INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO SUL CAMPUS CAXIAS DO SUL

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1 INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO SUL CAMPUS CAXIAS DO SUL CONVERSÃO ENTRE BASES NUMÉRICAS Disciplina: História da Matemática Professor: Rodrigo Sychocki da Silva Estudantes: Camila Gasparin Magnaguagno, Maurício Fabiano Freitas da Silva, Odete Marli Rasia Bueno Caxias do Sul, 07 de dezembro de 2015

2 1. APRESENTAÇÃO E JUSTIFICATIVA: Optamos por fazer nosso trabalho sobre Transformações entre bases numéricas por considerarmos a bagagem histórica presente neste assunto muito interessante e curiosa. A proposta do trabalho é explorar a história e aplicações deste tema, bem como ajudar nas resoluções de problemas que envolvam Conversões de Bases Numéricas no Ensino na Licenciatura de Matemática. Ao mostrar que as representações matemáticas, bem como todos os feitos ao longo do tempo foram frutos de aprimoramentos e convenções humanas, sempre ligadas ao cotidiano em que se fizeram presentes, transmitimos aos alunos a ideia de que a Matemática é uma ciência que evolui a partir de ações humanas. Uma abordagem deste gênero, no estudo de Conversões de Bases Numéricas, poderá ajudar o professor a realizar um trabalho contextualizado e fazer com que os alunos tenham motivação e menos dificuldades no aprendizado do assunto citado. 2. OBJETIVOS GERAIS COM A PROPOSTA: O presente trabalho tem como objetivo apresentar uma proposta de ensino contextualizado que servirá como ferramenta no auxílio dos estudos da conversão de bases numéricas. O docente, através dos conceitos e da proposta apresentada neste trabalho, irá aproveitar o cotidiano do aluno e o contexto histórico em que a Matemática se desenvolveu para a construção das resoluções de problemas de conversões de bases numéricas. 3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Ao término do semestre, espera-se que os alunos saibam fazer as conversões entre as bases sem grandes dificuldades;

3 Proporcionar aos alunos ferramentas para melhor compreensão e entendimento do conteúdo, Conversões de Bases Numéricas. Proporcionar a interação das atividades de conversão de bases. 4. METODOLOGIA DO TRABALHO: Aulas expositivas com fundamentações teóricas: serão desenvolvidas em sala de aula e com emprego de meios audiovisuais. Aulas práticas com a utilização de calculadoras científicas para o desenvolvimento de exercícios baseados nos métodos estudados. Aplicação de situações-problema que terão como fonte o uso do computador, enfocando a instrumentalização para o ensino. 5. PROPOSTA DE TRABALHO Conversão Entre Bases Numéricas Inicialmente, será feita a apresentação do conteúdo pelos professores no quadro. Em seguida, serão entregues as propostas de atividades aos alunos, que eles devem tentar resolver apenas com o auxílio da calculadora. Em seguida, será apresentado aos alunos Calculadoras online de Matemática - Conversor de Base ( ), onde eles poderão conferir se fizeram a conversão de maneira correta. Bases Numéricas A Matemática, como uma construção humana, foi se desenvolvendo de acordo com as necessidades do homem, servindo a seu favor, como na contabilidade, na marcação do tempo, entre outros. Antigamente, as contagens não eram feitas das formas como conhecemos, com símbolos e letras. Para contagens de animais, por exemplo, faziam-se nós em cordas ou marcações simples na parede representando os objetos. Se os nós ou marcações aumentassem, os animais teriam aumentado, se diminuíssem, também o teriam feito os animais.

