Sistemas de Numeração (Aula Extra)

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1 Sistemas de Numeração (Aula Extra) Sistemas de diferentes bases Álgebra Booleana Roberta Lima Gomes - LPRM/DI/UFES Sistemas de Programação I Eng. Elétrica 27/2

2 Sistemas de Numeração Um sistema de numeração é formado por um conjunto de símbolos (alfabeto) que é utilizado para representar quantidades e por regras que definem a forma de representação. É definido por sua base, a qual define o número de algarismos (ou dígitos) utilizados para representar números. Base: b Conjunto de dígitos: d = {,, 2,..., b-2, b-} Notação posicional: A posição é que dá importância ou peso ao dígito. Os pesos são todos potências de uma dada base O dígito mais significativo é o que está mais à esquerda (MSB) O dígito menos significativo é o que está mais à direita (LSB) d m b m + d m- b m d b + d b 2

3 Exemplos de Sistemas de Numeração () Sistema decimal b = d = {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, 2, 3, x 3 + 8x 2 + 4x + 2x Sistema Binário b = 2 d = {, },,,,,,,,... Computadores usam o sistema binário x2 3 + x2 2 + x2 + x2 3

4 Exemplos de Sistemas de Numeração (2) Base Octal b = 8 d = {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7},, 2, 3, 4, 5, 6, 7,,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, x x8 2 + x8 + x8 Base Hexadecimal b = 6 d = {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F},,... 8, 9, A, B, C, D, E, F,,... 8, 9, A, B,... FA 5x6 3 + x6 2 + x6 + x6 4

5 Conversão da base B para a base Decimal A conversão de um número na base B para a base decimal é feita através da multiplicação dos (valores decimais dos) dígitos que constituem o número por potências adequadas de B Binário ( 2 ) Octal 45 (45 8 ) Hexadecimal FA (FA 6 ) 5

6 Conversão da base B para a base Decimal A conversão de um número na base B para a base decimal é feita através da multiplicação dos (valores decimais dos) dígitos que constituem o número por potências adequadas de B Binário ( 2 ) x2 3 + x2 2 + x2 + x2 = Octal 45 (45 8 ) 4x x8 2 + x8 + x8 = 269 Hexadecimal FA (FA 6 ) 5x6 3 + x6 2 + x6 + x6 =

7 Exercícios converter binário para decimal a. () 2 ( ) b. () 2 ( ) c. () 2 ( ) d. () 2 ( ) e. () 2 ( ) f. () 2 ( ) g. () 2 ( ) h. () 2 ( ) i. () 2 ( ) 7

8 Exercícios converter binário para decimal a. () 2 ( 87 ) b. () 2 ( 255 ) c. () 2 ( 73 ) d. () 2 ( 33 ) e. () 2 ( 5 ) f. () 2 ( 56 ) g. () 2 ( 455 ) h. () 2 ( 89 ) i. () 2 ( 36 ) 8

9 Conversão de Decimal para Binário Divisões sucessivas 26 = 97 = 9

10 Conversão de Decimal para Binário Divisões sucessivas 26 = 2 97 = 2

11 Conversões para Octal e Hexadecimal As bases que são potências de 2 são facilmente convertidas em binário e vice-versa Octal dígito octal = 3 dígitos binários Hexadecimal dígito hexa = 4 dígitos binários 2D3 6 = 2 = Vantagens do Hexadecimal Usam menos dígitos para representar um dado número São mais facilmente entendidas por humanos

12 Exercícios Converter os seguintes números para a base A 6, 2 6, 8 Converter os seguintes números 3 para binário 499 para hexadecimal 65 para octal Observação: Os número sem indicação de base, salvo indicação ao contrário, são decimais. 2

13 Aritmética Binária () Basicamente as mesmas regras que a aritmética decimal! Somam-se os números dígito a dígito De um dígito para o seguinte (mais significativo), pode ir um, ou seja pode haver CARRY mais são dois ( ou seja 2 ) Exemplos: o o Tabela da adição binária Soma Carry 3

14 Aritmética Binária (2) 3 x 5 65 Multiplicação por potências de 2 realiza-se efetuando shift à esquerda Multiplicar 2 = por 8 (2 3 ). É necessário fazer o shift à esquerda 3 vezes: 2 = 8 4

