ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES MÓDULO 12

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1 ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES MÓDULO 12

2 Índice 1. Circuitos Digitais Sistemas de Numeração Tema de Números-Base

3 1. CIRCUITOS DIGITAIS 1.1. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO O que quer dizer 14? Sabemos, por força de educação e hábito, que os algarismos 1 e 4 colocados desta forma representam a quantidade catorze. Não precisamos de nenhuma ferramenta para chegar a essa conclusão. Mas isso só é verdade se estivermos utilizando o sistema decimal, de base dez. Os algarismos 14 poderiam representar as quantidade 20 ou 12, dependendo da base que estiver sendo usada, assim como os caracteres XIV também representam a quantidade catorze, se estivermos utilizando algarismos romanos. O sistema decimal é utilizado hoje de forma padronizada no dia a dia, seja no comércio ou em transações bancárias. Não há necessidade de esclarecer se o valor está expresso na base decimal ou não. Mas nem sempre foi assim. Diversos povos criaram diversas formas de representar quantidades, e algumas sobrevivem até hoje em nosso cotidiano. Por exemplo, por que estamos acostumados a comprar certas mercadorias em dúzias? Ou por que um minuto tem sessenta segundos e uma hora tem sessenta minutos? Talvez estes sejam fósseis culturais de sistemas que utilizavam a base doze ou a base sessenta, em vez da base dez. Figura 29. Uma mesma quantidade pode ser representada de formas diferentes Existem indícios do uso no passado de várias outras bases e sistemas numéricos, além desses, como a base vinte, que ainda pode ser encontrada em certas expressões do idioma francês, como quatre vingt (quatro vezes vinte) para expressar a quantidade oitenta. Um sistema numérico conhecido que ainda é usado é o sistema romano. Ele usa os caracteres I, V, X, L, C, D e M para formar valores numéricos e é totalmente diferente (e muito mais complexo) do sistema decimal, principalmente por não ter o conceito de posição que existe em sistemas de números-base, como o decimal. 3

4 Para representar a quantidade 419 no sistema romano, usa-se a representação CDXIX. Não é nosso objetivo aqui explicar o funcionamento do sistema romano, mas, apenas para descrever este exemplo, o funcionamento é o seguinte: 500 menos 100 (CD) mais 10 (X) mais 9, ou 10 menos 1 (IX) TEMA DE NÚMEROS-BASE O sistema decimal é baseado no conceito de aritmética de posição. Isso quer dizer que cada casa de um valor expresso no sistema decimal corresponde a uma potência da base. Como funciona? Partindo da direita para a esquerda, a primeira casa representa a base elevada à potência 0, a segunda casa representa a casa elevada à potência 1, a terceira representa a casa elevada à segunda potência, e assim por diante. Ao representar um valor como 419, podemos traduzi-lo rapidamente para quatro centenas, uma dezena e nove unidades. Figura 30. A forma de um número decimal O sistema decimal é o mais comum, mas usamos outras bases. Dentro da computação, às vezes é necessário usar as bases 2, 8 ou 16. Esses sistemas são chamados de binário (base 2), octal (base 8) e hexadecimal (base 1 6). Para representar quantidades nesses sistemas usamos algarismos organizados da seguinte forma: um sistema numérico de base k requer k símbolos diferentes para representar os dígitos 0 a k -1. Seguindo esse raciocínio, os números do sistema decimal são formados a partir de dez dígitos: O sistema binário usa a base 2 e os seus números são construídos a partir de apenas dois dígitos: 0 1 Os números octais usam a base 8 e utilizam oito dígitos para formar seus números: O sistema hexadecimal usa a base 16 e precisa de dezesseis algarismos para representar quantidades. Dessa forma, são necessários outros símbolos, além dos números de 0 a 9. Por convenção, usam-se as letras de A a F para representar esses valores. Assim, os números hexadecimais utilizam os seguintes caracteres para expressar quantidades: 4

5 A B C D E F Nos quatro sistemas (binário, octal, decimal e hexadecimal) o funcionamento é o mesmo, variando apenas a base usada. A casa mais à direita corresponde à casa de potência 0 (2 0, 80, 100 e 16 0 ), a casa seguinte à esquerda corresponde à casa de potência 1 (2 1, 81, 101 e 16 1 ) e assim por diante, sempre adicionando uma unidade ao expoente da base à medida que se vai da direita para a esquerda. Pode parecer complexo a princípio, mas todos os sistemas funcionam de forma análoga ao sistema decimal, que utilizamos no dia a dia. Basta substituir os conceitos de unidade, dezena e centena por 10 0, 101 e 102 e a compreensão das outras bases fica muito mais simples. Segue abaixo a representação de uma mesma quantidade (419) nas bases 2, 8, 10 e 16. Figura 31. A quantidade 419 expressa em binário, octal, decimal e hexadecimal. Se executarmos as somas apontadas, veremos que todas as representações se referem ao mesmo valor, a única diferença é a base. Na tabela abaixo temos as representações em binário, octal e hexadecimal para os valores decimais de 0 a 32. 5

6 Tabela 3. Correspondência entre bases 6