4 Ao longo do tempo, diversos povos foram criando símbolos para representar os números, como os egípcios, os sumérios e babilônios, os indoarábicos, e os que conhecemos, romanos. Um Sistema de Numeração é uma forma de representar quantidades através de símbolos e letras, sendo estes chamados de numerais. Segundo Nascimento (2010, p.2): Sistema de Numeração pode ser definido, de maneira menos rigorosa, como a maneira de se utilizar um mínimo de palavras e de símbolos para representar as quantidades. Os símbolos ou combinações de símbolos usados chamam-se Numerais. Os numerais são, portanto, meras representações de idéias de quantidades, que são os números. Na atualidade, utilizamos o sistema de numeração de base 10, afinal a primeira máquina de calcular do homem primitivo eram os dedos das mãos. A importância deste sistema está em adotar o princípio do valor posicional, e possui o símbolo 0 para indicar as ordens vazias. Nos sistemas posicionais o valor ou o peso de cada algarismo depende do lugar que ele ocupa na escrita numérica. Já os sistemas não posicionais indicam aquelas representações nos quais a posição recíproca dos constituintes não é relevante. SOUZA (2013, p.15) Com relação à posição, temos da direita para a esquerda os numerais representando unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar... Generalizando, num sistema de numeração posicional qualquer, um número N é expresso da seguinte forma: N = d n-1 x b n-1 + d n-2 x b n d 1 x b¹ + d 0 + b 0 - d indica cada algarismo do numero; - n-1, n-2, n-3, 1, 0 indicam a posição (ordem) de cada algarismo; - b indica a base de numeração; - n indica o número de dígitos (ordens).

5 Ao longo do tempo, outras bases foram utilizadas, como 2, 3 e 4. Segundo Eves (1995, p.33) há nativos de Queensland que contam um, dois, dois e um, dois e dois, muito. A base 2, ou binária, ainda é muito utilizada na programação. Associado à quantidade de dedos nas mãos, o sistema de numeração de base 5 foi o primeiro a ser usado em alta escala, havendo alguns lugares que ainda contam com as mãos, fazendo associações como mão e um para representar o número 6. Ainda segundo Eves (1995, p.33): Ainda no início do século XIX se encontravam calendários de camponeses germânicos baseados no sistema quinário. O 12 também pode ter sido usado como base, principalmente em relação a medidas, provavelmente por sua associação ao número de lunações de um ano, ou, talvez, pelo fato de seus diversos divisores. Vemos ainda hoje o uso desta base no número de horas e de meses em um ano. O sistema de base 20 (vigesimal), associa-se à época em que o homem andava descalço, tendo sido usado por índios americanos e pela numeração maia. As palavras número francesas quatre-vingt (oitenta) em vez de huitante e quatrevingt-dix (noventa) em vez de nonante são traços da base 20 dos celtas. Eves (1995, p.33). Vemos ainda hoje reflexos do sistema sexagesimal, usado pelos babilônios, na medida do tempo e de ângulos em minutos e segundos. Observações Importantes: - O número de algarismos diferentes em uma base é igual à própria base. - Em uma base b e utilizando n ordens temos b n números diferentes. Conversão de Bases A tabela a seguir mostra a equivalência entre as bases decimal, binária, octal e hexadecimal: DECIMAL BINÁRIO HEXADECIMAL OCTAL

6 A B C D E F 17 Conversão de Decimal para Binário Para encontrar o número binário correspondente a um número decimal, são realizadas sucessivas divisões do número decimal por 2. Em seguida, o resto da divisão de cada operação é coletado de forma invertida, da última para a primeira operação de divisão, como na figura, onde foi obtido o número binário correspondente ao número decimal 25:

7 Na figura acima vemos que o número decimal foi dividido sucessivamente por 2 e os resultados foram coletados da última para a primeira divisão, formando o número binário. Conversão de Binário para Decimal: Como vimos na lição anterior, para descobrir o número decimal correspondente a um número binário, basta calcular a soma de cada um dos dígitos do número binário multiplicado por 2 (que é a sua base) elevado à posição colunar do número, que, da direita para a esquerda começa em 0. Vejamos uma conversão do número binário que obtivemos na conversão acima: Conversão de Decimal para Hexadecimal A conversão de números decimais para hexadecimais é idêntica à conversão de decimal para binário, exceto que a divisão deve ser realizada por 16, que é a base dos hexadecimais. Quando tiver dúvida sobre o valor em hexadecimal de algum resto, verifique na tabela da lição anterior.

