃO CONHECIMENTO DA SENSIBILIDADE DE UM DETERMINADO PROBLEMA OU MÉTODO NUMÉRICO 83

84 ERROS PROPAGAÇÃO V EX. 15: DADOS A = 50 ± 3 E B = 21 ± 1, CALCULAR A + B. VARIAÇÃO DE A 47 A 53 VARIAÇÃO DE B 20 A 22 MENOR VALOR DA SOMA = 67 MAIOR VALOR DA SOMA = 75 A + B = ( ) ± 4 = 71 ± 4 67 A 75 84

85 ERROS PROPAGAÇÃO VI EX. 16: DADOS A = 50 ± 3 E B = 21 ± 1, CALCULAR A - B. VARIAÇÃO DE A 47 A 53 VARIAÇÃO DE B 20 A 22 MENOR VALOR DA DIFERENÇA = 25 MAIOR VALOR DA DIFERENÇA = 33 A B = (50 21) ± 4 = 29 ± 4 25 A 33 Na subtração, os erros absolutos se somam, pois sempre se admite o pior caso

86 ERROS PROPAGAÇÃO VII EX. 17: DADOS A = 50 ± 3 E B = 21 ± 1, CALCULAR A.B. VARIAÇÃO DE A 47 A 53 VARIAÇÃO DE B 20 A 22 MENOR VALOR DO PRODUTO = 940 MAIOR VALOR DA PRODUTO = 1166 A. B = (50 ± 3) X (21 ± 1) 1050 ± ( ) 1050 ± A

87 ERROS PROPAGAÇÃO VII EX. 18: DADOS A = 50 ± 3 E B = 21 ± 1, CALCULAR A.B. CONSIDERAÇÕES DESPREZA-SE O PRODUTO 3.1, POR SER MUITO PEQUENO DIANTE DE ( ) = 113 LIGEIRAMENTE DIFERENTE DO VERDADEIRO INTERVALO, POR CONTA DA DESCONSIDERAÇÃO DO PRODUTO 3.1, ASSUMIDO COMO DESPREZÍVEL 87

88 ERROS PROPAGAÇÃO X ANÁLISE DOS ERROS ABSOLUTO E RELATIVO EXPRESSÕES PARA O DETERMINAÇÃO DOS ERROS NAS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS ERROS PRESENTES NA REPRESENTAÇÃO DAS PARCELAS OU FATORES, ASSIM COMO NO RESULTADO DA OPERAÇÃO SUPONDO UM ERRO FINAL ARREDONDADO, SENDO X E Y, TAIS QUE: EA e y y EAy 88 88

89 ERROS PROPAGAÇÃO XI ADIÇÃO ERRO ABSOLUTO y ( EA ) (y EA ( y ) (EA EA y y ) ) ERRO RELATIVO ER y EA y y ER y ER y y y 89

90 ERROS PROPAGAÇÃO XII SUBTRAÇÃO ERRO ABSOLUTO y ( EA ) (y EA ( y ) (EA EA y y ) ) ERRO RELATIVO ER y EA y y ER y ER y y y 90

91 ERROS PROPAGAÇÃO XIII MULTIPLICAÇÃO ERRO ABSOLUTO.y EA. y EA.y y.ea EA EA.EA y y y.y EA. y EAy.y y.ea EAy muito pequeno ERRO RELATIVO ER.y ER ER y 91

92 ERROS PROPAGAÇÃO XIII DIVISÃO y y ERRO ABSOLUTO y y EA EA EA y. 1 1 EA y y Simplificação: 1... y EA y EAy 2 y y.ea y 2 1 EA 1 EA y y EA y y EA y EA y (desprezam-se os termos de potência >1) y y 2 y 3 ERRO RELATIVO ER /y ER ER y 92