15 Aritmética Binária (3) A subtração binária é realizada exatamente como subtração decimal ou vem 5

16 Aritmética Binária (4) Divisão Por potência de 2 : shift p/ direita Ou Dividir 2 por 2 => 2 6

17 Representações com número fixo de dígitos () Numa máquina, o número de dígitos é FINITO Não posso usar todos os dígitos que quiser Há um número MÁXIMO que se pode representar: Conseqüência: Os números não são representados por uma reta, mas sim por uma circunferência! 7

18 Representações com número fixo de dígitos (2) Erro de overflow: Ocorre sempre que o resultado de uma operação é muito grande para ser representado no hardware disponível Exemplo (8 bits, inteiros positivos) Erro de underflow: Ocorre sempre que o resultado de uma operação é muito pequeno para ser representado no hardware disponível Exemplo (3 bits inteiros positivos): num. de a = - 3 => NEGATIVO

19 Representação de Números Negativos Problema: Como indicar que um número é negativo, sem usar o símbolo - (usando apenas e ) Solução: usar uma das posições para representar o sinal Sinal e módulo O bit mais significativo representa o sinal, e os restantes a magnitude Sinal = => Positivo (representação normal) Sinal = => Negativo Exemplos: 9

20 Complemento de 2 () Idéia base Facilitar somas e subtrações Para se chegar à representação negativa de um número em complemento de 2, deve-se realizar 2 etapas:. Inverter todos os bits (inclusive o de sinal) 2. Somar Exemplo: (6 ) -> -> (-6 ) Conversão mais simples... Inverter todos os dígitos a partir do primeiro (da dir. p/ esq.) Exemplo: - > 2

21 Complemento de 2 (2) VANTAGEM: Apenas uma representação para Conseqüência: quantidade de números positivos diferente da quantidade de números negativos Exemplo (4 bits) -8, -7,..., -,,,..., 7 2

22 Complemento de 2 (2) Outra vantagem: Adição (-25) + (-27) + 99 (-28) 22

23 Ponto Flutuante () Formato de representação digital de números reais O número é dividido numa mantissa (M) e um expoente (E). M 2 E //criada por Konrad Zuse Em geral, a base da potência é 2 Três partes: Sinal Expoente Mantissa Exemplo: (, x ) 2 Expoente: Mantissa:, 23

24 Ponto Flutuante (2) A mantissa é um número binário fracionário O valor de uma casa é metade do valor da casa vizinha à esquerda Esquematicamente 24

25 Ponto Flutuante (3) 25

26 Ponto Flutuante (2) Normalização da Mantissa O separador deve ficar imediatamente após o primeiro algarismo significativo 26

27 Ponto Flutuante A Norma IEEE754 define os formatos para representar pontos flutuante O expoente no Padrão IEEE é deslocado de +27 unidades 27

28 Álgebra de Boole - Introdução e Histórico () Álgebra de Boole ou Booleana Uma das ferramentas mais importantes para a eletrônica Criada por um matemático britânico, George Boole (85-864) Propósito de representar e validar argumentos lógicos e filosóficos usando base matemática. Usa proposições que têm sentido negativo ou positivo P: Chove lá fora? R: Está chovendo lá fora P: Você tem um guarda-chuva? R: Não tenho guarda-chuva É uma álgebra com operações construídas somente sobre dois valores representando verdadeiro(v) e falso(f). 28

29 Álgebra de Boole - Principais Operações () Conjunção, ou regra E, ou AND Necessita que todas as proposições básicas sejam válidas, para que a geral seja válida Disjunção, ou regra OU, ou OR Para que a geral seja válida, basta que uma das proposições básicas seja verdadeira Exemplo: Se você ou Maria quiserem sorvete, eu comprarei. P: Você quer sorvete? R:Não. P2: Maria quer sorvete? R2:Sim RG: Então eu comprarei. Negação, ou regra NÃO, ou NOT 29

30 Álgebra de Boole - Principais Operações (2) AND OR NOT A S = A B S = A + B B S A B S A S = A S Tabela verdade Representa o funcionamento dos operadores lógicos. Mostra os resultados das operações sobre todas as combinações de valores dos operandos. 3

31 Álgebra de Boole - Principais Operações (3) A NAND NOR XOR S = A B S = A+ B S = A+ B B S A B S A B S 3

32 Referências Andrew S. Tanenbaum, Organização Estruturada de Computadores, 5ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 27. Apêndices A e B KNUTH, DONALD E. The Art Of Computing Programming. V.2, 32