8 Conversão de Hexadecimal em Decimal A conversão de números hexadecimais em decimais é realizada através da soma dos dígitos hexadecimais multiplicados pela base 16 elevada à posição colunar contando da direita para a esquerda, começando em 0, de forma semelhante à conversão de binários em decimais: Note que os caracteres que definem os dígitos hexadecimais A, B e C foram substituídos pelos valores equivalentes em decimais 10, 11 e 12 de acordo com a tabela da lição anterior para a realização do cálculo. Conversão de Decimal em Octal Assim como nas conversões anteriores, divide-se o decimal pela base para a qual se quer obter o número, no caso, 8: Vimos que foram coletados os restos de cada divisão da última para a primeira para formar o número octal. Conversão de Octal em Decimal

9 A conversão de números octais em decimais é obtida através da soma dos dígitos do número octal multiplicados pela base 8 elevada à posição colunar do dígito, começando em 0 da direita para a esquerda: Conversão de Binário em Hexadecimal Para converter um número binário em hexadecimal, separa-se o número binário em grupos de 4 bits, da direita para a esquerda. Em seguida, transformase cada grupo de 4 bits em hexadecimal. Ao final, simplesmente une-se os resultados em um só: Caso o número de dígitos do número binário não seja múltiplo de 4, completa-se os dígitos à esquerda com zeros (0):

10 Conversão de Binário em Octal Para converter números binários em octais, separa-se os dígitos do número binário em grupos de 3 bits da direita para a esquerda. Em seguida transforma-se cada grupo individual de 3 bits em octal. Ao final, une-se os resultados: Caso o número de dígitos do número binário não seja múltiplo de 3, completa-se os dígitos à esquerda com zeros (0):

11 Conversão de Hexadecimal em Binário Para converter números hexadecimais em binários, decompõem-se o número hexadecimal diretamente em binários de 4 dígitos. Os zeros mais à esquerda do resultado binário podem ser omitidos: Conversão de Octal em Binário Para converter números octais em binários, decompõem-se o número octal diretamente em binários de 3 dígitos. Os zeros mais à esquerda do resultado binário podem ser omitidos: Conversão de Octal em Hexadecimal Para converter um número octal em hexadecimal, transforma-se primeiro o octal em binário e em seguida o binário em hexadecimal:

12 Conversão de Hexadecimal em Octal Para converter um número hexadecimal em octal, transforma-se primeiro o hexadecimal em binário e em seguida o binário em octal: Atividades 1. Considerando que a base em que os números são representados está indicada em subscrito, julgue os itens a seguir. a) AE dezesseis = 174 dez. b) 615 oito = dois c) 325 oito = 50 dezesseis d) dois = 53 dez 2. (INMETRO 2010) A quantidade de números inteiros positivos que podem ser representados em uma base B, cada um com n algarismos significativos, corresponde a: a) B n b) n B c) 2 n d) n B e) 2 B. RESPOSTA: A

13 3. (TRF 4ª 2010) Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser representado como: em que 0 a i < 10;, para todo 0 i n., Nesse sistema, por exemplo, Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja unidade monetária era o delta. Após ter gasto deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era a) 155 b) 152 c) 145 d) 143 e) 134 RESPOSTA: e REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: LEAL, Murilo Parreira. Apostila 1 Conversão de Bases Arquitetura e Organização de Computadores Circuitos Digitais. NASCIMENTO, TamysiaCanuto. Trabalhando com bases diferentes de 10 no Sistema de Numeração. Bienal Sociedade Brasileira de Matemática, SOUZA,Vera Lucia Fernandes de.. Sistemas de Numeração: Jogos e Aplicações.. Monografia - Universidade Federal de Minas Gerais,Instituto de Ciências Exatas, Belo Horizonte, 2013.

14 Calculadoras online de Matemática - Conversor de Base. Disponível em