93 ERROS ANÁLISE I EX. 19: CÁLCULO DE ER(X+Y) ER ER y y EA y RA y RA EA =EA y = 0, EA +y =0 ER 1 2 t 1 y RA 10 Como e y são eatamente representados, ER +y se resume ao Erro Relativo de Arredondamento (RA) no resultado da soma. 93

94 ERROS ANÁLISE II SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE DE 4 DÍGITOS, PRECISÃO DUPLA I EX. 20: SEJA X = 0, , Y = 0, E Z = 0, , CALCULAR X+Y+Z E ER(X+Y+Z), SABENDO QUE X, Y E Z ESTÃO EXATAMENTE REPRESENTADOS. SOLUÇÃO: ALINHANDO AS VÍRGULAS DECIMAIS: X = 0, Y = 0, E Z = 0,

95 ERROS ANÁLISE III EX. 20: SEJA X = 0, , Y = 0, E Z = 0, , CALCULAR X+Y+Z E ER (X+Y+Z), SABENDO QUE X, Y E Z ESTÃO EXATAMENTE REPRESENTADOS. SOLUÇÃO: A SOMA É FEITA POR PARTES: (X+Y)+Z X+Y = 0, X+Y+Z = 0, , X+Y+Z = 0, X+Y+Z = 0, (APÓS O ARREDONDAMENTO) 95

96 96 96 ERROS ANÁLISE IV SOLUÇÃO: EA z =0, ER z =0 1 t z y z y y ER 1 z y y RA RA z y y RA ER RA z y y ER ER RA z y EA ER z y y ER ER s z y s z y z z s z y

97 ERROS ANÁLISE V SOLUÇÃO: ER ER ER y y z 1 2 t1 yz , , yz yz 0,

98 ERROS ANÁLISE VI EX. 21: SUPONDO QUE U É REPRESENTADO EM UM COMPUTADOR POR Ū, QUE É OBTIDO POR ARREDONDAMENTO. OBTER OS LIMITES SUPERIORES PARA OS ERROS RELATIVOS DE V = 2. Ū E W = Ū + Ū. 98

99 ERROS ANÁLISE VII EX. 21: SOLUÇÃO: v 2.u ER ER 2.u 2.u ER2 ER u t 1 RA RA RA 2. RA ER v 10 t1 99

100 ERROS ANÁLISE VIII EX. 21: SOLUÇÃO: ER w ER u w ER u u u u u ER u u u u u ER w 2.RA RA 2.RA u u 1 t 1 ERw 2. RA t 1 t1 w ERv 10 RA 100

101 ERROS SUMÁRIO I 1. Erro Relativo da Adição Soma dos erros relativos de cada parcela, ponderados pela participação de cada parcela no total da soma. 2. Erro Relativo da Subtração Soma dos erros relativos do minuendo e do subtraendo, ponderados pela participação de cada parcela no resultado da subtração. 101

102 ERROS SUMÁRIO II 3. Erro Relativo da Multiplicação Soma dos erros relativos dos fatores. 4. Erro Relativo da Divisão Soma dos erros relativos do dividendo e do divisor. 102

103 Erros na Resolução (Precisão) Avaliar a precisão de um dado sistema: 1/b t A) â=2, t=10 1/2 10 = 1/1024 1/1000 = 1/10 3 = 10-3 B) a=2, t=24 1/2 24 = 1/ / = 1/10 7 = 10-7

104 Variações de Erro Erro Absoluto Erro abs = valor real valor representado Erro Relativo Erro rel = Erro abs / valor real Erro Percentual Erro per = erro rel * 100

105 Referências Ruggiero, M. A. G.; Lopes, V. L. R., Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. Editora Makron Books, Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de Erros, Notas de aula, SE/DM/IST [Online] [acessado em 08/09/2011]. Disponível em: Queiroz, B. C. N. & Queiroz, J. E. R. & Barros, M. A. Cálculo Numérico: Módulo III Erros, Notas de aula, DSC/CEEI/UFCG [Online] [acessado em 04/03/2012]. Disponível em: